第十章排隊(duì)論

（1）排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念（2）輸入與服務(wù)時(shí)間的分布（3）最簡單的排隊(duì)模型本章主要內(nèi)容：排隊(duì)論是研究排隊(duì)系統(tǒng)（又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)理論和方法，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。有形排隊(duì)現(xiàn)象：進(jìn)餐館就餐，到圖書館借書，車站等車，去醫(yī)院看病，售票處售票，到工具房領(lǐng)物品等現(xiàn)象。

第一節(jié)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念

無形排隊(duì)現(xiàn)象：如幾個(gè)旅客同時(shí)打電話訂車票；如果有一人正在通話，其他人只得在各自的電話機(jī)前等待，他們分散在不同的地方，形成一個(gè)無形的隊(duì)列在等待通電話。排隊(duì)的不一定是人，也可以是物。如生產(chǎn)線上的原材料，半成品等待加工；因故障而停止運(yùn)行的機(jī)器設(shè)備在等待修理；碼頭上的船只等待裝貨或卸貨；要下降的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤旋等。當(dāng)然，進(jìn)行服務(wù)的也不一定是人，可以是跑道，自動售貨機(jī)，公共汽車等。顧客——要求服務(wù)的對象。服務(wù)員——提供服務(wù)的服務(wù)者（也稱服務(wù)機(jī)構(gòu)）。顧客、服務(wù)員的含義是廣義的。隨機(jī)性——顧客到達(dá)情況與顧客接受服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的。一般來說，排隊(duì)論所研究的排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間這兩個(gè)量中至少有一個(gè)是隨機(jī)的，因此，排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)理論。隨機(jī)服務(wù)理論研究如何合理的設(shè)置服務(wù)系統(tǒng)，更好的為顧客服務(wù)，減少排隊(duì)時(shí)間，同時(shí)又要使得費(fèi)用盡可能節(jié)省。排隊(duì)系統(tǒng)類型1：服務(wù)臺顧客到達(dá)服務(wù)完成后離開單服務(wù)臺排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)類型2：服務(wù)臺2顧客到達(dá)服務(wù)完成后離開S個(gè)服務(wù)臺，一個(gè)隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺s服務(wù)臺12023/6/98排隊(duì)系統(tǒng)類型3：服務(wù)臺2顧客到達(dá)服務(wù)完成后離開S個(gè)服務(wù)臺，S個(gè)隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺s服務(wù)臺1服務(wù)完成后離開服務(wù)完成后離開2023/6/99排隊(duì)系統(tǒng)類型4：服務(wù)臺1顧客到達(dá)離開多服務(wù)臺串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺s2023/6/910排隊(duì)系統(tǒng)的描述

實(shí)際中的排隊(duì)系統(tǒng)各不相同，但概括起來都由三個(gè)基本部分組成：

1、輸入過程;

2、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則;

3、服務(wù)機(jī)構(gòu)2023/6/911

河流上游流入水庫的水量可認(rèn)為是無限的；車間內(nèi)停機(jī)待修的機(jī)器顯然是有限的。到達(dá)方式：是單個(gè)到達(dá)還是成批到達(dá)。

庫存問題中，若把進(jìn)來的貨看成顧客，則為成批到達(dá)的例子。1、輸入過程顧客總體（顧客源）數(shù)：可能是有限，也可能是無限。2023/6/912顧客（單個(gè)或成批）相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布：這是刻劃輸入過程的最重要內(nèi)容。令T0=0，Tn表示第n顧客到達(dá)的時(shí)刻，則有T0T1T2…..Tn

