第七章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺結(jié)構(gòu)特征①有兩個面互相___________，其余各面都是__________．②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________有一個面是_______，其余各面都是有一個公共頂點的_________的多面體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，_______和_______之間的部分側(cè)棱______________相交于________但不一定相等延長線交于________側(cè)面形狀________________________________平行且全等四邊形平行多邊形三角形截面底面平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形知識點二旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形矩形扇形扇環(huán)圓知識點三三視圖與直觀圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖45°或135°

垂直平行于坐標(biāo)軸不變原來的一半1．三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長度和高度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度；由此得到：主俯長對正，主左高平齊，俯左寬相等．2．一個平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變(減半)，圖形改變．三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變．題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中錯誤的是 (

)A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分D．用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱ABD

題組二走進(jìn)教材2．(必修2P19T2)下列說法正確的是 (

)A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行[解析]

由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變．D

題組三考題再現(xiàn)3．(2019·山東德州質(zhì)檢)如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是(

)[解析]

此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看．故選C．C

4．(2019·北京春季高中模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體是(

)A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．四棱柱A

[解析]

對應(yīng)三視圖的幾何體是如圖所示的三棱錐ABCD，故選A．B

考點突破?

互動探究考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征——自主練透例1ABCD

(2)下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，所得截面都是圓面，則這個幾何體一定是球．其中正確結(jié)論的序號是______．⑤

[解析]

(1)認(rèn)識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故A、C錯誤，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故B錯誤，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故D錯誤，故選A、B、C、D．(2)①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，②錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，③錯誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺，④錯；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確．空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．角度1由幾何體的直觀圖識別三視圖

(2018·課標(biāo)Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(

)考點二空間幾何體的三視圖——多維探究A

例2[解析]

由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A．角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖

(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4C

例3角度3由三視圖的兩個視圖推測另一視圖

(2019·衡水金卷)某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是(

)C

例4[解析]

若幾何體為兩個圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B；若幾何體為兩個四棱錐的組合體，則俯視圖為D；不可能為C，故選C．1．由幾何體的直觀圖求三視圖．注意主視圖、左視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線表示，看不到的部分用虛線表示．2．由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．3．由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，再找其剩下部分三視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項檢驗，看看給出的部分三視圖是否符合．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2019·東北四市聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是線段CD的中點，則三棱錐P－A1B1A的側(cè)視圖為(

)D

(2)(角度2)(2019·溫州模擬)若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是(

)A

(3)(角度3)一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是(

)C

考點三空間幾何體的直觀圖——師生共研例5D

[引申]若已知△ABC的平面直觀圖△A1B1C1是邊長為a的正三角形，則原△ABC的面積為________.B

名師講壇?

素養(yǎng)提升

(2019·福建福州模擬)如圖為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是(

)三視圖識圖不準(zhǔn)致誤B

例6[錯因分析]

(1)不能正確把握投影方向致誤；(2)不能正確判定上表面橢圓投影形狀致誤；(3)不能正確判定投影線的虛實致誤．[解析]

圓柱被不平行于底面的平面所截得的截面為橢圓，結(jié)合正視圖，可知側(cè)視圖最高點在中間，故選B．對于簡單幾何體的組合體，在畫其三視圖時首先應(yīng)分清它是由哪些簡單幾何體組成的，再畫其三視圖．另外要注意交線的位置，可見的輪廓線都畫成實線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出，但要畫成虛線，即一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現(xiàn)錯誤．〔變式訓(xùn)練3〕(2019·河南省濮陽市模擬改編)設(shè)四面體ABCD各棱長均相等，S為AD的中點，Q為BC上異于中點和端點的任一點，則△SQD在四面體的面上的射影可能是(

)BCD

[解析]

設(shè)BC的中點為P，則由題意可知DP⊥BC且平面ADP⊥平面BDC，從而S在平面BCD上的射影在DP上，△SQD在面BCD上的射影為C，同理△SQD在面ABC、面ACD上的射影分別為B、D，故選B、C、D．第七章立體幾何第二講空間幾何體的表面積與體積1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積S底·h

πrl

ch

S底h

4πR2

知識點二幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是________________.(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是________、________、__________；它們的表面積等于__________與底面面積之和．各面面積之和矩形扇形扇環(huán)形側(cè)面積1．長方體的外接球：球心：體對角線的交點；半徑：r＝___________(a，b，c為長方體的長、寬、高)．2．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球：(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝_______(a為正方體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝______(a為正方體的棱長)；(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝____(a為正方體的棱長).3．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝_______(a為正四面體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝_______(a為正四面體的棱長)．ABC

B

C

B

考點突破?

