2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】．故選:A.2．函數(shù)遞增區(qū)間為A． B． C． D．【答案】A【分析】先求函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍與定義域求交集即可．【詳解】∵f（x）＝lnx﹣4x+1定義域是{x|x＞0}∵f'（x）4當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，0＜x，所以函數(shù)遞增區(qū)間為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．已知直線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線在點(diǎn)處的切線斜率，然后根據(jù)直線垂直的條件可求的值．【詳解】解：因?yàn)?，所以，∵點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率，由條件知，，∴.故選：D4．已知，，，是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則是（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．以上三種情況都有可能【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，可得，進(jìn)而可知為直角三角形.【詳解】∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴為直角三角形.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算，再代入計(jì)算得到答案.【詳解】，則，，.，.故選：B6．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D7．隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)?航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著經(jīng)濟(jì)效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中，其含量P（單位：貝克）與時(shí)間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中P0為時(shí)該放射性同位素的含量.已知時(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，則該放射性同位素含量為4.5貝克時(shí)，衰變所需時(shí)間為（

）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，因?yàn)闀r(shí)，該放射性同位素的瞬時(shí)變化率為，即，解得，則，當(dāng)該放射性同位素含量為貝克時(shí)，即，所以，即，所以，解得.故選：D.8．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)，由已知得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式可得選項(xiàng).【詳解】由題可設(shè)，又，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，將不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即，有，故得，所以不等式的解集為，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的問題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，并且得出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解之得選項(xiàng).二、多選題9．下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用求導(dǎo)公式和法則逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，，所以C正確，對(duì)于D，，所以D正確，故選：BCD10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極大值【答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件即可判斷．【詳解】解：由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)及時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減；當(dāng)及時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增．所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為，，在，處取得極小值，在處取得極大值，故選：ABC．11．下列說法不正確的是（

）A．若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是B．若，，不共線，且，則，，、四點(diǎn)共面C．對(duì)同一平面內(nèi)給定的三個(gè)向量，，，一定存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得.D．中，若，則一定是鈍角三角形.【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由與的數(shù)量積大于0且不共線計(jì)算判斷；對(duì)于B，變形，由空間共面向量定理判斷；對(duì)于C，由平面向量基本定理判斷；對(duì)于D，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，依題意，，且與不同向共線，求得，解得：且，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，即，于是得共面，且公共起點(diǎn)C，而，，不共線，，，，四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，同一平面內(nèi)不共線的非零向量，，，才存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得，否則不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，，則，于是得是銳角，不能確定是鈍角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ACD12．在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則AQ的最小值為C．若的外心為M，則為定值2D．若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【分析】由題易證得面，所以直線到平面的距離相等，又的面積為定值，可判斷A；取的中點(diǎn)分別為，連接，由面面平行的判定定理可得平面面，因?yàn)槊?，所以平面，?dāng)時(shí)，AQ有最小值可判斷B；由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在上取點(diǎn)，使得，易知點(diǎn)Q的軌跡為圓弧可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋忠驗(yàn)槊妫?，所以面，所以直線到平面的距離相等，又的面積為定值，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則易證明：，面，面，所以面，又因?yàn)?，，面，面，所以面，，所以平面面，面，所以平面?dāng)時(shí)，AQ有最小值，則易求出，所以重合，所以則AQ的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若的外心為M，，過作于點(diǎn)，則.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過作于點(diǎn)，易知平面，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樗?，則圓弧等于，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間點(diǎn)的表示，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，可得，解得，所以.故答案為：.14．已知E?F?G?H分別是正方體，邊AB，CD，，的中點(diǎn)，則異面直線EH與GF所成角的余弦值為___________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，顯然，于是有，所以，，所以，因此異面直線EH與GF所成角的余弦值為，故答案為：15．已知空間直角坐標(biāo)系中ΔABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:，AD是邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)為__________．【答案】/【分析】根據(jù)點(diǎn)在邊上，且AD是邊BC上的高，可求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，設(shè)且由AD是邊BC上的高可得，解得所以則故答案為:16．已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】.【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的最大值，可得a的取值范圍.【詳解】解：由，可得，設(shè)，，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；，，函數(shù)單調(diào)遞減；由f(x)在處取得極大值，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以f(x)在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)時(shí)，即，可得：在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，，當(dāng)，，即f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f(x)在處取得極小值，與題意不符；當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減，與題意不符；當(dāng)，即可，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以f(x)在處取得極大值，符合題意，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的參數(shù)及含參函數(shù)的極值問題，綜合性大，屬于難題.四、解答題17．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)若，，求；(2)求，夾角的余弦值．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1），，則，，可設(shè)，，，，解得，或；（2），，，，，．18．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；（2）或.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別解不等式、可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，并由此可求得該函數(shù)的極大值和極小值；（2）令，可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，再將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1），定義域?yàn)椋?令，解得或；令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為；（2）令，解得或，，，所以，切點(diǎn)坐標(biāo)為或，則有或，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的切線方程求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P滿足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．(1)求點(diǎn)A到平面PCD的距離；(2)線段BP上是否存在點(diǎn)E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出該點(diǎn)位置，若不存在，則說明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等積法，根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定及性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用坐標(biāo)法，設(shè)，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題意，，由PB⊥平面ABCD，PB?平面PBC，可得平面PBC⊥平面ABCD，而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，平面PBC，可得DC⊥PC，∵CD＝3，PC＝，∴，設(shè)A到平面PCD的距離為h，則，即h＝，∴點(diǎn)A到平面PCD的距離為；（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC、BA、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4），設(shè)，則，，若DE⊥平面PAC，則，解得，不合題意，故線段BP上不存在點(diǎn)E，使得DE⊥平面PAC．20．如圖所示，在四棱錐中，，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，從而，由此能證明面．（2）取中點(diǎn)，連接，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∵面，平面，∴面．（2）取中點(diǎn)，連接，由，∵面面，∴面，由，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，為面的一個(gè)法向量，設(shè)面的法向量為，則，取，得，，∵二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．21．已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)為矩形，且是中點(diǎn)得到，利用勾股定理得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再結(jié)合平面即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)得到，然后利用向量的方法求與平面所成的角的正弦值，列方程求即可.【詳解】（1）依題意矩形，，，是中點(diǎn)，所以，又，所以，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所?（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，，假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，，即，設(shè)與平面所成的角為，所以解得（舍去），綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.22．已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先判斷出，將轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由，可知定義域，，令，則，①當(dāng)時(shí)，，則成立，即成立，所以在上單調(diào)遞增；②