20202021學年新教材人教A版必修其次冊8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的外表積和體積作業(yè)一、選擇題1、三棱錐的側(cè)棱長相等，底面正三角形的邊長為，平面時，三棱錐外接球的外表積為〔〕A. B. C. D.2、如圖，圓錐底面圓的直徑與側(cè)棱，構(gòu)成邊長為的正三角形，點C是底面圓上異于A，B的動點，那么S，A，B，C四點所在球面的面積是〔〕A． B． C． D．與點C的位置有關(guān)3、正方體的棱長為2，點、、分別是、、的中點，以為底面作直三棱柱〔側(cè)棱垂直底面的棱柱〕，假設(shè)此直三棱柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的外表上，那么該直三棱柱的體積為〔〕A. C. D.4、菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥α，那么PA與BD的位置關(guān)系是〔〕A．平行 B．相交但不垂直C．垂直相交 D．異面且垂直5、在三棱錐中，底面為正三角形，，，且.假設(shè)三棱錐的每個頂點都在球O的球面上，那么球O的半徑的最小值為〔〕A． B． C． D．6、在正三棱柱中，，，是的中點，那么異面直線與所成的角為〔〕A． B． C． D．7、如圖，在正方形中，分別是的中點，是及把這個正方形折成一個空間圖形，使三點重合，重合后的點記為，以下說法：①平面；②平面；③平面；④平面.其中正確的有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8、如圖，在三棱錐D－ABC中，底面ABC，為正三角形，假設(shè)，，那么三棱錐D－ABC與三棱錐E－ABC的公共局部構(gòu)成的幾何體的外接球的體積為〔〕A． B． C． D．9、在正方體中，E、F分別是，的中點，給出以下結(jié)論：①⊥②//③⊥平面，其中正確的選項是〔〕A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10、如圖，在各棱長均為2的正三棱柱〔底面為正三角形且側(cè)棱垂直底面的棱柱〕中，P，E，F(xiàn)分別是，的體積為〔〕A． B． C． D．11、如下圖，三棱柱的全部棱長均為1，且底面，那么三棱錐的體積為〔〕A． B． C． D．12、如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE為直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4.那么點E到平面ABC的距離為〔〕A． B． C． D．2二、填空題13、假設(shè)三棱錐的全部頂點都在球O的球面上，平面ABC，，，且三棱錐的體積為，那么球O的體積為________.14、在我國古代數(shù)學名著?九章算術(shù)?中，將四個面都為直角三角形的四周體稱為鱉儒.如圖，在鱉臑中，平面，其三視圖是三個全等的等腰直角三角形，那么異面直線與所成的角的余弦值為______.15、如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點，那么三棱錐BEFC的體積為________.16、如以下圖①，在直角梯形中，，，，點在線段上運動.如以下圖②，沿將折至，使得平面平面，那么的最小值為______.三、解答題17、〔本小題總分值10分〕如下圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，假設(shè)為的中點，為的中點.〔1〕求證：平面；〔2〕求證：；〔3〕在棱上是否存在一點，使平面平面，假設(shè)存在，確定點的位置；假設(shè)不存在，說明理由18、〔本小題總分值12分〕如圖，正方體，棱長為a，E，F(xiàn)分別為、上的點，且.〔1〕當x為何值時，三棱錐的體積最大？〔2〕求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值；〔3〕求異面直線與所成的角的取值范圍.19、〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是PD的中點.〔1〕求證：平面PCD；〔2〕求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.參考答案1、答案D解析證明，得出，可得出的外接圓直徑為，并計算出三棱錐的側(cè)棱長，然后利用公式可得出外接球的半徑，并利用球體外表積公式可得出外接球的外表積.詳解如以下圖所示：由題意可知，，，那么，.平面，平面，，，的外接圓直徑為，易知三棱錐的側(cè)面都是等腰直角三角形，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，那么，得.因此，三棱錐的外接球的外表積為.應(yīng)選：D.