考點14古典概型與幾何概型【亮點講】-【過高考】2023年高考數(shù)學大一輪單元復習課件與檢測知識回顧知識點一古典概型1．事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．2．古典概型的定義試驗E具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．3．古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq\a\vs4\al(\f(k,n))＝eq\f(n（A）,n（Ω）)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．典例1、三張卡片上分別寫有字母E，E，B，將三張卡片隨機排成一行，恰好排成BEE的概率為____．[解析]記寫有E的兩張卡片分別為E1，E2，畫樹狀圖如下：故樣本空間Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6個樣本點，記事件A為“恰好排成BEE”，則A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2個樣本點，故P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).知識點二幾何概型1．幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的特點(1)無限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個．(2)等可能性：試驗結(jié)果在每一個區(qū)域內(nèi)均勻分布．3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).1．一個概念一測度幾何概型的概率公式中的“測度(即構(gòu)成事件的區(qū)域)”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．2．兩種方法判斷幾何概型幾何度量形式的兩種方法(1)當題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系．(2)當題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量是否在等可能變化的區(qū)域．典例2、某單位試行上班刷卡制度，規(guī)定每天8：30上班，有15分鐘的有效刷卡時間(即8：15～8：30)，一名職工在7：50到8：30之間到達單位且到達單位的時刻是隨機的，則他能有效刷卡上班的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,8)[解析]該職工在7：50到8：30之間到達單位且到達單位的時刻是隨機的，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段AB，且AB＝40，職工的有效刷卡時間是8：15到8：30之間，設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域為線段CB，且CB＝15，如圖，所以該職工有效刷卡上班的概率P＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，故選D.強化訓練一、單選題1．從3名男生和2名女生中隨機選取2人參加書法展覽會，則選取的2人全是男生的概率為（

）A．B．C．D．2．已知袋子中有10個小球，其中紅球2個，黑球和白球共8個，從中隨機取出一個，設(shè)取出紅球為事件A，取出黑球為事件B，隨機事件C與B對立.若，則（

）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.83．拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為（

）A．B．C．D．4．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙在同一個小組的概率為（

）A．B．C．D．5．《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽線之和為的概率（

）A．B．C．D．6．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)（也稱為素數(shù)，是一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身之外，不能被其它自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)）之和，也就是我們所謂的“”問題．它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等曾在哥德巴赫猜想的證明中做出過相當好的成績．若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率是（

）A．B．C．D．7．在區(qū)間上任取一個數(shù)x，若x滿足的概率為，則實數(shù)m的值為（

）A．5B．6C．7D．88．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系．用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法，現(xiàn)設(shè)計一個實驗計算圓周率的近似值，向兩直角邊長分別為6和8的直角三角形中均勻投點40個．落入其內(nèi)切圓中的點有22個，則圓周率（

）A．B．C．D．9．甲、乙兩人約定某日上午在地見面，若甲是7點到8點開始隨機到達，乙是7點30分到8點30分隨機到達，約定，先到者沒有見到對方時等候10分鐘，則甲、乙兩人能見面的概率為（

）.A．B．C．D．10．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（

）A．B．C．D．二、填空題11．中國古典樂器一般按“八音”分類，八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最早見于《周禮·春官·大師》．為了培養(yǎng)學生音樂素養(yǎng)，發(fā)展學生特長，某校開設(shè)了“金、石、革、土、匏、竹”六種樂器的選修課，其中“金、石、革”為三種打擊樂器，“土、匏、竹”為三種吹奏樂器．若該校某學生從這六種樂器中隨機選出兩種進行學習，事件表示選出的兩種中有打擊樂器，事件表示選出的兩種中有吹奏樂器，則______．12．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊全部命中十環(huán)的概率，先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬，產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：321