……

記Xn=Tn–Tn-1n=1,2,…,則Xn是第n顧客與第n-1顧客到達(dá)的時(shí)間間隔。一般假定{Xn}是獨(dú)立同分布，并記分布函數(shù)為A(t)。2023/6/913{Xn}的分布A(t)常見的有：定長分布（D）：顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔為確定的。如產(chǎn)品通過傳送帶進(jìn)入包裝箱就是定常分布。最簡單流（或稱Poisson)（M）：顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔{Xn}為獨(dú)立的，同為負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：f(t)=e-tt00t<02023/6/9142、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)有限排隊(duì)——排隊(duì)系統(tǒng)中顧客數(shù)是有限的。（損失制排隊(duì)系統(tǒng)，混合制排隊(duì)系統(tǒng)）無限排隊(duì)——顧客數(shù)是無限，隊(duì)列可以排到無限長（等待制排隊(duì)系統(tǒng)）。2023/6/915有限排隊(duì)還可以分成：損失制排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)空間為零的系統(tǒng)，即不允許排隊(duì)。（顧客到達(dá)時(shí)，服務(wù)臺占滿，顧客自動離開，不再回來）（電話系統(tǒng)）混合制排隊(duì)系統(tǒng)：是等待制與損失制結(jié)合，即允許排隊(duì)，但不允許隊(duì)列無限長。2023/6/916混合制排隊(duì)系統(tǒng)：1.隊(duì)長有限,即系統(tǒng)等待空間是有限的。例：最多只能容納K個(gè)顧客在系統(tǒng)中，當(dāng)新顧客到達(dá)時(shí)，若系統(tǒng)中的顧客數(shù)（又稱為隊(duì)長）小于K，則可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受服務(wù)；否則，便離開系統(tǒng)，并不再回來。如水庫的庫容是有限的，旅館的床位是有限的。2023/6/9172.等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中等待時(shí)間不超過某一給定的長度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過T時(shí)，顧客將自動離開，不再回來。如:易損失的電子元件的庫存問題，超過一定存儲時(shí)間的元器件被自動認(rèn)為失效?；旌现婆抨?duì)系統(tǒng)：3.逗留時(shí)間（等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和）有限。例：用高射炮射擊飛機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。2023/6/918說明：損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形.如:記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺個(gè)數(shù)，則當(dāng)k=s時(shí)，混合制即為損失制；當(dāng)k=時(shí)，即成為等待制。2023/6/919排隊(duì)規(guī)則當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺都被占有且又允許排隊(duì)，則該顧客將進(jìn)入隊(duì)列等待。服務(wù)臺對顧客進(jìn)行服務(wù)所遵循的規(guī)則通常有：先來先服務(wù)（FCFS）2023/6/920后來先服務(wù)（LCFS）。在許多庫存系統(tǒng)中就會出現(xiàn)這種情況。如：鋼板存入倉庫后，需要時(shí)總是從最上面取出；又如在情報(bào)系統(tǒng)中，后來到達(dá)的信息往往更重要，首先要加以分析和利用。具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PS）。服務(wù)臺根據(jù)顧客的優(yōu)先權(quán)的不同進(jìn)行服務(wù)。如：病危的病人應(yīng)優(yōu)先治療；重要的信息應(yīng)優(yōu)先處理；出價(jià)高的顧客應(yīng)優(yōu)先考慮。2023/6/9213、服務(wù)機(jī)制包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接方式（串聯(lián)還是并聯(lián)） 顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)； 服務(wù)時(shí)間的分布記某服務(wù)臺的服務(wù)時(shí)間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),則常見的分布有：定長分布（D）負(fù)指數(shù)分布（M）K階愛爾朗分布（Ek）2023/6/922定長分布（D）：每個(gè)顧客接受的服務(wù)時(shí)間是一個(gè)確定的常數(shù)。負(fù)指數(shù)分布（M）：每個(gè)顧客接受的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的負(fù)指數(shù)分布：f(t)=e-tt00t<0其中>0為一常數(shù)。2023/6/923K階愛爾朗分布（Ek）：f(t)=k(kt)k-1(K-1)!·e-kt當(dāng)k=1時(shí)即為負(fù)指數(shù)分布；k30,近似于正態(tài)分布;當(dāng)k時(shí)，方差0即為完全非隨機(jī)的。2023/6/924排隊(duì)系統(tǒng)的符號表示：“Kendall”記號：X/Y/Z/W其中：X表示顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布；Y表示服務(wù)時(shí)間的分布；Z表示服務(wù)臺個(gè)數(shù)；W表示系統(tǒng)的容量，即可容納的最多顧客數(shù)。例1M/M/1/

M表示顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；M表示服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；單個(gè)服務(wù)臺；系統(tǒng)容量為無限（等待制）的排隊(duì)模型。例2M/M/S/K顧客到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；S個(gè)服務(wù)臺；系統(tǒng)容量為K的排隊(duì)模型。當(dāng)K=S時(shí)為損失制排隊(duì)模型；當(dāng)K=時(shí)為等待制排隊(duì)模型。排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)：系統(tǒng)狀態(tài)：也稱為隊(duì)長，指排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)（排隊(duì)等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和）。排隊(duì)長：系統(tǒng)中正在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)。N(t)：時(shí)刻t(t0)的系統(tǒng)狀態(tài)；pn(t)：時(shí)刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)n的概率；S：排隊(duì)系統(tǒng)中并行的服務(wù)臺數(shù)；n：當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，新來的顧客的平均到達(dá)率（單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù)）；n：當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率（單位時(shí)間內(nèi)可以服務(wù)完的平均顧客數(shù)）；2023/6/928

當(dāng)n為常數(shù)時(shí)記為；（單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)） 當(dāng)每個(gè)服務(wù)臺的平均服務(wù)率為常數(shù)時(shí)，記每個(gè)服務(wù)臺的服務(wù)率為， 則當(dāng)ns時(shí)，有n=s

（單位時(shí)間內(nèi)可以服務(wù)完的平均顧客數(shù)）因此，

顧客相繼到達(dá)的平均時(shí)間間隔為E(T1)=1/，平均服務(wù)時(shí)間為E(T2)=

1/，令=/s，則為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度。2023/6/929平穩(wěn)狀態(tài)：pn(t)稱為系統(tǒng)在時(shí)刻t的瞬間分布，一般不容易求得，同時(shí)，由于排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間后，其狀態(tài)和分布都呈現(xiàn)出與初始狀態(tài)或分布無關(guān)的性質(zhì)，稱具有這種性質(zhì)的狀態(tài)或分布為平穩(wěn)狀態(tài)或平穩(wěn)分布。排隊(duì)論一般更注意研究系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下的性質(zhì)。排隊(duì)系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)一些基本指標(biāo)：Pn

:系統(tǒng)中恰有n個(gè)顧客的概率；Ls：系統(tǒng)中顧客數(shù)的平均值，又稱為平均隊(duì)長；Lq：系統(tǒng)中正在排隊(duì)的顧客數(shù)的平均值，又稱為平均排隊(duì)長；T：顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間；Ws=E(T)

：顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間；Tq：顧客在系統(tǒng)中的排隊(duì)等待時(shí)間；Wq=E(Tq)：顧客在系統(tǒng)中的平均排隊(duì)等待時(shí)間。2023/6/931Little公式其中是單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù)；是單位時(shí)間內(nèi)可以服務(wù)完的平均顧客數(shù)。系統(tǒng)中平均顧客數(shù)=單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù)×平均逗留時(shí)間又如果求得Pn,則即可得到。另外1-P0

是系統(tǒng)的忙期概率。2023/6/932排隊(duì)論研究的基本問題：通過研究主要數(shù)量指標(biāo)在瞬時(shí)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運(yùn)行的基本特征。統(tǒng)計(jì)推斷問題：建立適當(dāng)?shù)呐抨?duì)模型是排隊(duì)論研究的第一步，建立模型過程中，系統(tǒng)是否達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)的檢驗(yàn)；顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔相互獨(dú)立性的檢驗(yàn)，服務(wù)時(shí)間的分布及有關(guān)參數(shù)的確定等。2023/6/933排隊(duì)研究的基本問題：系統(tǒng)優(yōu)化問題：又稱為系統(tǒng)控制問題或系統(tǒng)運(yùn)營問題，其基本目的是使系統(tǒng)處于最優(yōu)的或最合理的狀態(tài)。包括：最優(yōu)設(shè)計(jì)問題和最優(yōu)運(yùn)營問題。第二節(jié)輸入與服務(wù)時(shí)間的分布一、最簡單流1、定義;在時(shí)長為t的時(shí)間段內(nèi)，有k個(gè)顧客到達(dá)的概率服從poisson分布：

