微積分的產(chǎn)生與應(yīng)用一、微積分產(chǎn)生背景在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初的歐洲，文藝復(fù)興帶來(lái)了人們思維方式的改變．資本主義制度的產(chǎn)生，使社會(huì)生產(chǎn)力大大得到解放．資本主義工廠(chǎng)手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過(guò)渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速向前發(fā)展．在科學(xué)史上，這一時(shí)期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出了新的課題．公元1492年，哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，證實(shí)了大地是球形的觀(guān)念；1543年，哥白尼發(fā)表了《天體運(yùn)行論》，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說(shuō)發(fā)生了根本的動(dòng)搖；開(kāi)普勒在1609—1619年，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，導(dǎo)致后來(lái)牛頓萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)；1609年伽里略用自制的望遠(yuǎn)鏡觀(guān)察了月亮、金星、木星等星球，把人們的視野引向新的境界．這些科學(xué)實(shí)踐拓展了人們對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，引起了人類(lèi)思想上的質(zhì)變．十六世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)的研究從常量開(kāi)始進(jìn)入了變量的領(lǐng)域．這成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是“變量”數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟．由于“變量”作為新的問(wèn)題進(jìn)入了數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)的研究方法也就提出了新的要求．在十七世紀(jì)前半葉，解析幾何的觀(guān)念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家接近了?但是十七世紀(jì)三十年代，解析幾何才被笛卡爾（DescartqsR.法）159廠(chǎng)1650）和費(fèi)爾馬（FermatP.de法）1601—1665）創(chuàng)立.在解析幾何里，由于建立了坐標(biāo)系，可以用字母表示變動(dòng)的坐標(biāo)，用代數(shù)方程刻畫(huà)一般平面曲線(xiàn)，用代數(shù)運(yùn)算代替幾何量的邏輯推導(dǎo)，從而把對(duì)幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)解析式的研究，使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)了.這種新的數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學(xué)的思想和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，恩格斯把它稱(chēng)為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn).此后人類(lèi)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)階段，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟.為十七世紀(jì)下半葉微積分算法的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。二、微積分的產(chǎn)生過(guò)程微積分是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的.微積分的原理可以追溯到古代.在中國(guó)，公元前4世紀(jì)的桓團(tuán)、公孫龍等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”；公元3世紀(jì)的劉徽，公元5—6世紀(jì)的祖沖之、祖暅對(duì)圓周率、面積以及體積的研究，都包含有極限和微積分的思想萌芽.在歐洲，公元前3世紀(jì)古希臘的歐幾里得（Euclid、阿基米得（Archimedes約公元前287一212）所建立的確定面積和體積的方法，也都包含有上述萌芽.在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初，由于受力學(xué)問(wèn)題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問(wèn)題可以用代數(shù)方法來(lái)解決的影響，促使許多數(shù)學(xué)家去探索微積分.開(kāi)普勒（KeplerJ.德）1571一1630）、卡瓦列里（CavalieriF.B.（意）1598—1647）和牛頓的老師巴羅（BarrowI.（英）1630—1677）等人也研究過(guò)這些問(wèn)題，但是沒(méi)有形成理論和普遍適用的方法．1638年，費(fèi)爾馬首次引用字母表示無(wú)限小量，并運(yùn)用它來(lái)解決極值問(wèn)題．稍后，他又提出了一個(gè)與現(xiàn)代求導(dǎo)過(guò)程實(shí)質(zhì)相同的求切線(xiàn)的方法，并用這種方法解決了一些切線(xiàn)問(wèn)題和極值問(wèn)題．后來(lái)，英格蘭學(xué)派的格雷果里（GregoryJ英）1638—1675）.瓦里斯（Walli,J.（英）161—1703）繼續(xù)費(fèi)爾馬的工作，用符號(hào)“0”表示無(wú)限小量，并用它進(jìn)行求切線(xiàn)的運(yùn)算.到十七世紀(jì)早期，他們已經(jīng)建立起一系列求解無(wú)限小問(wèn)題的特殊方法.