2022學(xué)年上學(xué)期高二期末限時訓(xùn)練試卷

數(shù)學(xué)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級、

考號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

第一部分選擇題（共60分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.集合A={x|2sinx=l”R},叫小2_3”o},則小§=（）

A.[0,3]B.5}C_6'?D-

居}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再解一元二次不等式求出集合B,即可求解.

IJrSir

【詳解】由2sinx=l得sinx=—解得x=2+2E或絲+2E,〃eZ,

266

兀571

所以A==k+2&兀或%"+2E#eZ>,

又由f一3x40解得0W,所以8={x|0<x<3},

故選:D.

2.某地天氣預(yù)報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6,為了用隨機模擬的方法估計未

來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1,2或

3時，表示該天下雪，其概率為0.6,每3個隨機數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了

如下的20組隨機數(shù)：

522553135354313531423521541142

125323345131332515324132255325

則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪1,概率為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機數(shù)，再按照古典概型求概率.

【詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下

雪，共有9組隨機數(shù)，所以尸=二9.

20

故選：B

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—1|=上一a，則z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是（）

A.兩條直線B.橢圓C.圓D.雙曲線

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)2=工+其，根據(jù)模長相等列出方程，得到Z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直

線.

【詳解】設(shè)z=x+yi,則2=X一回，

2_1|=’_目可得：（x_]『+y2=（2y）2,

化簡得：（x-l）2=3y2,

B[J尤一1=3y或x-l=-3y,

則z在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.

故選：A

jr

4.在一ABC中，已知a=3,A=§,h=x,滿足此條件的三角形只有一個，貝ijx滿足

()

A.x=2y/3B.xe(0,3)

C.XG{2V3)U(O,3)D.xe(2V3}u(O,3]

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合正弦定理得元=26sinB，滿足條件的三角形只有一個，即x有唯一的角與

其對應(yīng)，即可確定B的范圍，求得結(jié)果.

3%=3sinB=2^sinB

【詳解】由正弦定理得.Jisin8,則有百，

sin——

32

8?(。，…戶鱷.

???滿足條件的三角形只有一個，即X有唯一的角與其對應(yīng)，則Bi隼故

x=2百sin8?{2同(0,3].

故選：D

5.圓內(nèi)接四邊形A8C0中AD=2，CD=4,3。是圓的直徑，則AC-3O=()

A.12B.-12C.20D.-20

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.

由題知NBAO=NBCO=90°，AD=2，CD=4

：.AC-BD=(AD+DC)-BDAD-BD+DC-BD

=|A￡>||B￡>|cosABDA-|DC||BZ）|COSZBDC=,￡）]—|℃[=4一16=-12.

故選：B.

6.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，若4+3/<0,%?為<0,且數(shù)列｛4｝的前〃項和有最

大值，那么S“取得最小正值時”為（）

A.11B.12C.7D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，判斷出4，%，%+%的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的計算

公式，即可求得.

【詳解】因為等差數(shù)列的前〃項和有最大值，故可得△<（）,

因為4+36<0，故可得4q+22d<0,即

所以%—gd<0,可得/<g4<0，

又因為4<。，

故可得4>0,所以數(shù)列｛%｝的前6項和有最大值，

且。6+%=2q+1Id<0,

又因為￡2=12>4；"咚=6（4+%）<0,S11=yX（a]+a]|）=llx?6>0,

故S〃取得最小正值時〃等于11.

故選：A.

22

7.已知過橢圓三+方=1（。>^>0）的左焦點F（-l,0）的直線與橢圓交于不同的兩點

A,B,與y軸交于點C,點C,b是線段A8的三等分點，則該橢圓的標準方程是（）

X2V2.22c%2^2-1

A.--1---=1B.三+二=1+D.

655432

21

-----1-----=1

43

【答案】B

【解析】

【分析】不妨設(shè)A在第一象限，由橢圓的左焦點廠（-1,（））,點C,尸是線段A3的三等

2

fb}2,—代入橢圓方程可得3+2=

分點,易得川1,—1,又

I?)12ala4a2

c2=a2-b2=l^兩式相結(jié)合即可求解

[2/2

則C為4耳的中點，々為中點，所以4=1,所以口+烏=1,則%=乙

aba

即A1,—,所以C0,--,B—2,----

a

＜）I7

即2+與

將點坐標代入橢圓方程得4方_]=1,

/+丁=1a14a2

又"―人2=1,所以々2=5,Z?2=4,

22

所以橢圓的標準方程是q+3=l.

故選：B

8.定義在（0,+8）的函數(shù)y=.f（%）滿足：對VX1,x,e（0,+oo）,且玉聲看，

“/（"）一"/（"）＞。成立,且7（3）=9,則不等式〃x）＞3x的解集為（）

%一工2

A.（9,+00）B.（0,9）C.（0,3）D.

（3,+00）

【答案】D

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=」，。，討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

X

【詳解】由義工止曳皿>0且V%，/€（0,+8）,

Xj-x2

fM/（x2）

則兩邊同時除以3區(qū)可得,3,0，

王一工2

令g（x）=3,則g（x）=△^在（0,+e）單調(diào)遞增，

由〃x）>3x得上1>3且g（3）=3=3,

x3

即g（x）>g（3）^Wx>3,

故選：D.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得

2分，有選錯的得0分）

2

9.已知雙曲線「=1（?！?,b>0）的右焦點為F（c,o）,在線段OF上存在一點

a

使得M到漸近線的距離為aC,則雙曲線離心率的值可以為（）

4

-4

A.不B.2C.一D.V2

3

【答案】AB

【解

【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離列出不等式，得到￡>生自，判斷

a7

出AB正確.

y2

【詳解】二=1的一條漸近線方程為云一效=0,

a

設(shè)0<m<cf

%2

,整理得：|〃?|=三一,

114b

Q2

因為0<加<c,所以竺<c,即3c<4/7=4招”2

4b

解得：￡>應(yīng)

a7

因為近>孚,2〉字,44770〈場,

一＜-----

377

所以AB正確，CD錯誤.

故選：AB

10.已知正實數(shù)4，b滿足出;+。+/?=8,下列說法正確的是（）

A.的最大值為2B.a+Z?的最小值為4

11.

C.a+2b的最小值為6拒-3D許+了的最小值為3

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將以甘代入"2》，化

簡，利用基本不等式求解可判斷C,利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.

【詳解】對于A,因為ab+a+0=82a0+2j石,

即（疝丫+2旅—8K0,解得一4<必42，

又因為正實數(shù)a,b,所以0〈，石W2，

則有次?44,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=2時取得等號，故A錯誤：

對于B,ab+a+b=8<；"）”+（a+。），

即（a+b『+4（a+加一3220,解得a+h?—8（舍）a+b>4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=2時取得等號，故B正確；

對于C,由題可得伙a+l）=8-a所以6=互0>0,解得0<a<8,

Q+1

a+2b^a+2^-^a+---2^a+l+---3>2J（a+l）--3=6>/2-3,

a+1o+la+\Va+1

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)a+1=——即a=3夜-1時取得等號，故C正確；

<7+1

對于D,1=1[a(/?+l)+Z?]

a(/?+l)+b8a(Z?+l)b

12??aS+DJ(2+2)=L

8〃S+1)b82

b〃S+1）h..4

當(dāng)且僅當(dāng)?。?—:-=>。=?。?8=4,。=^時取得等號，故D正確，

a（t>+1）bb+\5

故選:BCD.

11.已知正方體ABC。一AACA的邊長為2,E為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點，且

滿足sin=—，則下列說正確的有（）

A.若E為面A4GA內(nèi)一點，則E點的軌跡長度為/

B.過A8作面a使得。EJ_a,若Ewa,則E的軌跡為橢圓的一部分

C.若F，G分別為AA，81G的中點，Ee面EG46,則E的軌跡為雙曲線的一部分

D.若F，G分別為42，的中點，與面FG鉆所成角為。，則sin。的范圍為

一而3回一

~10~，10

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A項，sin/EOQ=*轉(zhuǎn)化為tanNE￡）A=g,得到E的軌跡再求解.

對于BC項，根據(jù)平面截圓錐所得的曲線的四種情況解決.

對于D項，建立空間直角坐標系解決.

【詳解】對于A項，正方體ABCD—ABC"中，。。，平面4乃?4,若E為面

A與G2內(nèi)一點，所以。4，*.

又因為sinZEDD,=—,所以tanNEDD、=!，

152

在Rt.EDR中tanNEO"=案=竿=3,所以0E=I

1171

故點E的軌跡是以D,為圓心1為半徑的一個圓弧，所以E點的軌跡長度為一?2無?1=上

442

故A正確.

對于B項，因為sinNEDR=半，即NEDR為定值，線段。。也為定值，取AA的中

點Q,故點￡的軌跡是以。。為軸線，。。為母線的圓錐的側(cè)面上的點.設(shè)平面a即為下

圖的圓。面，過點”作。A的平行線交圓錐底面于點交。A于點〃，從圖形可得

NDMH=NDQA=ZEDD],易得ZDOH>ZHMO=NEDD、,故E的軌跡為橢圓的

一部分，所以B正確.

對于C項，平面a與軸線0A所成的角即為平面a與A4所成的角，ZA.AF是平面a與

軸線。A所成的角，在RtaAA/中tan/A,/=苦=：,而母線。尸與軸線。2所成

FD1

的角為NFDR,在Rt,EDq中tan=5/■=耳，即母線與軸線所成的角與截面

a與軸線所成的角，所以點E的軌跡應(yīng)為拋物線，故C不正確.

對于D項，以。為原點，DA,DC,DD,分別為左曠*軸的非負半軸建立如圖所示的坐標系,

71

連接并延長交上底面ABJGA于點4,設(shè)0,-,則

￡)(0,0,0)&(cosy,si”,1)A(2,0,0)3(2,2,0)F(l,0,2),DE,=(cosy,sin/,1)

則AB=(0,2,0)AF=(-1,0,2),設(shè)面ABGF的法向量為〃=(x,y,z)

n-AB=02y=0

所以《

=><o=>71=(2,0,1)

n-AF=Q-x+2z

八|n-￡)Ei||2cos/+ll|2cos/+l|

所以DE與面FGAB所成角的正弦值為sin0=%—L=?」1=J—

用V5xV2V10

又因為yeo,-1.1.2cos/+le[l,3]

士,|2cos/+l|「廂3曲,十.

所以——V7i=o~L1010,故D正確.

故選：ABD

【點睛】用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線.

截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線；

截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；

截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線；

截面與軸線垂直得到截面曲線為圓.

12.已知函數(shù)/(x)=ln(—x),g(x)=ln(4+x),則()

A.函數(shù)y=/(2-x)+g(x-2)為偶函數(shù)

B.函數(shù)y=,f(x)—g(x)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x_2)_g(%_2)為奇函數(shù)

D.x=—2為函數(shù)函數(shù)y=/(x)+g(x)圖像的對稱軸

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C,根據(jù)對稱軸的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A,y=/(2-x)+g(x-2)=ln(x-2)+ln(x+2),

定義域為(2,+8),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B,y=/(x)—g(%)=ln(-x)-ln(x+4)定義域為(-4,0),

所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤：

對于C,y=/(x-2)-g(x-2)=ln(2-x)-ln(2+x),

定義域為(一2,2),設(shè)Zi(x)=ln(2-x)+ln(2+x),

h(-x)=ln(2+x)-ln(2-x)=-h｛x｝,所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確：

對于D,設(shè)心)=,f(x)+g(x)=ln(—x2—4x)定義域為(一4,0),

/(-4-x)=ln[-(-4-x)2-4(T-x)]=ln(-Y—4x)=t(x),

所以x=-2為函數(shù)函數(shù)y=/(x)+g(x)圖像的對稱軸，故D正確，

故選:CD.

第二部分非選擇題(共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知首項為2的數(shù)列｛%｝對滿足q+[=34+4,則數(shù)列｛%｝的通項公式

【答案】4X3"T—2

【解析】

【分析】構(gòu)造4m+2=3(q,+2),得到｛4+2｝是等比數(shù)列，求出通項公式，進而得到

fln=4x3"-'-2.

【詳解】設(shè)4m+丸=3(?！?/1),即凡=3?！?2；1,故24=4,解得：2=2,

故4+1=34+4變形為+2=3(。,+2),q+2=2+2=4,

故｛%+2｝是首項為4的等比數(shù)列，公比為3,

則4+2=4X3"T,

所以4=4X3"T—2,

故答案為：4x3"-'-2

14.已知直線/的方向向量為〃=(1,0,2),點4(0,1,1)在直線/上，則點P(l,2,2)到直線/

的距離為.

【答案】典

5

【解析】

【分析】求出AP與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點到直線的距離.

【詳解】AP=(1,1,1),

n-AP1+0+2岳

RM石x百一5

所以sin(〃,AP)=J1—孚=半，

點尸(1,2,2)至1"的距離為］=同卜山(〃,44=6*萼=率.

故答案為：畫.

5

15.函數(shù)/(x)=J5cos(a)x+0)(<y>0,-|<|^|<it)的部分圖象如圖所示，直線

y=m<o)與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為々，七，則

【解析】

【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點及余弦函數(shù)的對稱性結(jié)合

sin(2玉+x2—x,)=sin(2(X]+x2)-(x2+毛))即可求值

【詳解】由圖可知，/^―=V2cos^—ty+^^j=1,即cos與\

5兀?！?/p>

--(X)+(P=—F2攵兀

82

5兀7兀/c、

廠+夕=彳+2"解得°=2,…空,故〃加缶皿了用

則《

(y>04I4J

5<|同〈兀

貝Ij/⑼=0cos卜爸27r

=-1,/(X)最小正周期為彳=兀.

直線y=m(m<0)與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為4，巧，

x,+x,5n7t3nx,+&5兀TI7兀

x,則由圖可知‘一-=------=—，-一i=—+—=——

328482848

sin(2X(+x2-x3)=sin(2(x+x2)-(x2

故答案為：-克

2

16.已知實數(shù)x、y滿足智-y|yl=l,則卜-2)，+石］的取值范圍是.

【答案】(底2&+向.

【解析】

【分析】討論乂y得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得

z=x-2y+45的取值范圍，進而可得卜-2》+石］的取值范圍.

【詳解】因為實數(shù)再曠滿足以二-)，1田=1,

4

2

當(dāng)x>0,y>0時，方程為r二一丁=1的圖象為雙曲線在第一象限的部分；

4

r2

當(dāng)尢>0,yv。時，方程為L+V=i的圖象為橢圓在第四象限的部分；

當(dāng)x<0,y>0時，方程為—三—y2=i的圖象不存在;

4'

2

當(dāng)x<0,y<0時，方程為一三+y2=i的圖象為雙曲線在第三象限的部分;

4

根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為y=±gx,

令z=x—2y+石，即>=,》一3+好，與雙曲線漸近線平行,

-222

觀察圖象可得，當(dāng)過點(x,y)且斜率為g的直線與橢圓相切時，點(x,y)到直線

x-2y+>/5=()的距離最大，

即當(dāng)直線z=x-2y+火與橢圓相切時，z最大，

7

—X+V2=1，

4-

聯(lián)立方程組《得2x~-(2z-2^/5j%+z~—2,yf5z+1=0,

1zV5

y=—x——+——

-222

△=(2z-2石4x2x卜2_2有z+l)=0,

解得z=A/5±2\/2，

又因為橢圓的圖象只有第四象限的部分，

所以z=6+2&,

又直線x-2y+君=0與x-2y=0的距離為1，故曲線上的點到直線的距離大于1,

所以z>6

綜上所述，舊<z<亞+2叵,

所以6<|z]?石+2收，

即卜+2廣4歸(后,百+2勾，

故答案為：(技2應(yīng)+君].

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟)

17.已知函數(shù)/(x)=2sin(x-m)sin[x+￡)+2Gcos2(x-1)+G.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

兀37r/、

【答案】(I)——+(%eZ)

⑵146

【解析】

【分析】(1)由三角恒等變換化簡，由整體法結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列不等式求解即

可；

⑵令g(x)=2sin(2x-￡|，分析得g")關(guān)于:舞，0對稱，根據(jù)對稱性化簡求值.

【小問1詳解】

=2sin|X--jcosx+—j+732cos2|x--1-1+25/3

=2sinl2x-|j+2>/3

7Ct57r./f\

令2九一四￡--+2k7t,—+2kTt(keZ則XE---+far,—+&兀(keZ).

3L22JV1212v7

jr

故函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間為一五+E,有+E（左eZ）.

【小問2詳解】

/(x)=2sin(2x-j+2\/3,令g(x)=2sin12x-1J,

由2x-二=右1(左？Z)得x=/+必=4(3」+l)兀(1?4,故g(%)關(guān)于

36224

撤3s

7T/人、

-,0(klZ)對稱,

24

g（x）關(guān)于嘉。對稱?

故當(dāng)攵=0時,

故/"

兀、7兀2兀0713兀+14^/3

+g24j>+g⑸尸g丁

24>2424

=0+0+0+0+146

=14百.

8

18.已知等比數(shù)列｛a“｝對任意的〃eN+滿足。“+a.