點睛此題考查三棱錐的外接球的外表積，分析出幾何體的結(jié)構(gòu)，找出適宜的模型計算出外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的力量，屬于中等題.2、答案C解析設(shè)底面圓的圓心為O，球心為，在中，由勾股定理可求得所求球的半徑，然后依據(jù)球的外表積公式可得結(jié)果.詳解：如圖，設(shè)底面圓的圓心為O，S，A，B，C四點所在球面的球心為，連接，那么平面，且在線段上.易知，.設(shè)球的半徑為R，在中，由勾股定理得，解得.故球面面積為.點睛本小題主要考查圓錐的概念、球面面積等根底學問；考查空間想象力量、推理論證力量、運算求解力量.3、答案C解析依據(jù)題意，作出相對應(yīng)簡圖，分別取點的三個面對角線的中點，那么此三點為棱柱的另一個底面的三個頂點，利用中位線定理來進行證明，再通過線段幾何關(guān)系進行求解即可詳解如圖，連接，，,,分別取、、中點、、，連接，，,,,由中位線定理可得又，三棱柱是正三棱柱,，三棱柱答案選C點睛此題考查幾何體中的構(gòu)圖法、直三棱柱體積的求法，整體難度較大，通過中位線定理證明側(cè)棱垂直于底面是關(guān)鍵4、答案D解析由菱形ABCD在平面內(nèi),那么對角線,又,可得平面,進而可得,又明顯，PA與BD不在同一平面內(nèi)，可推斷其位置關(guān)系.詳解假設(shè)PA與BD共面，依據(jù)條件點和菱形ABCD都在平面內(nèi)，這與條件相沖突.故假設(shè)不成立，即PA與BD異面.又在菱形ABCD中，對角線，，，那么且，所以平面,平面.那么,所以PA與BD異面且垂直.應(yīng)選：D點睛此題考查異面直線的判定和垂直關(guān)系的證明,屬于根底題.5、答案D解析取邊的中點D，連接，，可證明面，故，從而證明面.又球心O在過的中心且垂直于面的直線上，即面，故，且.不妨設(shè)，那么，用表示，即求球O的半徑的最小值.詳解：由于三棱錐中，底面為正三角形，.又，取邊的中點D，連接，，，，又，面，.，，面.底面為正三角形，球心O在過的中心且垂直于面的直線上，即面，.三棱錐的每個頂點都在球O的球面上，.不妨設(shè)，那么，，即，當時，，所以.應(yīng)選：.點睛此題考查三棱錐的外接球，考查線面垂直的判定定理，屬于中檔題.6、答案C解析取中點，連接，，依據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，那么即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.詳解：解：如圖，取中點，連接，，由于正三棱柱，那么底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且，所以平面，而平面，那么，那么//，，∴即為異面直線與所成角，又，，，，那么，∴.所以異面直線與所成的角為.應(yīng)選：C.點睛此題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算力量，屬于根底題.7、答案B解析依據(jù)條件依次推斷每個選項的正誤，推斷得到答案.詳解由于，所以平面，平面.②③正確，所以為銳角，所以不垂直于，所以不垂直于平面，同理不垂直于，所以不垂直于平面.①④錯誤.故②③正確，①④錯誤.應(yīng)選：點睛此題考查了線面垂直，意在考查同學的空間想象力量.8、答案B解析條件說明是正方形，記與的交點為，那么是等腰直角三角形，是斜邊的中點，是的外心，平面，設(shè)是的外心，即，那么是的外接球的球心，由此可得球的半徑，從而得球的體積．詳解如圖，設(shè)與的交點為，三棱錐是三棱錐D－ABC與三棱錐E－ABC的公共局部．設(shè)是中點，連接，在上，且，∵是正三角形，∴是的外心．由底面ABC，得，又，∴是正方形，∴，即是等腰直角三角形，是的外心．∵底面ABC，底面ABC，∴，是正三角形，是中點，∴，，∴平面，即平面，∵是的外心，∴是的外接球的球心，其半徑為，球體積為．應(yīng)選：B．點睛此題考查球的體積，解題關(guān)鍵首先是確定三棱錐D－ABC與三棱錐E－ABC的公共局部是三棱錐，其次確定三棱錐的外接球的球心．三棱錐的外接球球心肯定在過各面外心且與此面垂直的直線上．9、答案C解析取的中點，連接，，證明推斷①；由異面直線的定義推斷②；證明直線與平面垂直推斷③．詳解：解：取的中點，連接，那么，，那么四邊形為平行四邊形，得，在正方形中，可得△，那么，可得，即，那么，故①正確；在平面內(nèi)，在平面外，而平面，由異面直線的定義可得與是異面直線，故②錯誤；在正方體中，棱平面，那么，由①知，且，平面，平面，平面，故③正確．綜上，正確命題的序號是①③．應(yīng)選：．點睛此題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象力量與思維力量，屬于中檔題．10、答案C解析先證明平面，從而得到P到平面的距離為，再利用四棱錐的體積公式，即可得到答案。詳解由于，，，所以平面，所以P到平面的距離為，又由于，所以.應(yīng)選：C.點睛此題考查四棱錐體積的求解，求解時留意先證明線面垂直，找到高，再代入體積公式求得答案，考查空間想象力量和運算求解力量。11、答案B解析依據(jù)題意，三棱柱是棱長均為1的正三棱柱，算出它的體積．再依據(jù)錐體的體積公式得三棱錐、三棱錐的體積都等于三棱柱體積的，由此用三棱柱體積減去兩個三棱錐的體積，即可算出三棱錐的體積．詳解：解：三棱柱的全部棱長均為1，底面為正三角形，面積又底面，三棱柱的體積三棱錐、三棱錐與三棱柱等底等高由此可得三棱錐的體積應(yīng)選：．點睛此題給出棱長均為1的正三棱柱，求其中的三棱錐體積．著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、柱體和錐體的體積公式等學問，屬于中檔題．12、答案C解析連接，設(shè)點E到平面ABC的距離為，利用等體法即可求解.詳解由題意可得連接，設(shè)點E到平面ABC的距離為，由，即所以即，解得.應(yīng)選：C點睛此題考查了三棱錐的體積公式以及等體法求點到面的距離，需熟記公式，屬于根底題.13、答案解析依據(jù)幾何體特征補圖成長方體，長方體的體對角線就是該錐體外接球的直徑，即可求得體積.詳解平面ABC，，，且三棱錐的體積為，即，解得，由題可得兩兩相互垂直，對幾何體補圖成如下圖的長方體，不共面的四點確定一個球，所以長方體與三棱錐有同一個外接球，球的直徑為長方體體對角線長，即，所以外接球半徑為，體積.故答案為：點睛此題考查求三棱錐外接球的體積，關(guān)鍵在于精確?????求出外接球的半徑，解決此類問題，多做積累，特別幾何體常見的處理方法.14、答案解析取，，，的中點，連接，依據(jù)三視圖可設(shè)，在中，利用余弦定理即可求解.詳解：取，，，的中點，連接，那么，，即異面直線與所成的角為，依據(jù)題意，由三視圖可知，設(shè)，那么，且，在中，由余弦定理可得.故答案為：點睛此題考查了求異面直線所成的角、余弦定理，屬于中檔題.15、答案解析先求出點F到平面ABC的距離，然后依據(jù)三棱錐的體積公式求出三棱錐BEFC的體積.詳解：由于F是PC的中點，PA⊥平面ABC，PA＝4，所以F到平面ABC的距離為2，所以三棱錐BEFC的體積為.故答案為：點睛此題考查了棱錐的體積公式，考查了點到面的距離求法，考查了數(shù)學運算力量.16、答案解析過點作交于,由平面平面，那么平面.設(shè)，,，,在三角形中,,那么所以，可得出答案.詳解：由，，那么過點作交于,由平面平面，那么平面.設(shè)，那么在直角三角形中，，在三角形中,所以由，所以當時，有最小值所以的最小值為故答案為：點睛此題考查線面垂直的應(yīng)用，考查余弦定理解三角形，考查空間線段的長度的最值.屬于難題.17、答案〔1〕證明見解析〔2〕證明見解析〔3〕存在，當為的中點時，能使平面平面〔2〕依據(jù)為正三角形可以得到，再依據(jù)是等邊三角形得到，這樣依據(jù)線面垂直的判定定理可以證明平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以證明出；〔3〕可以猜測為垂直于底面，可以通過面面垂直的性質(zhì)定理可以得到平面.這樣利用中位線可以證明出平面，這樣證明出猜測是正確的.詳解〔1〕由，，所以四邊形是平行四邊形..又平面，平面，平面.〔2〕連接.，.是等邊三角形，又，平面..〔3〕當為的中點時，能使平面平面.證明如下、平面平面，平面平面，，平面，平面.連結(jié)交于.那么是的中點，.平面.又平面，平面平面.點睛此題考查了線面平行的判定定理，考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了數(shù)學探究力量，考查了推理論證力量.解析18、答案〔1〕；〔2〕；〔3〕.〔2〕取中點O，由〔1〕知，E，F(xiàn)為中點時，三棱錐的體積最大，連接，說明即為二面角的平面角，再求出的正切值；〔3〕在上取點H使，那么〔或補角〕是異面直線與所成的角，再解三角形，用表示出，從而求出異面直線與所成的角的取值范圍.詳解：解：〔1〕由于正方體，所以平面所以，當時，三棱錐的體積最大.〔2〕取中點O，由〔1〕知，E，F(xiàn)為中點時，三棱錐的體積最大.所以，因此，，所以就是二面角的平面角.在中，在中，，三棱椎的體積最大時，二面角的正切值為.〔3〕在上取點H使，那么在正方形中，所以，，所以，所以〔或補角〕是異面直線與所成的角.在中，，在中，，在中，，在中，，由于，所以，所以，所以，所以所以異面直線與所成的角的取值范圍為.點睛此題考查了三棱錐的體積公式，幾何法求二面角的余弦值，求異面直線所成的角，還結(jié)合考查了求函數(shù)的最值和取值范圍，屬于中檔題.解析19、答案〔1〕見解析；〔2〕〔2〕取AD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，PE，PF，證得是側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，再直角中，即可求得側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.詳解：〔1〕在正方形ABCD中，，又側(cè)面底面ABCD，側(cè)面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正