諸如，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)、曲率、極大極小值，求運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度以及面積、體積、曲線(xiàn)長(zhǎng)度、物體重心的計(jì)算等．但他們的工作差不多都局限于一些具體問(wèn)題的細(xì)節(jié)之中，還缺乏普遍性的規(guī)律．到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類(lèi)型的問(wèn)題：第一類(lèi)是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類(lèi)問(wèn)題是求曲線(xiàn)的切線(xiàn)的問(wèn)題。第三類(lèi)問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類(lèi)問(wèn)題是求曲線(xiàn)長(zhǎng)、曲線(xiàn)圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。三、古代至中世紀(jì)的有關(guān)研究工作早在古代數(shù)學(xué)中，就產(chǎn)生了微分和積分這兩個(gè)概念的思想萌芽，形成兩種基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。兩者分別地被人們加以研究和發(fā)展。歷史上，積分思想先于微分思想出現(xiàn)，而不象今天的《數(shù)學(xué)分析》所講授的那樣，先微分后積分。積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問(wèn)題中，在古中國(guó)、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有涉及這類(lèi)問(wèn)題的思想和方法。如：古希臘的阿基米德（公元前287-212）用邊數(shù)越來(lái)越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱(chēng)為“窮竭法”。中國(guó)魏晉時(shí)代的劉徽在其《九章算術(shù)注》（公元263年）中，對(duì)于計(jì)算圓面積提出了著名的“割圓術(shù)”，他解釋說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣?！边@些都是原始的積分思想。又如，中國(guó)清代著名數(shù)學(xué)家李善蘭獨(dú)創(chuàng)的“尖錐術(shù)”，已使中國(guó)步入了微積分的大門(mén)。但還未形成多大影響時(shí)，西方的微積分就傳入了中國(guó)。16世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)家們?nèi)匝赜冒⒒椎碌姆椒ㄇ竺娣e、體積等問(wèn)題，并不斷加以改進(jìn)。天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒的工作是這方面的典型。他注意到，酒商用來(lái)計(jì)算酒桶體積的方法很不精確，他努力探求計(jì)算體積的正確方法，寫(xiě)成《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》一書(shū)，他的方法的精華就是用無(wú)窮多小元素之和來(lái)計(jì)算曲邊形的面積或體積。微分思想也在古代略見(jiàn)端倪，它是和求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題相聯(lián)系的，這是數(shù)學(xué)家們歷來(lái)所關(guān)注的另一類(lèi)問(wèn)題。光學(xué)研究中，由于透鏡的設(shè)計(jì)需要運(yùn)用折射定律、反射定律，就涉及切線(xiàn)、法線(xiàn)問(wèn)題。這方面的研究吸引了笛卡兒、惠更斯、牛頓、萊布尼茲等人。而在運(yùn)動(dòng)學(xué)研究中，要確定運(yùn)動(dòng)物體在某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，就是求曲線(xiàn)上某一點(diǎn)的切線(xiàn)方向，這就需要求作切線(xiàn)。意大利科學(xué)家伽利略主張自然科學(xué)研究必須進(jìn)行系統(tǒng)的觀(guān)察與實(shí)驗(yàn)，充分利用數(shù)學(xué)工具去探索大自然的奧秘。這些觀(guān)點(diǎn)對(duì)科學(xué)（特別是物理和數(shù)學(xué)）的發(fā)展有巨大的影響。他的學(xué)生卡瓦列里創(chuàng)立了“不可分原理”。依靠這個(gè)原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴(yán)格的積分法解決的問(wèn)題?！安豢煞帧钡乃枷朊妊坑?620年，深受開(kāi)普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過(guò)渡。牛頓約1642—1727年）生于英格蘭東海岸中部的一個(gè)農(nóng)民家庭。661年，由于成績(jī)優(yōu)秀考入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院,在此幸運(yùn)地得到巴魯教授的指導(dǎo)。1664年,牛頓取得了學(xué)士學(xué)位。1665年，倫敦流行鼠疫，波及劍橋大學(xué)，學(xué)院被迫停辦，牛頓便回到鄉(xiāng)下，在鄉(xiāng)間終日思考各種問(wèn)題，運(yùn)用他的智慧和數(shù)年來(lái)獲得的知識(shí)，發(fā)明了流數(shù)術(shù)（微積分），萬(wàn)有引力和光的分析。特別是牛頓因看見(jiàn)蘋(píng)果落地而悟得萬(wàn)有引力的故事,至今仍被后人傳誦。萊布尼茲約1646—1716年)生于德國(guó)東部的萊比錫,他的學(xué)識(shí)很廣，多才多藝，和我國(guó)的沈括有很多相似之處。他1661年考入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律,1672年因外交事務(wù)赴巴黎,在那里接觸到一些數(shù)學(xué)名流，特別是和惠更斯的交往，使年青的萊布尼茲學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之念油然而生，進(jìn)而進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，開(kāi)始創(chuàng)造性的工作，最突出的建樹(shù)是微積分。