互動探究考點一幾何體的表面積——自主練透例1C

C

AB

空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求出這些基本的柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出幾何體的表面積．B

(1)(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(

)考點二幾何體的體積——師生共研A

例2(2)(2020·河南中原名校質(zhì)量考評)一個幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體體積為(

)A．12

B．8C．6

D．4D

[引申]若將本例(2)中側(cè)視圖中虛線去掉，則該幾何體的體積為_____，表面積為___________.[解析]

幾何體為如圖所示的四棱錐，用公式求解即可．8

空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)直接利用公式進(jìn)行求解．(2)用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解．(3)以三視圖的形式給出的應(yīng)先得到幾何體的直觀圖．再求解．A

(2)(2019·浙北四校模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(

)A．8

B．8π

C．16

D．16πB

例3D

D

幾何體外接球問題的處理(1)解題關(guān)鍵是確定球心和半徑，球心必在過球的截面外接圓的圓心且垂直于該平面的直線上，再根據(jù)R2＝h2＋r2求解(R—球半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓心的距離)．注：若截面為非特殊三角形可用正弦定理求其外接圓半徑r．(2)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球．注意：不共面的四點確定一個球面．例4B

B

[引申]本例(1)中圓錐外接球的體積為________.幾何體內(nèi)切球問題的處理(1)解題時常用以下結(jié)論確定球心和半徑：①球心在過切點且與切面垂直的直線上；②球心到各面距離相等．(2)利用體積法求多面體內(nèi)切球半徑．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(角度1)(2019·廣西南寧、玉林、貴港等市聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的外接球表面積為(

)A．2π B．3πC．4π D．6πB

D

C

名師講壇?

素養(yǎng)提升最值問題、開放性問題例5B

例6D

第七章立體幾何第三講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．公理2：過__________的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們________________過該點的公共直線．兩點不共線有且只有一條銳角或直角平行相等或互補AC

C

共面AC＝BD

AC＝BD且AC⊥BD

B

C

考點突破?

互動探究

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．考點一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用——自主練透例11．證明空間點共線問題的方法(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上．(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上．2．點、線共面的常用判定方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．3．證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．〔變式訓(xùn)練1〕如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．[解析]

(1)如圖，連接EF，CD1，A1B．因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B．又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)因為EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1．又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA．所以CE，D1F，DA三線共點．

(1)(2019·廣東模擬)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

)A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交考點二空間兩條直線的位置關(guān)系——師生共研D

例2(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)．③④

[解析]

(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．(2)因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④正確，故填③④．異面直線的判定方法(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．(2)判定定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2019·江西景德鎮(zhèn)模擬)將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(

)A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直C

BD

考點三求異面直線所成的角——師生共研例3A

B

用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．注：①為便于作出異面直線所成角，可用補形法，如將三棱柱補成四棱柱；②注意余弦定理的應(yīng)用．D

C

名師講壇?

素養(yǎng)提升立體幾何中的折疊問題例4C

D

由展開圖準(zhǔn)確的還原出幾何體直觀圖是解題關(guān)鍵．當(dāng)異面直線所成角不易作出時，可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解．D

第七章立體幾何第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)a∥b

a∥α

a∥b

知識點二面面平行的判定與性質(zhì)1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的是(

)A．如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行B．如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面C．若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥αD．若α∥β，直線a?α，則a∥βBD

D

題組三考題再現(xiàn)3．(2019·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(

)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面B

4．(2019·湖南長沙模擬)設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，給出下列命題：①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.其中真命題的個數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4[解析]

只有①正確，故選A．A

5．(2019·福建師大附中期中)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，以下命題正確的是(

)A．若l∥α，m∥α，則l⊥m B．若l∥α，m⊥l，則m⊥αC．若l⊥α，m⊥l，則m∥α D．若l⊥α，m⊥α，則l∥m[解析]

若l∥α，m∥α，則l∥m或l與m相交或l與m異面；若l∥α，m⊥l，則m∥α或m與α相交；若l⊥α，m⊥l，則m∥α或m?α，∴A、B、C都錯，選D．D

考點突破?

互動探究考點一空間平行關(guān)系的基本問題——自主練透例1CD

〔變式訓(xùn)練1〕(多選題)(2020·吉林省吉林市調(diào)研改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，則下列各直線、平面中，與平面ACD1平行的是(

)A．直線EF B．直線GHC．平面EHF D．平面A1BC1ABD

[解析]

首先直線EF、GH、A1B都不在平面ACD1內(nèi)，由中點及正方體的性質(zhì)知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直線EF，GH，A1B都與平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH與平面ACD1相交，從而平面EHF與平面ACD1相交，∴C錯，故選A、B、D．角度1線面平行的判定

(2019·遼寧撫順模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點．(1)證明：BE∥平面PAD；(2)求三棱錐E－PBD的體積．考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究例2判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．注：線面平行的關(guān)鍵是線線平行，證明中常構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形．例3

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG．考點三空間兩個平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研例4[證明]

(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．[引申1]在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.[引申2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D．證明面面平行的方法有(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”．(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．名師講壇?

