第1頁(yè) 共9頁(yè)升級(jí)增分訓(xùn)練數(shù)列n1＝2，a2＝7，an＋2等于ann＋1*2018＝(n∈N)的個(gè)位數(shù)，則a1．在數(shù)列{a}中，已知aa________.解析：由題意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，，所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開(kāi)始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2018＝a335×6＋8＝a6＋2＝2.答案：22．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋x－2的圖象上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：由于點(diǎn)(n，S在函數(shù)的圖象上，則＝n2＋n－，當(dāng)＝1時(shí)，得＝S1＝f(x))S0，當(dāng)n≥2時(shí)，得an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－2－[(n－1)2＋(n－1)－2]＝2n.0，n＝1答案：an＝2n，n≥2123．若數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式為 bn＝－ n＋n ＋13，則數(shù)列 {bn}中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______．解析：設(shè)數(shù)列{bn}的第n項(xiàng)最大．bn＋1≤bn，由bn≥bn－1，－n＋1＋12＋13≤－＋12＋13，n＋1nn即1212＋13≥－n－1＋－n＋n－＋13，n11＋12≥12，n＋1n整理得12≤12，1＋nn－1n2＋n－12≥0，即n2－n－12≤0，解得n＝3或n＝4.又b3＝b4＝6，第2頁(yè) 共9頁(yè)所以當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，bn取得最大值．答案：3或44．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}為等差數(shù)列，則an＝________.解析：設(shè)bn＝nSn＋(n＋2)an，則b1＝4，b2＝8，又{bn}為等差數(shù)列，所以bn＝4n，所以nSn＋(n＋2)an＝4n，2所以Sn＋1＋nan＝4.當(dāng)n≥2時(shí)，n－Sn－1＋1＋2n－1＋2n－1＝0，Snan－1a2n＋1n＋1所以nan＝an－1，n－1anan－1即2·＝.nn－1又因?yàn)閍1＝1，1an1所以n是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an1n1*n＝－(n∈N)，2所以a＝n∈*)．n(nN2－答案：n2n－15．記Sn為正項(xiàng)等比數(shù)列S12－S6S6－S3－8＝0，且正整數(shù)m，n{an}的前n項(xiàng)和，若－7·S6S3滿足a1ama2n＝2a53，則1＋8的最小值是________．mn解析：∵{an}是等比數(shù)列，設(shè){an}的公比為q，S12－S66S6－S33∴S6＝q，S3＝q，第3頁(yè) 共9頁(yè)∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2，又a1ama2n＝2a35，∴a31·2m＋2n－2＝2(a124)3＝a31213，∴m＋2n＝15，18＝11＋8(m＋2n)∴＋n15nmm12n8m12n8m＝1517＋m＋n≥1517＋2m×n52n8m＝3，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n，n＝2m，即m＝3，n＝6時(shí)等號(hào)成立，18的最小值是5∴＋n3.m答案：536．對(duì)于數(shù)列{xn}，若對(duì)任意n∈N*，都有xn＋xn＋2＜xn＋1成立，則稱數(shù)列{xn}為“減差2數(shù)列”．設(shè)tn－1t的取值范圍是bn＝2t－n－1，若數(shù)列b3，b4，b5，是“減差數(shù)列”，則實(shí)數(shù)2________．解析：由數(shù)列b3，b4，b5，是“減差數(shù)列”，bn＋bn＋2得2＜bn＋1(n≥3)，tn－1tn＋2－1tn＋1－1即t－2n＋t－2n＋2＜2t－2n，tn－1tn＋2－1tn＋1－1即n＋＞2n，22n＋2化簡(jiǎn)得t(n－2)＞1.當(dāng)n≥3時(shí)，若t(n－2)＞1恒成立，則t＞1恒成立，n－2又當(dāng)n≥3時(shí)，1的最大值為1，n－2第4頁(yè) 共9頁(yè)則t的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．已知數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，且b1＝5，b2＝7<b3，數(shù)列{an}是公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，且有a7＝6，則使得數(shù)列{abn}是等比數(shù)列的d的值為_(kāi)_______．解析：法一：ab＝＝－，＝a7＝，易知≠，等比數(shù)列{abn的公比6}q6－2d＝3，abn＝(6－2d)·3n－1，又abn＝6＋(bn－7)d，所以6＋(bn－7)d＝(6－2d)3n3－d3－d3－d32，即6＋(b3－7)d＝18，由b3，得－，由－1，所以6＋(b3－7)d＝(6－2d)·3d>0d3－d3－d>7*3n1n1∈N得d＝1或2，當(dāng)d＝1時(shí)，bn＝42－＋1，不合題意，當(dāng)d＝2時(shí)，bn＝3－＋4，符合題意，所以所求 d的值為2.法二：由數(shù)列{abn}是等比數(shù)列得 ab1ab3＝a2b2，而abn＝a7＋(bn－7)d，所以，由b1＝5，2＝7得，(6－2d)·[6＋(b3－7)d]＝36，易知d≠3，解得b3－7＝6>0，由∈*得，d＝1bdN3－d或2，當(dāng)d＝1時(shí)，bn＝43n1＋1，不合題意，當(dāng)n1＋4，符合題意，所以－d＝2時(shí)，bn＝3－2所求d的值為2.