牛頓建立微積分是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮，所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓符號(hào)，并有效地促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。微積分出現(xiàn)以后，逐漸顯示出它非凡的威力，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，至此得到迎刃而解，恩格斯曾指出:“只有微積分才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過(guò)程:運(yùn)動(dòng)?！蔽⒎e分的基礎(chǔ)是極限論，而牛頓，萊布尼茲的極限理論是比較模糊的，進(jìn)入十九世紀(jì)，柯西與維爾斯特拉斯給出了極限概念的嚴(yán)格定義，它把整個(gè)極限過(guò)程用不等式來(lái)刻畫(huà)，使無(wú)窮的運(yùn)算化為—系列不等式的推導(dǎo)，完成了“E—”方法，這個(gè)定義至今仍普遍沿用著。有了這個(gè)定義微積分中連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等其它概念都得于完善,微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論得于系統(tǒng)完備。有了微積分,數(shù)學(xué)發(fā)生了—連串的本質(zhì)的變化,首先是羅巴契夫斯基非歐幾何的出現(xiàn),其次是阿貝爾和伽羅瓦開(kāi)創(chuàng)了近世紀(jì)代數(shù)的研究,隨后拓樸學(xué)、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、數(shù)理邏輯、概率論、泛函分析等學(xué)科都有了很大的發(fā)展。四、微積分的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用：要在半徑r=1cm的鐵球表面上鍍一層厚度為0.01cm的銅，求所需銅的重量W(銅的密度k=8.9g/cm"3)(說(shuō)明：cm"3后面的3是冪，也就是立方厘米，下面的r"3也是指r的3次方，依此類(lèi)推)解：先求鍍層的體積，再乘以密度，便得銅的質(zhì)量。顯然，鍍層的體積就是兩個(gè)球體體積這差設(shè)球的體積為V，則V=f(r)=4nr"3/3由題意可取r'=1,△r=0.01于是，AV%dV=f'(r1r=f'(1)*0.01,而f'(1)=nr"3/3)'|r''=4所以銅的體積約為dV=f'(1)*0.01=4*0.01~0.13(cm"3)于是鍍銅的質(zhì)量約為dW=kdV?0.13x8.41.16(g)微分在幾何學(xué)的應(yīng)用：曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題割線(xiàn)MN的斜率為割線(xiàn)MN的斜率為tan切線(xiàn)MT的斜率為k0-f(x)f(x)lim o~xxOf(x)f(x)lim o~xxO xxOf'(x),0微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用：邊際函數(shù)的應(yīng)用定義1:如果函數(shù)f(x在區(qū)間I可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)函數(shù)f(x為f(x的邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用上相應(yīng)地有邊際收益，邊際利潤(rùn)，邊際成本等。由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x是f(x0在x點(diǎn)的變化率。即當(dāng)x=x0時(shí)，X改變一個(gè)單位，y改變了f(xO個(gè)單位。如邊際成本C'(x0)表示生產(chǎn)x0個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加C'(xO)例1：某工丿訃產(chǎn)Q個(gè)單位產(chǎn)品的總成本€(xiàn)1元)為產(chǎn)屋Q〔臺(tái))的函數(shù)C1QF11OO-丄一Q2,求⑴生產(chǎn)900臺(tái)利10000臺(tái)1200H-］的平均成;仁⑵生產(chǎn)900臺(tái)討的邊際成本，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意沐⑴生產(chǎn)90。臺(tái)到10000臺(tái)時(shí)的T：均成本■即匝c(i(wcw)e1000-900⑵ 丄Q，.-.C-(900>^=1.5600600這表明當(dāng)生產(chǎn)第901臺(tái)時(shí)所花費(fèi)的成本為1.5元。同時(shí)也說(shuō)明邊際成本與平均成本有區(qū)別。微分學(xué)在最優(yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用:易拉罐問(wèn)題分析和假設(shè):首先把飲料罐近似看成一個(gè)直圓柱體.要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí),求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實(shí)際上用幾何語(yǔ)言來(lái)表述就是:體積給定的直圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?表面積用S表示,體積用V表示,則有S(r,h)2rhr2 r2 2[r2rh]V r2h,hV/r2.于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型:minS(r,h)其中S是目標(biāo)函數(shù)，r0,h0g(r,h)V r2h 0是約束條件(V已知，即罐內(nèi)體積一定)，?即要在體積一定的條件下，求罐的體積最小的r，h.-]rVh又由于Sr02r0r30S(r)r0知道一個(gè)局部極小值點(diǎn).-]rVh又由于Sr02r0r30S(r)r0知道一個(gè)局部極小值點(diǎn).r20r00V得到S(r) 2[r2r] 2[r2r2求駐點(diǎn)(臨界點(diǎn)，criticalpoint)實(shí)際上，它也是全局最小值點(diǎn)，因?yàn)榕R界點(diǎn)是唯一的.最小面積為s(r) 6J 6r20i2 0定積分在物理學(xué)中