426

292

925

274

642

800

478

598

668531

297

286

026

506

318

240

846

507

965據(jù)此估計，小張三次射擊全部命中十環(huán)的概率為________．13．小李同學從網(wǎng)上購買了一本數(shù)學輔導書，快遞員計劃周日上午之間送貨到家.小李上午有兩節(jié)視頻課，上課時間分別為和，則輔導書恰好在小李同學非上課時間送到的概率為___________.14．我國古代數(shù)學家祖沖之得到圓周率的兩個近似分數(shù)值和，并稱為密率，為約率，他的圓周率小數(shù)值被后世稱為祖率，現(xiàn)用隨機模擬的方法估算圓周率，從區(qū)間中隨機抽取2000個數(shù)，構(gòu)成1000個數(shù)對，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有785個，則用隨機模擬的方法得到的的近似值為______________．三、解答題15．北京2022年冬奧會，向世界傳遞了挑戰(zhàn)自我?積極向上的體育精神，引導了健康?文明?快樂的生活方式.為了激發(fā)學生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向未來”為主題的體育實踐活動，參加活動的學生需要從3個趣味項目（跳繩?踢鍵子?籃球投籃）和2個彈跳項目（跳高?跳遠）中隨機抽取2個項目進行比賽.(1)若從這5個項目中隨機抽取2個，求抽取的2個項目都是趣味項目的概率；(2)若從趣味項目和彈跳項目中各抽取1個，求這2個項目包括跳繩但不包括跳高的概率.16．某一貫制學校的小學部?初中部?高中部分別有學生720人，480人，480人.現(xiàn)采用比例分配的分層抽樣方法從各學部抽7名學生調(diào)查他們的視力情況.經(jīng)過校醫(yī)檢查，這7位同學中所有小學部同學均不近視，初中部和高中部各有一名同學不近視.(1)從7人中再隨機抽2人，求恰有1人不近視的概率；(2)以抽取的7名同學近視的頻率作為全校學生近視的概率.求在全校范圍內(nèi)隨機抽取2名同學，恰有1人近視的概率.17．已知函數(shù).(1)若，，求的單調(diào)遞減的概率；(2)當，且為整數(shù)時，求函數(shù)有兩個零點的概率.18．李先生計劃搭乘公交車去上班，經(jīng)網(wǎng)上公交實時平臺查詢，得到1路與2路公交車預計到達公交A站的時間均為，已知公交車實際到達的時間與網(wǎng)絡(luò)報時的誤差不超過10分鐘.(1)若李先生趕往公交A站搭乘1路車，預計他到達A站的時間在到之間，求他比車早到的概率；(2)求這兩路車到達A站的時間之差不超過4分鐘的概率.參考答案：1．D【解析】【分析】把3名男生和2名女生編號，用列舉法寫出樣本空間中的所有基本事件，并得出選取的2人全是男生這個事件所含的基本事件，計數(shù)后由概率公式計算．【詳解】記3名男生分別為，，，2名女生分別為，，從5人中隨機選取2人，該試驗的樣本空間，，設(shè)事件A＝“2名全是男生”則，，故所求概率為，故選：D．2．C【解析】【分析】先利用互斥事件的概率公式求得，進而利用對立事件的概率公式即可求得的值【詳解】由題意可知，.因為A與B互斥且，故.又因為隨機事件C與B對立，所以.故選：C3．C【解析】【分析】先求出總的基本事件，列舉出點數(shù)之和是6的基本事件，再由古典概率求解即可.【詳解】拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有個，其中點數(shù)之和是6的有共5個，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為.故選：C.4．C【解析】【分析】這5名棋手分別記為：甲，乙，，利用列舉法寫出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】這5名棋手分別記為：甲，乙，，，，分組情況有：（甲乙，），（甲乙，），（甲乙，），（甲，乙），（甲，乙）（甲，乙），（乙，甲），（乙，甲），（乙，甲），（，甲乙）共10種，其中甲和乙在同一人組的有4種，分別為：（甲乙，），（甲乙，），（甲乙，），（，甲乙），所以甲和乙在同一個小組的概率為.故選：C.5．B【解析】【分析】首先得到根陽線的有一卦，根陽線的有三卦，根陽線的有三卦，根陽線的有一卦，再求出基本事件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：由圖可知有根陽線的有一卦，根陽線的有三卦，根陽線的有三卦，根陽線的有一卦，記根陽線的分別為、、，根陽線的分別為、、，根陽線的為，從八卦中任取兩卦，一共有種，其中滿足陽線之和為的有，，，，，共種，故兩卦中陽線之和為的概率.