答案：28．已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，a2a3＝45，a1＋a5＝18.令bn＝Snn＋c(n∈N*)，若數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，則非零常數(shù)c＝________.解析：由題設(shè)知{an}是等差數(shù)列，且公差d>0，23＝45，a1＋da1＋2d＝45，aa則由得a1＋a5＝18，a1＋a1＋4d＝18.a1＝1，所以an＝4n－3(n∈N*)．解得d＝4.n1＋4n－32nn－1由bn＝Sn＝2＝2，n＋cn＋cn＋c第5頁(yè) 共9頁(yè)1因?yàn)閏≠0，所以可令 c＝－2，得到bn＝2n.因?yàn)閎n＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列．即存在一個(gè)非零常數(shù)c＝－1，使數(shù)列{bn也為等差數(shù)列．2}答案：－129．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，則an＝________.解析：由a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列可得a1＋a3＝2a2＋10，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得2a1＋2a2＝a3－7，即2a2＝a3－7－2a1，代入a1＋a3＝2a2＋10，得a1＝1，代入2S1＝a2－22＋1，得a2＝5.由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－2n＋1，兩式相減，得 2an＝an＋1－an－2n，即an＋1＝3an＋2n，當(dāng)n＝1時(shí)，5＝3×1＋21也適合an＋1＝3an＋2n，所以對(duì)任意正整數(shù) n，an＋1＝3an＋2n.上式兩端同時(shí)除以 2n＋1，an＋1 3 an 1得2n＋1＝2×2n＋2，等式兩端同時(shí)加 1，得an＋13an3＝3an，2n＋1＋1＝×n＋22n＋1222第6頁(yè) 共9頁(yè)所以數(shù)列an＋1是首項(xiàng)為3，2n23公比為2的等比數(shù)列，an3n所以2n＋1＝2，所以an＝3nn2－1，2所以an＝3n－2n.答案：3n－2n10．(2017杭·州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝1－1，其中n∈N*.4an(1)設(shè)bn＝2，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；2an－1(2)設(shè)cn＝4an，數(shù)列{cncn＋2}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜1對(duì)cmcm＋1n＋1于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：∵bn＋1－bn＝22－2an－12an＋1－1＝221－－－12an－1214an4an－2＝2(常數(shù))，2an－12an－1∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，由bn＝2得an＝n＋12n.2an－1(2)由cn＝4an，an＝n＋122n，得cn＝，n＋1n∴cncn＋2＝411＝2n－n＋2，nn＋21111111∴Tn＝21－3＋2－4＋3－5＋＋n－n＋2第7頁(yè) 共9頁(yè)121＋2－n＋1－n＋2＜3，1依題意要使Tn＜1對(duì)于n∈N*恒成立，cmcm＋1只需1≥3，cmcm＋1mm＋1≥3，即4解得m≥3或m≤－4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3.11．已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積S＝43，B＝60°，且222a＋c＝2b；等差數(shù)列{an}中，a1＝a，公差d＝b.數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝an，n為奇數(shù)，求數(shù)列{cn}的前2n＋1項(xiàng)和P2n＋1.bn，n為偶數(shù)，解：(1)∵S＝12acsinB＝43，∴ac＝16，又a2＋c2＝2b2，b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝ac＝16，∴b＝4，從而(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝64，a＋c＝8，∴a＝c＝4.a1＝4，故可得d＝4，∴an＝4n.∵Tn－2bn＋3＝0，∴當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－1－2bn－1＋3＝0，兩式相減，得bn＝2bn－1(n≥2)，∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，n 1∴bn＝3·2－.(2)依題意，cn＝

第8頁(yè) 共9頁(yè)4n，n為奇數(shù)，3·2n－1，n為偶數(shù).P2n＋1＝(a1＋a3＋＋a2n＋1)＋(b2＋b4＋ ＋b2n)[4＋42n＋1]n＋161－4n＝2＋1－422n＋1＋4n2＋8n＋2.12．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知 a1＝2，對(duì)任意 n∈N*，都有2Sn＝(n＋1)an.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；4的前n項(xiàng)和為T(mén)，求證：1≤T＜1.(2)若數(shù)列anan＋2n2n解：(1)因?yàn)?Sn＝(n＋1)an，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝nan－1，兩式相減，得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1，n n－1所以ann＝a11.因?yàn)閍1＝2，所以an＝2n.(