線性代數(shù)昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2009.122第五章

相似矩陣及二次型方陣的相似對(duì)角化二次型主要內(nèi)容：方陣的特征值和特征向量3第一節(jié)

向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度和正交性向量的內(nèi)積和長(zhǎng)度向量組的正交化一.向量的內(nèi)積和長(zhǎng)度在三維向量空間中，兩個(gè)向量的數(shù)量積（又稱點(diǎn)乘積）為其中為的夾角，積有以下不等式：是的長(zhǎng)度。數(shù)量利用數(shù)量積可以表示向量的長(zhǎng)度和夾角:以上這些在三維空間中已經(jīng)成立的性質(zhì)，可以推廣到n維向量空間中去。關(guān)鍵是將三維空間中的數(shù)量積推廣成n維空間中的內(nèi)積定義1.設(shè)有兩個(gè)n維向量定義的內(nèi)積為：例如，設(shè)，則內(nèi)積k為數(shù)）：容易驗(yàn)證內(nèi)積有以下性質(zhì)（其中為n維向量，(i)(ii)(iii)(iv)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由(i)(ii)(iii)，可得或與其等價(jià)的定義2.范數(shù)）為設(shè)，定義的長(zhǎng)度（或稱當(dāng)長(zhǎng)度時(shí)，稱為單位向量。利用長(zhǎng)度概念，許瓦茲不等式可以寫成可以證明許瓦茲（Schwarz）不等式（這里不證）：向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)（為向量，為數(shù)）：（1）非負(fù)性：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2）齊次性：（3）三角不等式：證明：當(dāng)時(shí)，由許瓦茲不等式，有因此，由下面的等式可以定義兩向量的夾角，特別地，有二.向量組的正交化定義3.若，則稱向量正交。因?yàn)?，所以零向量與任何向量都正交。例1.在中，設(shè)則有故正交。又有故的長(zhǎng)度對(duì)任意，有故為單位向量。定義4.交向量組。若向量組兩兩正交，則稱其為正若向量組兩兩正交且都是單位向量，則稱其為規(guī)范正交組。顯然有為規(guī)范正交組例2.在中，以下n個(gè)單位向量是規(guī)范正交組：范正交基。因?yàn)檫@個(gè)向量組又是中的基，因此又稱為中的規(guī)在中，通常記它們是三坐標(biāo)軸上的單位向量，它們構(gòu)成中的一個(gè)規(guī)范正交基。以下的向量組容易驗(yàn)證是規(guī)范正交組，也是的規(guī)范正交基。定理1.則它們必定線性無關(guān)。若是由非零向量組成的正交組，證明：成立。由此可知，規(guī)范正交組必是線性無關(guān)組，但反之不有時(shí)需要由一個(gè)線性無關(guān)向量組構(gòu)造出一個(gè)與之等價(jià)的規(guī)范正交組這個(gè)問題稱為將向量組規(guī)范正交化。斯密特（Schimidt）規(guī)范正交化的方法如下：取容易驗(yàn)證兩兩正交，且與等價(jià)。再把它們單位化，即取則為規(guī)范正交組，且與等價(jià)。例3.在中，設(shè)試用斯密特方法，將其規(guī)范正交化解：定義5.若n階實(shí)矩陣A滿足（或或）則A稱為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣。設(shè)A的行向量組為，則A為正交陣A的行向量組為規(guī)范正交組。由，同理可證：A的列向量組為規(guī)范正交組。A為正交陣?yán)?.設(shè)容易驗(yàn)證它們都是正交矩陣。正交矩陣有下列性質(zhì)：（1）若A為正交矩陣，則（2）若A，B為正交陣，則AB及也是正交陣。證明：定義6.則稱y=Px為正交變換。設(shè)P為n階正交矩陣，x，y為n維列向量，（3）若y=Px為正交變換，則證明：這個(gè)性質(zhì)說明正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變。本節(jié)完證明：（1）（2）容易驗(yàn)證。下面證明（3）：證明：設(shè)數(shù)使得則有根據(jù)內(nèi)積性質(zhì)，有因?yàn)闀r(shí)，，上式成為因?yàn)?，所以，故有因此線性無關(guān)。解：取計(jì)算得將