6.5Gauss求積公式1.Gauss求積公式

設插值型的數(shù)值積分公式：

前面講述的方法（lagrange插值型數(shù)值積分法）是事先給定積分節(jié)點xk

。例如Newton-Cotes公式把區(qū)間[a,b]的等分點作為求積節(jié)點，這樣所求積分公式的代數(shù)精度至多為n+1。

現(xiàn)在取消對積分節(jié)點的限制，讓它與Ak

一樣，作為一個待定常數(shù)，這樣在數(shù)值積分公式(1)中需要確定的系數(shù)為xk和Ak（k=0,1,…,n），共2n+2個系數(shù)。根據(jù)代數(shù)精度的概念，要確定這2n+2個系數(shù)（xk和Ak），需要解如下2n+2個方程構成的非線性方程組其中。若有解，則得到的插值型的數(shù)值積分公式（1）至少有2n+1次代數(shù)精度。1.Gauss求積公式但是，考慮2n+2次多項式：它只在節(jié)點xi（i=0,1,…,n）處為零，在其它點處均大于零，所以而

.

故插值型的數(shù)值積分公式（1）對于2n+2次多項式不準確成立，可知其代數(shù)精度僅為2n+1。1.Gauss求積公式定義6.5.1若插值型求積公式則稱該求積公式是Gauss求積公式,相應的求積節(jié)點

xk

(k=0,1,…,

n)稱為Gauss點。其中，具有2n+1次代數(shù)精度,例6.5.1

確定下列求積公式中的待定參數(shù)A0,A1,x0

和x1：解：令f(x)=1,x1,x2,x3,

則有下列方程組此求積公式具有

3

次代數(shù)精度由前面的定義可知，此求積公式為Gauss求積公式因此。

確定Gauss求積公式的關鍵在于確定Gauss點。因為如果先確定了Gauss點，再確定其求積系數(shù)Ak

(k=0,1,...,

n)

時將變?yōu)榫€性方程組。解線性方程組要比解非線性方程組方便得多。如上例，若事先知道和，則求積公式變?yōu)?/p>

再計算A0和A1時，它們已成為線性關系，取f(x)=1和x可得到解得A0=A1=1。

當然也可以由關系式來確定。定理6.5.1插值型求積公式中的求積節(jié)點xk(k=0,1,…,n)是Gauss點的充分必要條件是與任意次數(shù)不超過

n

的多項式P(x)均正交,即滿足推論6.5.1

在區(qū)間

[a,b]上

n+1次正交多項式

gn+1(x)的零點即為

Gauss點。關于Gauss點的求法

,有如下定理。

2.Gauss-Legendre求積公式

在[-1,1]上,權函數(shù)ρ(x)=1的n+1次Legendre多項式的零點即為

Gauss點.以Pn+1(x)的零點

xk

(k=0,1,...,

n)為求積節(jié)點,建立的Gauss求積公式稱為Gauss-Legendre

求積公式，其求積系數(shù)(6.5.9)這是因為:設的首項系數(shù)為，則

于是常見Gauss-Legendre求積公式

當n=0時，一次勒讓德(Legendre)多項式P1(x)=x的零點（Gauss點）x0=0，取其為求積節(jié)點，由(6.5.9)確定出A0=2。從而得到一點Gauss-Legendre求積公式即A0由來確定。常見Gauss-Legendre求積公式

當n=1時，二次勒讓德（Legendre）多項式它有兩個零點(Gauss點),取它們?yōu)榍蠓e節(jié)點，由（6.5.9）確定出A0=A1=1。從而得到二點Gauss-Legendre

求積公式

常見Gauss-Legendre求積公式

一點Gauss-Legendre

求積公式二點Gauss-Legendre

求積公式

三點Gauss-Legendre求積公式

1~5個節(jié)點的Gauss-Legendre求積系數(shù)n12430xkAk1~5個節(jié)點的Gauss-Legendre求積系數(shù)（真值）nxkAk0021120續(xù)Gauss-Legendre求積系數(shù)（真值）nxkAk340對于一般的區(qū)間[a,b]，可作坐標變換

得到對上式右端的積分可采用標準Gauss-Legendre求積公式進行計算。例6.5.3

利用三點Gauss-Legendre求積公式計算積分結果保留六位小數(shù)。

，解:令，則

例6.5.4

構造的Gauss-Legendre求積公式,使其具有7次代數(shù)精度.

解:

由2n+1=7,求得n=3,這表明有4個求積節(jié)點,3個小區(qū)間.作變量置換令x=2t+4,

則有由上表有2{0.3478548f(2(-0.8611363)+4)+0.3478548f(2(0.8611363)+4)+0.6521452f(2(-0.3398810)+4)+0.6521452f(2(0.3398810)+4)}3.帶權的Gauss求積公式

考慮帶權的積分其中為權函數(shù).若

,即為通常的積分.

