2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市伊美區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)

試題

一、單選題

1.兩平行直線3x-2y-l=0和6x-4y+3=°間的距離是（

5屈4萬2萬3而

A.B.C.一^一D.3

【答案】A

【分析】將直線6x-"+3=°的對應(yīng)項系數(shù)化為3x-2y-l=°的相同，代入平行線的距離公式中,

求出距離.

3

【詳解］解：將直線6x-4y+3=0化為IN+二

所以兩平行直線3》一2卜一1=0和6》-4了+3=0間的距離

故選：A.

2.雙曲線36的焦點到漸近線的距離為（）

巫

A.3B.&C.也D.瓜

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點坐標(biāo)以及漸近線方程，由點到直線的距

離公式計算可得答案.

fy21

【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為36,

其焦點坐標(biāo)為住3，°）,其漸近線方程為y=±啦X,即血士”0,

d=■■—

則其焦點到漸近線的距離V1+2

故選D.

【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標(biāo).

3.若某拋物線過點（-L3）,且關(guān)于x軸對稱，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

=；=V，

A.V=-9xB.3C.V=-9x或*5D/=±9x

【答案】A

【分析】由于已知拋物線的對稱性，則可設(shè)拋物線『=-2px然后把（T，3）代入求出P即可.

【詳解】解：依題意設(shè)拋物線解析式為『=-2川，

9

把（-1,3）代入得9=2p,解得2一],

所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-9》，

故選：A.

as5邑

4.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛加｝的前"項和，若%=§,則$5等于（）

\_

A.1B.-1C.2D.2

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式計算即可.

9

]5|+為）

邑37%

【詳解】$5=2'=5%=1.

故選：A.

5.在正項等比數(shù)列｛《J中，若依次成等差數(shù)列，則｛0｝的公比為

_11

A.2B.2C.3D.3

【答案】A

【分析】由等差中項的性質(zhì)可得6%=%+%,又｛“，，｝為等比數(shù)列，所以6a4“闖’+〃必6,化簡整

理可求出q的值.

【詳解】由題意知2x3%=%+%,又㈤｝為正項等比數(shù)列，所以6%/"/+。/,且q>0,所

以g2+q-6=0,

所以q=2或g=-3（舍），故選人

【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟練掌握等差中項的性質(zhì)，及等比數(shù)列的通項

公式是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

6.已知函數(shù)/（》）=.（（1）/+》+2,則廣（1）等于（）

A.-3B.-2C.TD.1

【答案】C

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得到/'（x）=2/'（l）x+l,將x=l代入等式求解即可.

【詳解】由/（x）=/'⑴丫2+》+2

得八x）=27"）x+l,

令x=l,得/'（1）=2/⑴xl+1,

解得41）=T,

故選：C

7.函數(shù)/UAxlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）

（0,-）

A.eB.e

A、

（一，+8）

C.E-e）

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于。求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即

得到函數(shù)‘（X）=*Mx的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)的定義域為（°，+8）,

/'（%）=Inx+1

人/（x）＜On。＜x＜—

...函數(shù)/（x）=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（°彳），

故選：A

8.若函數(shù)/（》）=、3+公2+、（xeR）不存在極值點，則實數(shù)”的取值范圍是（）

百RB（^8，—G）U[G，+8）

c.?瓜吟D.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)無極值可知導(dǎo)數(shù)/'（、）=3/+2奴+1=（）有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，利用

判別式求解即可.

[詳解】?.JG）=丁++X在定義域R內(nèi)不存在極值，

..../■'。）=3，+2*+1=（）有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，

...△=4“2-1240,

...-石<a<y/3

故選：D

二、多選題

9.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為邑，下列說法正確的（）

A.若邑="+1,則S，J是等差數(shù)列

B.若S，，=3"-l,則｛%｝是等比數(shù)列

C.若也>｝是等差數(shù)列,則$9=9牝

D.若口｝是等比數(shù)列，且則%S3>S；

【答案】BC

【分析】對于A,求出4，的,%即可判斷；

對于B,利用""=邑-5,1求出通項公式，再驗證是否滿足1=2,即可判斷；

對于C,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；

對于D,當(dāng)4=1時，可得岳,邑-$；=-%2<0,即可判斷.

［詳解］解：對于A,若S"=/+l,則q=E=2,a2=S2-St=3ta｝=S｝-S2=5f則｛4｝不是

等差數(shù)列，A錯誤；

對于B,若BQ"-1,則4=E=2,當(dāng)心2時，??=5?-S?.I=3"-1-（3--1）=2X3-）滿足

%=2,

所以""=2x3'i,則是等比數(shù)列，B正確：

S-95|+%）可

對于C,｛《J是等差數(shù)列，則921c正確；

對于D,若｛""｝是等比數(shù)列，當(dāng)4=1時，則S/S3-S；=3“；-4a；=Y<°,口錯誤.

故選：BC.

10.設(shè)等差數(shù)列5｝的前〃項和為S，.若5=°,%=6,則（）

_3n2-9n

A.S“=〃2-3nB.，，=2

Ca?=3n-6Dan=2n

【答案】BC

【解析】由已知條件列方程組，求出公差和首項，從而可求出通項公式和前〃項和公式

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，

因為$3=。，%=6,

3.+3義2d=0(,

-12(?)=-3

所以［q+3d=6,解得i"=3,

所以=《+(〃-1)d=一3+3(〃-1)=3〃-6,

o/7(/7-1),r3〃(〃-1)3n2-9n

S=na,+—----d=-3〃+-------=------

”n1222

故選：BC

-一二1

11.若方程3T1-r所表示的曲線為C,則下列命題正確的是()

A.若C為橢圓，則l<f<3B.若C為雙曲線，則/>3或f<l

C.曲線C可能是圓D.若C為焦點在V軸上的橢圓，貝

【答案】BC

x,-t

【解析】根據(jù)方程3T1-f所表示的曲線為C的形狀求出，的取值范圍，進而可判斷各選項的

正誤.

3T>0

J1</<3

【詳解】對于A選項，若C為橢圓，則［3一，*"1,解得卜*2,人選項錯誤；

對于B選項，若。為雙曲線，則即(―1)(一3)>0,解得，<1或，>3,B選項正

確；

'3-r>0

,1T<0

對于C選項，若曲線C為圓，則［3T=￡T,解得"2,c選項正確；

3-/>0

/一1>0

對于D選項，若c為焦點在y軸上的橢圓，則,解得2<，<3,D選項錯誤.

故選：BC.

12.已知函數(shù)/0）=卜”一數(shù)的圖象在x=l處的切線方程為x+y+6=0,則（）

A.°=2

B.6=1

C./G）的極小值為Tn27

D."x）的極大值為7n2-l

【答案】ABD

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，表示出切線方程，即可求出a、b,利用單調(diào)性求出極大值.

【詳解】因為/*）=lnx-ax,所以/'°）=受一”,又因為函數(shù)/（x）的圖象在x=l處的切線方程為

x+y+6=0,所以/。）=一。=一6-1,解得。=2,b=\_

所以AB正確；

由/卜”=2=x,令/心）＞0,得/（x）在（0’5）單增，令/'。）＜。，得/（x）在I/00）單

/、X=1/[l|=ln-!—l=-ln2-l

減，知J?）在2處取得極大值，2.無極小值.故選ABD.

三、填空題

13.圓/+/+2》-2P一8=0被直線x+y+2=0所截得的弦長為.

【答案】40

【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)與半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心

到直線的距離，再利用垂徑定理及勾股定理計算可得；

【詳解】解：圓/+/+2x-2y-8=0,即（x+l）2+（7-1）2=10,圓心為（一"），半徑/=呵圓

心（7,1）到直線x+y+2=0的距離八學(xué)黑3所以弦長為冰碼—巴

故答案為：4立

_5_5&=

14.已知等比數(shù)列出”的前〃項和為S",且2,-4,則與.

【答案】2--1

【分析】根據(jù)已知條件求出數(shù)列｛“”｝的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式可求得結(jié)

果.

q+%=%(1+)=|r

a1=2

a+a=a^(l+<72)=41

24q=-

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛“"｝的公比為力由題意可得4,解得I2

2x

（2T）

所以,一04S”==4

1--2"

2"2

E,4(2—)2〃

—=2M-1

因此，42"4

故答案為：2"-1.

15.若函數(shù)/（q=-/+"在區(qū)間（-1，0）上恰有一個極值點，則”的取值范圍是,

【答案】（一2,°）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性進行求解即可.

a

【詳解】二次函數(shù)/（幻=一-+"的對稱軸為：=要想函數(shù)〃x）=-/+ax在區(qū)間

（1n\—1<—<0—2<a<0

上恰有一個極值點，只需2,

故答案為：（一2，°）

16.若函數(shù)/（x）=l-"+l在區(qū)間。依）內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是

【答案】

【分析】等價于在°,+8）上恒成立，再求函數(shù)的最值得解.

【詳解】因為函數(shù)"X）=x3-”x+l在區(qū)間。，毋）內(nèi)是增函數(shù),

所以/'（X）=3x?_a20在（1,+8）上恒成立,

故aM3x2在（1收）上恒成立,

則

故答案為：（r°，3]

四、解答題

17.（1）若雙曲線和橢圓-1共焦點，且一條漸近線方程是Kx-N=°,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程；

⑵過點“（°」）的直線/交曲線x'4y于48兩點，若MH=8,求直線/的方程.

V人1

【答案】⑴3；

（2產(chǎn)了+1=0或X+尸]=0.

【分析】（1）求得橢圓的焦點，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為出2后（的也＞°）,。2=2,進而由

漸近線可求得的也的關(guān)系，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出直線/的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，然后利用拋物線的定義求出焦點弦，即可列出關(guān)

于人的方程，求解即可得到答案.

【詳解】（1）記橢圓方程為短片（4＞自＞0）,則片=5,牙=i,

所以T=“「-6;=4,所以。=2,所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（2，°）,（一2,0）.

由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為40：-4層=1（々也＞0）,且。2=2,

,b

y=±—2x

雙曲線的漸近線方程為生,

廠—=y[3/-

又雙曲線的一條漸近線方程為Wx-V=°,所以“2,則

又埼+a2=j2,即4出2=4,所以的2=1,廳=3的2=3,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為3.

（2）由已知可得，曲線軌跡為拋物線，P=2,且“（°」）是拋物線的焦點，

設(shè)”（演，必），3,為）,則由拋物線的定義可知，=忸訓(xùn)=%+1

當(dāng)直線/斜率不存在時，直線方程為彳=0,直線/與拋物線只有一個交點（8°）,與已知矛盾，不合

題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的斜率為4,則直線/的方程為歹=丘+1,

x2=4y

聯(lián)立直線與拋物線的方程=區(qū)+1,可得八（4父+2?+1=o,

△=6二+21-4=16父（父+1）20

當(dāng)％=。時，可得兇=必=1,設(shè)占=-2,則*2=2,此時1AB卜4不滿足,

所以％X0,則△＞（）恒成立.

由韋達定理可得，凹+%=似2+2,又以"|=必+1,忸陷=%+1,

所以=+忸”|=必+%+2=8,

所以必+%=6,即止+2=6,解得*=±1.

當(dāng)％=1時，直線/的方程為＞=x+i,即x-y+i=o；

當(dāng)"=T時，直線/的方程為y=r+L即x+y-i=o.

綜上所述，直線/的方程為》7+1=°或x+y-i=°.

18.已知數(shù)列｛"J中，4=-2,｛%｝的前“項和為邑，且數(shù)列$"一〃2｝是公差為一3的等差數(shù)列.

⑴求，；

⑵求為.

【答案】⑴4=〃2-3〃

⑵%=2〃-4

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可求得s“；

（2）利用“”與E，的關(guān)系式即可得解.

【詳解】（1）由題意，數(shù)列移"一',｝是公差為-3的等差數(shù)列，

又因為q=一2,所以-1=-3,

故5-=-3-3（〃-1）=-3〃，則5“=〃2_3?

（2）已知《=-2,

當(dāng)“22時，%=S“_S,,T=〃2-3〃-[(〃-1)2-3(〃-1)]=2〃-4

經(jīng)檢驗：q=-2滿足q=2〃-4,

所以%=2〃-4

19.已知函數(shù)/5）=1門-"+。.

（1）若。=1,求函數(shù)/G）的極值；

⑵求函數(shù)/G）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（1）極大值為°,無極小值

（2）答案見解析

【分析】（1）先對/（X）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系得到/（X）的單調(diào)性，從而求得/（X）的

極值：

（2）求出/（*）的導(dǎo)數(shù)，分類討論。的范圍，即可求出/（X）的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】（1）當(dāng)。=1時，"x）=lnx-x+l（x>0）,

Z（x）=-!-l=-

則XX,

令華）>0,得O<X<1；令/'（x）<0,得x>l,

所以/（x）在（°，1）上單調(diào)遞增，在（1，+°°）上單調(diào)遞減，

故/（X）在X=1處取得極大值/（1）=°,無極小值.

（2）因為/（x）=lnx-ax+a（x>0）,

f，（x）=」=a

則XX，

當(dāng)時，恒成立，所以/（X）在（°，+8）上單調(diào)遞增，

n11

<x<

當(dāng)a>0時，令/心）>0,得a；令/'（x）<0,得

所以/（x）在匕單調(diào)遞增，在El上單調(diào)遞減，

綜上：當(dāng)寸，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（°，+8）；

當(dāng)a>°時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為

20.已知"J為等差數(shù)列，前〃項和為S"（〃eN*）,｛5｝是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0,

打+4=12b3=aA—2al1=1也

（1）求｛見｝和包｝的通項公式；

（2）求數(shù)歹U也也｝的前〃項和（"WN"）.

【答案】⑴""=3"-2,4=2"

（2）（3〃-4）2-2+16

【分析】（D設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，等比數(shù)列也”｝的公比為q.通過8+4=12,求出外得

到仇=2”,然后求出公差",推出/=3〃-2.

（2）設(shè)數(shù)列｛%凡｝的前〃項和為1,利用錯位相減法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列｛牝也，｝的前〃項和即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的公差為d,等比數(shù)列國J的公比為g.

由已知8+4=12,得A（a+/）=12,

而"=2,所以屋+q-6=0

又因為口＞°,解得4=2.

所以，"=2".

由可得34-q=8①，

由可得q+5d=16②，

聯(lián)立①②，解得4=1,d=3,

由此可得%=3〃-2.

所以，稅｝的通項公式為%=3〃-2,｛4｝的通項公式為，=2".

（2）設(shè)數(shù)列也也｝的前〃項和為。，

由=6〃-2有1=4x2+10x2?+16x2,+…+（6〃-2）x2"

27；=4X22+10X23+16X24+---+（6M-8）X2"+（6H-2）X2,,+1

上述兩式相減，得

_北=4x2+6x2?+6x23+…+6x2”-(6'一2)X2"T=~4-(6n-2)x2,,+|=-(3?-4)2"+2-16

得。=(3〃-4)22+16

所以，數(shù)列包上｝的前〃項和為。〃-4）2"‘2+16

21.已知公比大于1的等比數(shù)列｛“"｝滿足4+4=20,%=8

（1）求｛""｝的通項公式；

⑵求“口2-電％+…+(Ta?all+l

【答案】（1尸”=2"

““空

⑵55

。2+。4=〃闖+41/=20

<

【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組l%=a聞2=8,解得4和q,即可得到答案

（2）根據(jù)條件，可知.巴-%。3+…+（T）'是以8為首項，-4為公比的等比數(shù)列前”項和,

再由等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列S"｝的公比為9（4>1）,

a+a+=20（a=2

q2=〃44=8