素養(yǎng)提升平行中的探索性問題求解策略例5平行中的探索性問題(1)對命題條件的探索常采用以下三種方法：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．(2)對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論，就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)論，就否定假設(shè)．〔變式訓(xùn)練4〕在三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC上是否存在一點H，使A1B∥平面AC1H？并證明．[解析]

BC上存在點H(即BC的中點)使A1B∥平面AC1H．證明如下：連A1C交AC1于O，則O為A1C的中點連HO，又H為BC的中點，∴HO∥A1B，又OH?平面AHC1，A1B?平面AHC1，∴A1B∥平面AC1H．第七章立體幾何第五講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測任意相交b?α

平行a∥b

銳角0

知識點二平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱________的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．兩個半平面垂直直二面角α⊥β

交線a⊥β

1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥αB．垂直于同一個平面的兩平面平行C．若α⊥β，a⊥β，則a∥αD．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直ABC

題組二走進(jìn)教材2．(多選題)(必修2P73T1)下列命題中正確的是(

)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β[解析]

對于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項均是正確的．ABC

C

4．(多選題)(2020·山東濰坊月結(jié)學(xué)情考試)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．PB⊥AE

B．平面ABC⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAE

D．∠PDA＝45°AD

[解析]

對于A，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，從而可得EA⊥PB，故A正確．對于B，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，故B不正確．對于C，由于在正六邊形中BC∥AD，所以BC與EA必有公共點，從而BC與平面PAE有公共點，所以直線BC與平面PAE不平行，故C不正確．對于D，由條件得△PAD為直角三角形，且PA⊥AD，又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°.故D正確．綜上A、D正確．C

考點突破?

互動探究考點一空間垂直關(guān)系的基本問題——自主練透例1C

A

ABD解決空間中線面、面面垂直的問題有以下三種方法：(1)依據(jù)相關(guān)定理得出結(jié)論．(2)結(jié)合符合題意的模型(如構(gòu)造正方體、長方體)作出判斷，或借助筆、紙、桌面進(jìn)行演示，注意能平移或旋轉(zhuǎn)的線，讓其動動再判斷．(3)否定命題時只需舉一個反例即可．C

考點二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究例2例3(1)解決直線、平面垂直問題的常用方法：①利用線面垂直的定義；②利用線面垂直的判定定理；③利用線面垂直的性質(zhì)；④利用面面垂直的判定定理；⑤利用面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)．(1)(角度1)(2019·全國Ⅱ)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．①證明：BE⊥平面EB1C1；②若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．例4名師講壇?

素養(yǎng)提升立體幾何中的折疊問題例5證明折疊問題中的平行與垂直，關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點、線間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點、線間的位置關(guān)系折疊后會發(fā)生變化．對于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．第七章立體幾何第六講空間向量及其運算1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有________和________的量叫做空間向量，其大小叫做向量的________或______.(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線________或________，則這些向量叫做____________或____________.(4)共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量．大小方向長度模相同相等平行重合共線向量平行向量平面a，b

0≤a，b≤π

互相垂直|a||b|cos〈a，b〉

a·b＋a·c

a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

AC

A

D

36π

考點突破?

互動探究考點一空間向量的線性運算——自主練透例1(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量時，應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來．(2)向量加法的多邊形法則首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．提醒：空間向量的坐標(biāo)運算類似于平面向量中的坐標(biāo)運算．

例2考點三空間向量的坐標(biāo)運算——師生共研例3空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量坐標(biāo)運算類似，可對比應(yīng)用．A

D

例4ACD

ABCD

名師講壇?

素養(yǎng)提升

如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為棱AB，BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．向量在立體幾何中的簡單應(yīng)用例5〔變式訓(xùn)練4〕(1)如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.則AC1＝______；BD1與AC夾角的余弦值為______.A

第七章立體幾何第七講立體幾何中的向量方法1知識梳理?雙基自測2

考點突破?互動探究3

名師講壇?素養(yǎng)提升知識梳理?

雙基自測知識點一兩個重要的向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有________個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有________個，它們是共線向量．無數(shù)無數(shù)知識點五求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝______________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝________________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．|cosn1，n2|

題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論錯誤的是(

)A．兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角B．若兩平面的法向量平行，則兩平面平行C．直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角D．兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角ACD

題組二走進(jìn)教材2．(必修2P111T3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________.垂直C

考點突破?

互動探究

(2020·山東青島膠州實驗學(xué)校期中)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC