計(jì)算固體力學(xué)第三章第一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二補(bǔ)充：彈性力學(xué)有關(guān)方程的矩陣表示*本節(jié)以二維平面問題為例，同樣適用于三維空間問題*假定：材料為均勻連續(xù)、各向同性的，變形是微小的，受力變形過程材料始終處于線彈性階段。

彈性力學(xué)平面問題：一點(diǎn)的體積力列陣：一點(diǎn)的應(yīng)變列陣：一點(diǎn)的應(yīng)力列陣：一點(diǎn)的位移列陣：一點(diǎn)的表面力列陣：第二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二邊界外法線方向余弦矩陣：平衡方程：（內(nèi)力與體積力的關(guān)系方程）寫成矩陣形式：幾何方程：(應(yīng)變與位移的關(guān)系方程)

其中A-微分算子矩陣其中：第三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二寫成矩陣形式：

物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系方程)寫成矩陣形式：D–彈性矩陣關(guān)系：E=2（1+μ）G

應(yīng)力邊界條件（在給定的應(yīng)力Lσ表面上）寫成矩陣形式：第四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1有限元法簡介第五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1有限元法簡介

有限元是近似求解一般連續(xù)域問題的數(shù)值方法，其實(shí)質(zhì)是：

從物理方面看：它是用僅在單元的結(jié)點(diǎn)(Elementnode)上彼此相聯(lián)系的單元集合體來代替待分析的連續(xù)體，也即將待分析的連續(xù)體劃分成若干個(gè)單元（彼此相連接),通過單元的特性分析來求解連續(xù)體的特性。

從數(shù)學(xué)方面看：它是使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，一經(jīng)求解出單元未知量，就可以利用插值函數(shù)確定連續(xù)體的場函數(shù)。顯然隨著單元數(shù)的增加，即單元尺寸的變小，解的近似程度將不斷改進(jìn)。如單元是滿足收斂要求的，近似解將收斂于精確解。

有限元借助于兩個(gè)重要工具：在理論推導(dǎo)方面采用矩陣方法，在實(shí)際計(jì)算中采用計(jì)算機(jī)。第六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1有限元法簡介

有限元的發(fā)展1956年美國科學(xué)家Turner,Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)，將剛架位移法推廣到彈性力學(xué)平面問題，第一次給出用三角形單元求平面應(yīng)力問題的正確解答。1960年Clough進(jìn)一步處理了平面問題，并第一次提出“有限單元法”的名稱，并取得了一系列成果。60-70年代，有限元的巨大成就引起了數(shù)學(xué)界的注意，對于有限元離散化誤差，收斂性，穩(wěn)定性等方面的研究鞏固了有限元的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。70年代有限元發(fā)展異常迅速，從“位移法”開始已經(jīng)發(fā)展成內(nèi)容十分廣泛的計(jì)算力學(xué)學(xué)科，僅分析方法而論，可分為：位移元，雜交元，混合元，邊界元，樣條元和半解析法等；就分析對象而言，已由固體力學(xué)分析，發(fā)展為流體，傳導(dǎo)，塑性，粘彈性等，近年來，每年發(fā)表有關(guān)有限元的論文數(shù)以千計(jì)。第七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元的基本思想把整個(gè)求解區(qū)域分成許多個(gè)有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個(gè)單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進(jìn)行所謂的分片插值。在每一個(gè)單元上求勢能。將所有單元上的勢能加起來得彈性體的總勢能。最后應(yīng)用最小勢能原理求解單元節(jié)點(diǎn)位移。

1.有限元法簡介第八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元的基本思想加權(quán)余量方法和變分法通過對未知場函數(shù)進(jìn)行試函數(shù)近似，能把連續(xù)問題化為離散問題，但求解能力有限，一個(gè)主要障礙就是試函數(shù)是在全場范圍內(nèi)定義的。有限元單元法的思想是把整個(gè)求解區(qū)域分成一些既不重疊也無裂縫的子區(qū)域（單元）。以未知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值作為基本未知參數(shù)，運(yùn)用各種方法得到單元的剛度方程，這樣就可以用離散的方法求解。第九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二幾個(gè)關(guān)鍵問題有限元的基本思想有限元離散過程中，相鄰單元在同一節(jié)點(diǎn)上場變量相同達(dá)到連續(xù)，但未必在單元邊界上任一點(diǎn)連續(xù)；在把載荷化為節(jié)點(diǎn)載荷的過程中，只是考慮單元總體平衡，在單元內(nèi)部和邊界上不能保證每點(diǎn)都滿足控制方程。關(guān)鍵問題：單元形狀；單元的近似函數(shù)；建立單元剛度方程的方法；收斂、精度等問題.建立單元剛度方程的方法之一是直接法.第十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1.有限元法簡介

用內(nèi)力作為問題的未知量.使用平衡方程,引進(jìn)協(xié)調(diào)方程,最后的到一組確定多余力或未知力的代數(shù)方程組.假定節(jié)點(diǎn)位移作為問題的未知量.用平衡方程及力與位移的關(guān)系,借助位移表達(dá)協(xié)調(diào)控制方程.這兩種方法在分析中得出的未知量(力或位移)，并得出與其公式相關(guān)的不同矩陣（柔度矩陣或剛度矩陣）。由于位移法的公式對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)分析問題比較簡單，因此對于計(jì)算機(jī)求解，位移法（或剛度法）更符合要求。此外，絕大多數(shù)的通用有限元程序編入了求解結(jié)構(gòu)問題的位移公式。第十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元方法涉及用相互連接的，叫做有限元的小單元模擬結(jié)構(gòu),一個(gè)位移函數(shù)與每一個(gè)有關(guān)的單元相關(guān).每個(gè)相互連接的單元通過共同(或共享)界面,包括節(jié)點(diǎn),邊界線表面,與其他單元連接.通過使用構(gòu)成結(jié)構(gòu)的材料的已知應(yīng)力-應(yīng)變特性,可以用結(jié)構(gòu)中其他單元的特性確定給定節(jié)點(diǎn)的特性.描述每一節(jié)點(diǎn)特性的整組方程得出一系列用矩陣符號最佳表示的代數(shù)方程.第十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二在結(jié)構(gòu)力學(xué)里介紹的矩陣分析法可以看成是有限元法用于桿系結(jié)構(gòu)的一個(gè)特例。有限元法無論對什么樣的結(jié)構(gòu)（桿系，平面，三維，板殼）分析過程是一樣的，一般為：現(xiàn)在給出建立有限元方法公式和求解結(jié)構(gòu)問題的步驟.這個(gè)一般步驟是為了揭示建立一個(gè)問題的有限元公式所遵循的步驟,以后學(xué)習(xí)彈簧,桿,梁,平面框架,平面應(yīng)力,軸對稱應(yīng)力,三維應(yīng)力,熱傳導(dǎo)和流體流動等特殊問題時(shí),容易容易理解.建議以后學(xué)習(xí)特定單元時(shí),定期的復(fù)習(xí)這一節(jié).第十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元法基本步驟:第十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元法基本步驟

將物體劃分為具體有相關(guān)節(jié)點(diǎn)的等價(jià)系統(tǒng),選擇最適當(dāng)?shù)膯卧愋蛠碜罱咏哪M實(shí)際的物理性能.所用的單元總數(shù)和給頂物體內(nèi)單元大小和類型的變化是需要工程判斷的主要問題.單元必須小到可以給出有用的結(jié)果,又必須足夠大以節(jié)省計(jì)算費(fèi)用.

在有限元分析中,單元類型選擇取決于實(shí)際受載條件下物體的物理構(gòu)成,也取決于分析人員所期望的近似程度.必須判斷選擇一維,二維或三維單元進(jìn)行理想化是否適當(dāng).第十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二

選擇每個(gè)單元內(nèi)的位移函數(shù).該函數(shù)是用單元的節(jié)點(diǎn)值在單元內(nèi)部定義的.線形,二次和三次多項(xiàng)式是常常使用的位移函數(shù),因?yàn)橛盟鼈兘⒂邢拊奖容^簡單.

每個(gè)單元可重復(fù)使用同一個(gè)通用的位移函數(shù).一個(gè)連續(xù)量,如整個(gè)物體內(nèi)的位移,用一個(gè)離散的模型來近似,而此離散模型是由每個(gè)有限域或有限單元內(nèi)定義的分片連續(xù)組成.第十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二為了推導(dǎo)每一個(gè)有限單元的方程,需要應(yīng)變位移和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.比如,在一維變形和小應(yīng)變的情況下第十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二聯(lián)系節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的剛度矩陣和單元方程是通過基本單元的力平衡條件和力與位移的關(guān)系的出.用功或能量法很容易建立二維和三維單元的剛度矩陣與方程.加權(quán)殘余法在推導(dǎo)單元方程時(shí)是很有用的，比如伽遼金法.尤其當(dāng)泛函(如勢能)不容易得到時(shí),這些方法就特別有用.而且加權(quán)殘余法使有限元方程直接用于任何微分方程.第二十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二得到單元方程后,通過疊加法(稱為直接剛度法,其理論基礎(chǔ)為節(jié)點(diǎn)力平衡)將單個(gè)單元方程加在一起得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的總體方程.此時(shí)剛度矩陣為一個(gè)奇異矩陣,其行列式為零.為了去掉奇異性問題,必須利用某些邊界條件(或約束,或支撐),使結(jié)構(gòu)固定,不能作為一個(gè)剛體移動.即需要修改剛度矩陣.第二十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二在修改考慮了邊界條件后，形成一組聯(lián)立代數(shù)方程組.可以用消去法(高斯消元法)或迭代法求解此方程.第二十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二最后的目標(biāo)是解釋和分析用于應(yīng)力應(yīng)變分析過程的結(jié)果.在進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析決策時(shí),確定結(jié)構(gòu)中位移最大和應(yīng)力最大的位置通常是重要的.分析人員必須就以下問題作出決定:將結(jié)構(gòu)或連續(xù)體劃分為有限元的問題,選擇單元類型或分析中要使用的單元類型(步驟1),外加載荷的類型,邊界條件的類型,外加支撐的類型問題.其他的步驟2-7,可以由計(jì)算機(jī)程序自動進(jìn)行.第二十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1.將結(jié)構(gòu)“離散化”為有限個(gè)單元的組合體。2.對單元進(jìn)行分析：(a)由單元結(jié)點(diǎn)位移來描述單元內(nèi)部位移(b)進(jìn)行單元應(yīng)變，應(yīng)力分析(c)由勢能原理或虛位移原理W外=W內(nèi)，建立單元特性方程（單元剛度方程）自然離散(如桁架)(b)逼近離散(對連續(xù)體)有限元法步驟小結(jié)3.整體（集合體）分析用直接剛度法集成整體剛度矩陣和綜合等效荷載列陣。第二十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二4.邊界條件處理（對已知邊界條件）方法：(a)劃零置1法

(b)乘大數(shù)法5.解方程求位移用適合的數(shù)學(xué)方法求解整體剛度方程得到全部結(jié)點(diǎn)位移。6.根據(jù)求得位移，進(jìn)一步求應(yīng)變，應(yīng)力等。有限元法步驟小結(jié)第二十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元法基本步驟:第二十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第二十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二2有限元法的應(yīng)用第二十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二2.有限元法的應(yīng)用應(yīng)力分析,包括桁架和框架分析,與孔,凸起,或其他物體幾何形狀改變相關(guān)的應(yīng)力集中問題.屈曲;振動分析.熱傳遞;流體流動,包括通過多孔材料的滲流;電位或磁位的分布.第二十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二現(xiàn)給出有限元方法應(yīng)用的一些例子。用這些例子說明可以用有限元方法求解的問題的類型，規(guī)模和復(fù)雜程度，并說明典型的離散過程和所用的單元類型。第三十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二用帶圓圈的數(shù)字標(biāo)出了48個(gè)單元,用不帶圈的數(shù)字表示28個(gè)節(jié)點(diǎn).每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)轉(zhuǎn)動分量和三個(gè)位移分量.第三十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第三十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二如圖1.4,用120個(gè)節(jié)點(diǎn)和297個(gè)平面應(yīng)變?nèi)切螁卧M.將對稱性應(yīng)用于整個(gè)桿端的一半.此分析的目的是找出桿端應(yīng)力集中最高的位置.第三十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第三十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第三十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第三十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二有限元法的優(yōu)點(diǎn)可以很容易的模擬不規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu).可以毫無困難的處理一般的載荷條件.因?yàn)閱卧匠淌菃蝹€(gè)的建立起來的,因此可以模擬由幾種不同材料構(gòu)成的物體.可以處理數(shù)量不受限制的和各種類型的邊界條件.單元的尺寸大小可以變化,必要時(shí)可使用小單元.改變有限元模型比較容易,花費(fèi)不大.可包括動態(tài)作用.可處理大變形和非線形材料帶來的非線形問題.第三十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第三十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二3協(xié)調(diào)模型分析第三十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二大部分有限單元,都是根據(jù)虛功原理,或由它導(dǎo)出的能量原理建立的,這類單元統(tǒng)稱為“協(xié)調(diào)模型”或“相容模型”（Conformingmodel)。1.建立協(xié)調(diào)模型的一般方法表示單元的總位能，由下式定義：其中因此僅僅包含獨(dú)立的宗量d,可以根據(jù)最小位能原理的駐值條件得到方程。第四十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二

其中該方程可以作為單元集合體的結(jié)構(gòu)的平衡方程。對于方程具體形式,我們以一維桿單元為例推導(dǎo)。第四十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1.1用單位-位移定理推導(dǎo)考慮一個(gè)線性單元,承受一組廣義力廣義位移:在外力Fi處施加一虛位移,由虛功原理,得在線彈性結(jié)構(gòu)中,虛應(yīng)變是正比于虛位移的,其中,代表由于在Fi方向上施加的單位位移()引起的協(xié)調(diào)應(yīng)變分布.代入第四十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二表示在力Fi方向施加單位位移(di=1)所引起的單元內(nèi)的協(xié)調(diào)應(yīng)變分布.得單位-位移定理:

其中在力系F作用下所產(chǎn)生的位移與真實(shí)應(yīng)變分布之間存在線形關(guān)系:第四十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系單元的節(jié)點(diǎn)平衡方程，其中K為單元剛度矩陣。為了方便求解，真實(shí)應(yīng)變分布的b的計(jì)算比較困難，因此采用近似處理第四十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二例桿單元考慮圖示桿(Bar)單元，長度為l，截面積A，彈性模量E，節(jié)點(diǎn)為1，2。12F1d1F2d2節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分別表示成：在節(jié)點(diǎn)1處加單位位移d1=1,協(xié)調(diào)的應(yīng)變?yōu)椋涸诠?jié)點(diǎn)2處加單位位移d2=1,協(xié)調(diào)的應(yīng)變?yōu)椋旱谒氖屙?，共九十九頁，編輯?023年，星期二假定真實(shí)的位移分布是坐標(biāo)x的線形函數(shù)，即由應(yīng)變-位移關(guān)系因此，有相應(yīng)的平衡方程為：第四十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1.2用求解微分方程來推導(dǎo)若沒有體力，則應(yīng)力平衡方程為：仍然以剛才一維桿件為例:由應(yīng)變-位移關(guān)系12F1d1F2d2由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系第四十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二先將2端固定，在1端施加位移u1，其正方向與坐標(biāo)軸一致，則幾何邊界條件為：12u1n2n1u2=0積分第四十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二邊界（兩個(gè)端面）1，2的外法線n1,n2的方向余弦分別為:12u1n2n1u2=0則根據(jù)力的邊界條件（面力與應(yīng)力的關(guān)系），有同理，將1端固定，在2端施加位移u2，則幾何邊界條件為：12u1=0n2n1u2第四十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二12u1=0n2n1u2則根據(jù)力的邊界條件（面力與應(yīng)力的關(guān)系），可得因此，如果同時(shí)在兩端施加位移，相應(yīng)的邊界力為：第五十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二12F1u1F2u2寫成矩陣形式與前面用單元-位移定理推導(dǎo)出的形式一樣。第五十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二1.3用最小位能原理推導(dǎo)根據(jù)邊界條件：仍然以剛才一維桿件為例:（1）選擇位移函數(shù)12F1u1F2u2代入得到記為得到以節(jié)點(diǎn)位移表示的位移函數(shù)：第五十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（2）應(yīng)變-位移函數(shù)12F1d1F2d2對于一維問題：記為位移映射矩陣（3）應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（4）總位能第五十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（4）總位能單元的應(yīng)變能：此時(shí)的外力功：因此系統(tǒng)的總位能：代入駐值條件得到節(jié)點(diǎn)力-位移關(guān)系：其中：第五十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第五十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二假定梁(Beam)單元是能夠抵抗軸力，彎矩，扭矩的等截面直桿，作用在梁元上的力系為：2.梁單元取對應(yīng)的位移：因此梁單元剛度矩陣為12*12階其中剛度矩陣可以分成4組來考慮（1）軸向剛度；（2）扭轉(zhuǎn)剛度；（3）xy平面內(nèi)的彎曲剛度；（4）xz平面內(nèi)的彎曲剛度。第五十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（1）軸向剛度根據(jù)桿單元的分析，可以得到力-位移關(guān)系式為記為（2）扭轉(zhuǎn)剛度其中第五十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（3）xy平面內(nèi)的彎曲剛度在無中間載荷作用時(shí)，其撓度v的微分方程是取撓度函數(shù)為：根據(jù)幾何邊界條件：第五十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二記為代入撓度函數(shù)得式中同時(shí)可得彎曲時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)榇霊?yīng)變能公式第五十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二其中表示梁在計(jì)算平面內(nèi)的彎曲剛度矩陣．第六十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（4）xz平面內(nèi)的彎曲剛度此時(shí)和（３）xy平面情況的符號不同．同理可得：其中第六十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（５）主軸坐標(biāo)系內(nèi)的梁單元的剛度矩陣主軸坐標(biāo)系內(nèi)的梁單元的剛度矩陣K可以通過組裝前面（１），（２），（３），（４）步中的剛度，按照排列組成12*12的完整梁單元剛度矩陣．第六十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（6）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系內(nèi)的力-位移關(guān)系式（7）基準(zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)的力-位移關(guān)系式一般情況下,梁的形心和節(jié)點(diǎn)在空間不重合,他們之間的差距稱為”偏心”。