t時(shí)段內(nèi)平均到達(dá)顧客數(shù)；

單位時(shí)段內(nèi)平均到達(dá)顧客數(shù)2、最簡單流的性質(zhì)（1）平穩(wěn)性：在一定時(shí)間間隔內(nèi)，有k個(gè)顧客到達(dá)的概率只與時(shí)長有關(guān)，與起始時(shí)刻無關(guān)；（2）無后效性：[a,a+t]時(shí)段內(nèi)有k個(gè)顧客到達(dá)的概率與a時(shí)刻之前的客流無關(guān)；（3）普通性：在足夠小的時(shí)段內(nèi)有2個(gè)或個(gè)以上顧客到來的概率為零。說明：1、最簡單流的性質(zhì)可以簡化有關(guān)計(jì)算；2、假設(shè)所研究的問題都是最簡單流，或近似最簡單流二、最簡單流的有關(guān)計(jì)算1、單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)2、內(nèi)沒有顧客到達(dá)的概率3、恰有一個(gè)顧客到達(dá)的概率4、若顧客到達(dá)數(shù)~poisson分布，則相繼到達(dá)間隔時(shí)

間~負(fù)指數(shù)分布

三、服務(wù)時(shí)間設(shè)服務(wù)時(shí)間~負(fù)指數(shù)分布1、單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完畢，離去的顧客數(shù)2、內(nèi)沒有顧客離去的概率3、恰有一個(gè)顧客離去的概率4、若干負(fù)指數(shù)分布的最小值也是負(fù)指數(shù)分說明：服務(wù)機(jī)構(gòu)中有s個(gè)并聯(lián)服務(wù)臺，各臺~負(fù)指數(shù)分布，則整個(gè)服務(wù)時(shí)間~負(fù)指數(shù)分布。

生滅過程2、t時(shí)刻有n-1個(gè)顧客，時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為1、t時(shí)刻有n個(gè)顧客，時(shí)刻系統(tǒng)中仍有n個(gè)顧客的概率為

時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率3、t時(shí)刻有n+1個(gè)顧客，時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為4、t時(shí)刻為n,n-1,n+1個(gè)顧客之外的情況，時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為2023/6/940第40頁于是特別的，n=0時(shí)移項(xiàng)求極限，得差分微分方程時(shí),平穩(wěn)狀態(tài)

一、M/M/1/模型：

顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺數(shù)為1；系統(tǒng)的空間為無限，允許永遠(yuǎn)排隊(duì)。第三節(jié)最簡單的排隊(duì)模型1、隊(duì)長的分布記Pn=p{N=n},n=0,1,2….為系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)后隊(duì)長的概率分布，則n=；n=，=/<1，有Pn=(1-)n,

n=0,1,2….(P0=(1-))2、幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)平均隊(duì)長：L=nPn=n(1-)n=

/(1-)=/(-)平均排隊(duì)長：Lq=(n-1)Pn=2/(1-)=2/(-)平均逗留時(shí)間：W=E(T)=1/(-)（little公式)平均等待時(shí)間：Wq=/(-)例3：考慮一個(gè)鐵路列車編組站。設(shè)待編列車到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)到達(dá)2列；服務(wù)臺是編組站，編組時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每20分鐘可編一組。已知編組站上共有2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；每一列車的平均逗留時(shí)間；等待編組的列車平均數(shù)。如果列車因站中2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車每小時(shí)費(fèi)用為a元，求每天由于列車在站外等待而造成的損失。解：本例可看成一個(gè)M/M/1/排隊(duì)問題，其中=2，=3，=/=2/3<1系統(tǒng)中列車的平均數(shù)L=/(1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）列車在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間WS=L/=1/(-)=

2/2=1（小時(shí)）系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù)Lq=L-=/(-)

=2-2/3=4/3（列）列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間

Wq=Lq/=(4/3)/(1/2)=2/3（小時(shí)）記列車平均延誤（由于站內(nèi)2股道均被占用而不能進(jìn)站）時(shí)間為W0則W0=WSP{N>2}=WS{1-P0-P1-P2}=WS{1-(l-)-(l-)1-(l-)2}=1*3=

3=(2/3)3=0.296（小時(shí)）故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元例：某修理店只有一位修理工，來修理的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均每小時(shí)4人；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有3位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；顧客在店內(nèi)時(shí)間超過10分鐘的概率。解：本例可看成一個(gè)M/M/1/排隊(duì)問題，其中=4，=1/0.1=10(人/小時(shí)），=/=2/5<1修理店內(nèi)空閑的概率P0=1-=(1-2/5)=0.6店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率P3=3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.038店內(nèi)至少有1位顧客的概率P{N1}=1-P0=1-

(1-)==2/5=0.4在店內(nèi)平均顧客數(shù)Ls=/(1-)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人）每位顧客在店內(nèi)平均Ws=Ls/=0.67/4=10分鐘等待服務(wù)的平均顧客數(shù)Lq=Ls-=0.67-2/5=0.27(人)每個(gè)顧客平均等待服務(wù)時(shí)間Wq=Lq/=0.27/4=0.0675小時(shí)

=4分鐘顧客在店內(nèi)停留時(shí)間超過10分鐘的概率P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677P{T>t}=e-(-)tt=10分鐘,=10人/小時(shí)=10/60=1/6=4人/小時(shí)=4/60=1/15

二、M/M/1/N

模型：

顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺數(shù)為1；系統(tǒng)的空間為有限，最大容量N。2023/6/9541、穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系：012N-1N。。。。。由及上述差分方程可解得：

單位時(shí)間內(nèi)的平均到達(dá)率

單位時(shí)間內(nèi)的平均有效到達(dá)率

系統(tǒng)中有N個(gè)顧客時(shí)，到達(dá)率為0，只有在少于N個(gè)顧客時(shí)到達(dá)率才有意義。

還可驗(yàn)證

2、系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)例、單人理發(fā)店有六張椅子接待客人排隊(duì)理發(fā)，當(dāng)6張椅子坐滿時(shí)，后來的顧客就不進(jìn)店，隨即離開，顧客平均到達(dá)率3人/小時(shí)，理發(fā)平均需時(shí)15分鐘，求：1、求顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率；2、求需要等待的平均顧客數(shù)；3、求有效到達(dá)率；4、每個(gè)顧客的平均逗留時(shí)間；5、在可能到來的顧客中有百分之幾不等待就離開？解、該問題中N=7，1、

2、3、

4、5.

三、M/M/s/∞

模型：

顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺數(shù)為s；系統(tǒng)的空間為無限1、穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系：012nn+1。。。n-1nn+1n-12023/6/962由及上述差分方程可解得：

2、系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)例、某售票點(diǎn)有三個(gè)窗口，顧客的到達(dá)服從poisson過程，平均到達(dá)率，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率。

現(xiàn)在假設(shè)顧客到達(dá)后排成一隊(duì)，一次到空閑的窗口買票。分析下列各問題：1、整個(gè)售票點(diǎn)空閑的概率；2、平均排隊(duì)長；3、平均排隊(duì)時(shí)間；4、顧客到達(dá)后必須等待的概率。解、該問題中1、

2、3、4、s=3，

四、M/M/s/N

模型：

顧客相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布；服務(wù)臺數(shù)為s；系統(tǒng)的空間為有限，最多為N1、穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率當(dāng)s=N時(shí)愛爾朗呼喚損失公式2、系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)M/M/S等待制排隊(duì)模型多服務(wù)臺問題，又