則設f(x)在插值節(jié)點

處的函數(shù)值為f(xk),作

n

次

Lagrange插值多項式(6.5.13)其中(6.5.15)

上式稱為帶權的插值積分公式,Ak

是其求積系數(shù).從而有,(6.5.14)定義6.5.2

若帶權的插值型求積公式具有2n+1次代數(shù)精度,則稱其為Gauss求積公式,相應的求積節(jié)點xk

(k=0,1,...,

n)稱為Gauss點.與不帶權的Gauss點的求法類似

,有如下定理.定理6.5.2

帶權的插值求積公式中的求積節(jié)點xk

(k=0,1,...,

n)是Gauss點的充分必要條件是與任意次數(shù)不超過n

的多項式P(x)均在區(qū)間[a,b]帶權正交,即滿足推論6.5.2

在區(qū)間[a,b]上

帶權的n+1次正交多項式gn+1(x)的零點即為Gauss點.

Gauss-Chebyshev求積公式

其Gauss點為

n+1次

Chebyshev多項式Tn+1(x)的零點，即在區(qū)間[-1,1],權函數(shù)為,建立的Gausss

求積公式為稱為Gauss-Chebyshev

求積公式.其求積系數(shù)為

同理可以求出相應的Gauss-Laguerre

公式與Gauss-Hermite

公式.顯然僅對于某些特殊的區(qū)間和特殊的權函數(shù),可以利用正交多項式的零點來確定

Gauss點。綜上，Gauss求積公式構造的方法有二：待定系數(shù)法，即解關于Ak和xk

的非線性方程組；先確定

Gauss點，然后再確定其求積系數(shù)。4.Gauss求積公式的余項,收斂性與穩(wěn)定性定理6.5.3

設函數(shù)f(x)∈C2n+2[a,b],則

Gauss求積公式的余項為

Gauss求積公式求積系數(shù)有如下性質:即Gauss求積公式求積系數(shù)都是正的.由余項公式可直接得出,(6.5.14)Gauss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性

設f(xk)的近似值為記由Gauss求積公式和Ak>0,則有誤差估計令其中是一個大于零的常數(shù).由此可知Gauss求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的.定理6.5.4

對任意的f∈C[a,b],則Gauss求積公式均收斂,即有對于Gauss求積公式的收斂性,有如下的定理6.6數(shù)值微分

本節(jié)討論數(shù)值微分。即對于定義在區(qū)間[a,b]上，由列表給出的函數(shù)y=f(x)：xkx0x1…xny=f(xk)f(x0)f(x1)…f(xn)如何計算函數(shù)f(x)的導數(shù)？

1.插值型數(shù)值微分公式

由上述列表函數(shù),我們可以建立f(x)的n次Lagrange插值多項式Ln(x),根據(jù)f(x)Ln(x),可以得到插值型數(shù)值微分公式

能否舉個例子說明這樣做,不總是合理的？由于Lagrange插值多項式Ln(x)的余項為

其中,且依賴于x.

對式(6.6.3)兩邊求導得(6.6.4)誤差估計式中含有不確定函數(shù)ξ(x)的導數(shù)可記為但當計算插值節(jié)點處的導數(shù)時,因ωn+1(xk)=0,這時數(shù)值導數(shù)的余項公式可以表示為從而可以對節(jié)點處誤差作出適當?shù)墓烙?

下面,我們在等距節(jié)點情況下討論函數(shù)f(x)在插值節(jié)點處導數(shù)的求法.(6.6.4)2.兩點數(shù)值微分公式

已知在兩個插值節(jié)點x0,x1上的函數(shù)值f(x0),f(x1),要計算f(x)在x0,x1處的導數(shù).由線性插值公式令h=x1－x0,將上式求導得由余項公式(6.6.5)可得帶余項的兩點數(shù)值微分公式

若略去余項,可得兩點數(shù)值微分公式

截斷誤差為O(h).注：h=x1－x0類似可得3.三點數(shù)值微分公式

已知f(x)在三點處的函數(shù)值分別為f(x0),f(x1)和

f(x2).

上式對x求導數(shù)得次Lagrange插值多項式則由二從而由有由式(6.6.5)

可得帶余項的三點數(shù)值微分公式若略去余項,有三點數(shù)值微分公式截斷誤差均為O(h2).

還可以建立高階導數(shù)的數(shù)值微分公式.

對(6.6.9)再求導一次，有故有二階三點數(shù)值微分公式利用式(6.6.2)由余項公式(6.6.3)可得帶余項的二階三點數(shù)值微分公式而對于,可以利用Taylor公式推出

4.利用三次樣條插值函數(shù)求數(shù)值導數(shù)

基本思想就是在區(qū)間[a,b]上,根據(jù)互異的節(jié)點

a=x0<x1<x2<...<xn=b及函數(shù)值yk=f(xk)(k=0,1,…,n),構造三次樣條函數(shù)S(x),于是

f(x)S(x).從而所以可以利用它們來計算f(x)的各階數(shù)值導數(shù)(一階,二階和三階).

以三彎矩公式為例,有

這里