故選：B6．A【解析】【分析】利用列舉法求解，先列出把6拆成兩個正整數(shù)的和的所有情況，再找出兩個加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和的所有情況有：，3種情況，其中兩個加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有，1種情況，所以所求概率為,故選：A7．D【解析】【分析】由幾何概型，計算區(qū)間長度即可求解【詳解】區(qū)間的區(qū)間長度為12，若概率為則對應(yīng)區(qū)間長度為，所對應(yīng)的區(qū)間長度為，由題意可知，解得，故選：D8．B【解析】【分析】根據(jù)幾何概型的計算公式和題意即可求出結(jié)果.【詳解】直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差，即，由幾何概型得，從而.故選：B.9．B【解析】【分析】從早上7點開始計時，設(shè)甲經(jīng)過十分鐘到達，乙經(jīng)過十分鐘到達，可得、滿足的不等式線組對應(yīng)的平面區(qū)域為如圖的正方形，而甲乙能夠見面，、滿足的平面區(qū)域是圖中的四邊形．分別算出圖中正方形和四邊形的面積，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式計算可得．【詳解】解：從早上7點開始計時，設(shè)甲經(jīng)過十分鐘到達，乙經(jīng)過十分鐘到達，則、滿足，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到圖中的正方形，若甲乙能夠見面，則、滿足，該不等式對應(yīng)的平面區(qū)域是圖中的四邊形，，因此，甲乙能見面的概率故選：B．10．B【解析】【分析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B11．##0.75【解析】【分析】根據(jù)題意，列舉出相關(guān)種類，即可求解.【詳解】解：事件包含：(金，土)、(金，匏)、(金，竹)、(石，土)、(石，匏)、(石，竹)，(革，土)、(革，匏)、(革，竹)、(金，石)、(金，革)、(石，革)共12種.其中兩種中有吹奏樂器的有如下幾種：(金，土)、(金，匏)、(金，竹)、(石，土)、(石，匏)、(石，竹)，(革，土)、(革，匏)、(革，竹)共9種，，故答案為：.12．【解析】【分析】求出20次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)即可求出.【詳解】因為20次試驗中有426，642，668，286，846共5次發(fā)生了，所以估計小張三次射擊全部命中十環(huán)的概率為．故答案為：.13．【解析】【分析】計算出快遞員在小李同學非上課時間送到的可能時間，結(jié)合幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】快遞員計劃周日上午之間送貨到家，共小時，共分鐘，小李上課的時間分別為和，則快遞員在小李同學非上課時間送到的可能時間為和，共分鐘，故所求概率為.故答案為：.14．##【解析】【分析】先作出事件對應(yīng)的平面區(qū)域，再利用幾何概型和隨機模擬求解．【詳解】解：由題得對應(yīng)的區(qū)域為圖中正方形區(qū)域，事件對應(yīng)的區(qū)域為圖中扇形區(qū)域，由題意得，解得，故答案為：．15．(1)；(2).【解析】【分析】運用列舉法，結(jié)合古典概型計算公式對（1）（2）進行求解即可.(1)設(shè)3個趣味項目分別為（跳繩），（踢鍵子），（籃球投籃），2個競技項目分別為（跳高），（跳遠）.從5個項目中隨機抽取2個，其可能的結(jié)果組成的基本事件有，，，，，，，，，，共10個，其中，抽取到的這2個項目都是趣味項目的基本事件有，，，共3個，故所求事件的概率；(2)從趣味項目和彈跳項目中各抽取1個，其可能的結(jié)果組成的基本事件有，，，，，，共6個，其中，抽取到的這2個項目包括A1（跳繩）但不包括B1（跳高）的基本事件有，共1個，故所求事件的概率.16．(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)從小學部抽取x人，初中部抽取y人，高中部抽取z人，由分層抽樣的性質(zhì)可得，，，由列舉法可得、古典概型概率計算公式可得答案；（2）由（1）可知抽取的7人有2人近視，用樣本估計總體得出該校學生近視的概率可得答案.(1)設(shè)從小學部抽取x人，初中部抽取y人，高中部抽取z人，由分層抽樣的性質(zhì)，解得，，，用，，，表示小學部抽出的3名同學；用