第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算M2M2 向量表示：aM1

零向量：模長(zhǎng)為0

MM M2 M2rr - bc加法：rbbc

b

rrca

|r

|r|-|brrrrrr+b+r=(r+b)+r=r+rb-ar減法rbb-ar

+r).

rrl la與a同向，|la|l|al=

r

l 2r)（2）分配律：(lm)alrl(r+b)=lr+rr定 設(shè)向量r

r平行于ra a分必要條件是：存在 一的實(shí)數(shù)l，使b=la定理：設(shè)a?0,若b// brbr 設(shè)

l當(dāng) bl

br同向.

r=

r

r=b 設(shè)b=又設(shè)b=m)r

=Q

0lm. 定理：設(shè)a?0,若b// $!l,’b=la是建立數(shù)軸的理論依據(jù) rr由數(shù)乘性質(zhì):r=|r|r

a=|a

在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k,就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸依次記為x軸(1) 通常把x軸和y軸配置在(2)數(shù)軸的的正向通常符合

ⅢzⅢyoz

o

ⅠxoyⅤ ⅥⅤⅧ式 式xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo) 數(shù)軸上：點(diǎn)p數(shù)軸上：點(diǎn)p數(shù)p(x,yp(x,y,z babar

r+

az)0b(bxbybz)b//a

解 向量的模與兩點(diǎn)間的距 =(x-x,y-

,z-z

例4求證以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)

解解當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí),之間的不超過(guò)p的夾角稱為向量a與b的夾角(b^a).

記作(a^b)非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、稱為向量r的方以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量er.因此cos2acos2cos21.解解?u

BABABu上的投影分別為,u上的有向線段￠,u.u.向量AB在軸u上的投影記為PrjuAB(AB在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：PrjuAB=|AB||cosf(注=||cosf(注A u

PrjuAB=|AB|0￡f<p,2

baba pf￡p, 2

PrjuAB=|AB|

Prju(a1+a2)=Prjua1+PrjuAACBuCPrju(la)=lPr,M2,M2x2y2z2=ai+aj+a ax=x2-x軸分向量y軸z軸aM1M2M1x1y1z1)zRkPrjaQNiOyxaaz=z2-ayy2 a=M1M2=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-特殊地OM=特殊地OM=( y,a=M1M2=(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 2：習(xí)題7-1(3001.3.9.15.17.rr

|r

|r

=r0 1 例1

-b+

b+b-3a 原式=(1-3)r+-1-5+15r=2ar-5