因此，要根據(jù)虛功原理，把主軸坐標(biāo)系內(nèi)導(dǎo)出的梁元關(guān)于形心的力-位移模式轉(zhuǎn)換成關(guān)于節(jié)點(diǎn)的力-位移模式。（相當(dāng)于移軸）為了得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度特性，必須要對單元進(jìn)行組合，這使得所有的節(jié)點(diǎn)位移和他們對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力系將參考一個(gè)公共的坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系就是基準(zhǔn)坐標(biāo)系。要建立各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系內(nèi)的力-位移關(guān)系式與基準(zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)的力-位移關(guān)系式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。（相當(dāng)于移軸加轉(zhuǎn)軸）第六十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二例：如圖，有中間支點(diǎn)的懸臂梁，端點(diǎn)受載荷P作用，假定梁的EI是常數(shù)，長度為2L，假定中點(diǎn)有滾軸支撐，右端為固支．確定節(jié)點(diǎn)位移，轉(zhuǎn)動和反作用力，并作剪力和彎矩圖．第六十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二按圖建立離散單元，２個(gè)單元，并建立總體坐標(biāo)軸，得到總體剛度矩陣第六十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二及第六十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二將已知的位移和轉(zhuǎn)角回代入控制方程，可以確定總體坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)力。第六十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第六十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第六十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第七十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二作業(yè)1：參照上面方法，對于圖P4.3所示的梁，確定鉸支點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動以及載荷P作用處的轉(zhuǎn)動和位移．確定反作用力，畫出剪力和彎矩圖，令EI沿梁的長度是常數(shù)．第七十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二３.矩陣位移法自學(xué)作業(yè)2：第七十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第七十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二４.平面應(yīng)力和平面應(yīng)變概念（1）平面應(yīng)力平面應(yīng)力定義為一種應(yīng)力狀態(tài)，在這種應(yīng)力狀態(tài)下，假定垂直于該平面的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力為零。即應(yīng)力主要發(fā)生在平面內(nèi)。例如很多薄板，如：第七十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二（2）平面應(yīng)變平面應(yīng)變定義為一種應(yīng)變狀態(tài)，在這種應(yīng)變狀態(tài)下，假定垂直于該平面的線應(yīng)變和剪切應(yīng)變?yōu)榱?。對于有固定橫截面的長物體（如z方向），如果僅僅作用有(x,y方向)的載荷，并且沿長度方向不變化，就可以假定為平面應(yīng)變狀態(tài)。如：第七十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第七十六頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第七十七頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第七十八頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二5.平面三角形單元為了能用節(jié)點(diǎn)位移表示應(yīng)變和應(yīng)力，首先必須假設(shè)一個(gè)位移模式，也就是假定位移分量為坐標(biāo)的某種簡單函數(shù)，這些函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诠?jié)點(diǎn)上的位移分量的數(shù)值。這些函數(shù)習(xí)慣上稱為“形狀函數(shù)”，或“插值函數(shù)”。在協(xié)調(diào)模型中，多用多項(xiàng)式作為插值函數(shù)?？疾炱矫嫒切螁卧??？紤]一個(gè)薄板受拉伸作用，如圖第七十九頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二對薄板采用限元法分析:第八十頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二考慮從右圖中取出基本的三角形單元，每個(gè)單元有節(jié)點(diǎn)i,j,和m。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度。這里采用逆時(shí)針方向記錄節(jié)點(diǎn)號。第八十一頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二第八十二頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二選擇每一個(gè)單元的位移函數(shù)為線形函數(shù)式中u(x,y)和v(x,y)描述單元內(nèi)部任何一點(diǎn)(xi,

yi)的位移。線形函數(shù)保證滿足協(xié)調(diào)關(guān)系．有指定端點(diǎn)的線形函數(shù)只有一條路徑（直線）通過兩個(gè)端點(diǎn)．因此，線形函數(shù)可以保證沿邊界和在相鄰單元共享的節(jié)點(diǎn)處的位移是相等的．利用方程（１），可以得到包容函數(shù)u和v的廣義位移函數(shù)為：（１）回84第八十三頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入方程（２），可以得到（２）（３）第八十四頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二將方程（3）的前，后三個(gè)方程分別寫成矩陣形式：代回方程（１）得到（4）第八十五頁，共九十九頁，編輯于2023年，星期二A為三