〃+13”

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，定義min｛a,。｝為。，b中較小的數(shù),

min<5“,陋(件)

，求數(shù)列｛2｝的前〃項和

2

【答案】（1）齊

n~2-n,

-----,n<4

2

(2)T=<

n1f1Y-1G1094

218

【解析】

Q

【分析】（1）由遞推公式得a,i+。,=合，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)與條件等式兩式相處，即

可求得再令〃=1由等式求得％,即可根據(jù)公式法得通項公式;

（2）化簡對數(shù)式得logn-\分析S,與n-1的大小，即可根據(jù)min｛a,可定義

得"的分段函數(shù)，即可分段求和.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為4,

=11

I+13,解得q,

q、

8

又4+4=4(l+q)=§，可得4=2.

/1、〃-1

數(shù)列｛%｝的通項公式a“=2x-：

【小問2詳解】

3

f_2_],

1邛-i1(1Y[1

"minj3-F,logj/?=min^3--,log^-Jj=minf-尹〃-1

令3一擊>"一1，即4一擊>〃，74-^6（3,4）....當(dāng)〃<4時，4一表>〃，即

a1,

3-F>〃T；

當(dāng)時，4——^-r<n,即3——；

3〃-13〃f

pI]〃-1,〃<4

Z>?=min3-^,n-l=J1

,,,0+(〃-1)〃n2-n

故當(dāng)〃<4,T=一——!-=-~-；

22

當(dāng)〃“時，1=3+3(〃-3)+翳+|s+???+1?

3

故(=?1

門+3”吧,〃24

2⑶18

19.已知平面內(nèi)一動點尸到定點尸（0,1）的距離比它到x軸的距離多1.

（1）求P點的軌跡方程C；

（2）過點。（0,5）作直線/與曲線C交于A,8（A點在8點左側(cè)），求SAMF+SA.。的最

小值.

【答案】（1）/=4或.x=0（y<0）

（2）20

【解析】

【分析】（1）設(shè)P（X,y）,得Jx2+（y_i）2=3+1即可解決;（2）設(shè)直線/為

-20

了=丘+5,4（%,弘）,8（工2，%），聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理得王=^—,由基本不等式解

決即可.

【小問1詳解】

由題知，動點P到定點E（0』）的距離比它到X軸的距離多1，

設(shè)P（x,y）,

所以|「耳=3+1,

當(dāng)yNO時，7%2+（y-i）2=y+i>化簡得f=4y,

當(dāng)y<o時，Jf+p_iy=]_1,化簡得x=o,

所以P點的軌跡方程為C:f=4y,或.x=0（y<0）.

【小問2詳解】

由題得，過點Q（0,5）作直線/與曲線。交于（A點在8點左側(cè)）,

所以由（1）得C:f=4y,

設(shè)直線)為y=Ax+5,A(X1,y),B(x2,y2),

將丁=奴+5代入C：f=4y中得d一4求一20=0,

所以4=16芯+80>0,即ZeR，

-20

玉+%2=4k,x)x2=-20,即玉=----,

所以SABF+SAFO=SAQF+SBQF+SAFO

=g|。丹％I+g|。斗I%|=2(9-%)一;七

c4010c50-L50”

=2%2H----1---=2x>H---2212%?—二20

x2x2

c50

當(dāng)且僅當(dāng)2々=一，即x,=5時，取等號,

%

所以(S+SAFO)niin=20

所以5。斯+5△AFO的最小值為20.

20.已知正項數(shù)列｛q｝滿足y]al)+2an-y]an+lan=2ail+l,且q=%=1，設(shè)

b“=

（1）求證：數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列并求｛《,｝的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛a｝的前"項和為S,,,求數(shù)列，*，的前〃項和

、s”,s“+].

1,/2=1

【答案】（1）a=<

n12X32X72Xx(2/,-1-l)2,n>2

(2)P=2---y—

“2n+1-1

【解析】

b

【分析】（1）利用向/=2??+1+M+&化簡皆可得數(shù)列也“｝是以3為公比3為首

項的等比數(shù)列，求出/可得子=（2"-1）2,再利用累乘法求通項公式可得答案;

b?

（2）求出-r^—利用裂項相消求和可得答案.

【小問1詳解】

因為-M+4=2a,l+l,所以J—。”=24+|+8+4,

>/"“+]______

所以端==4a1a+J%。,加

b“瘋問7^7+向?）"“+2+M%

AC+瘋

二a“+i+Ma“+i=1且.="J

2%+2弧瓦2'小瘋+苑2>

所以數(shù)列｛勿｝是以T為公比，g為首項的等比數(shù)列，即2

所以“22時，^-x—X—xX-^I-=12X32X72XX（2,,_|-1Y,

?i%%%

BPfl?=12X32X72Xx（2n-'-l）2,

而此時〃=1時，q=（2i—1）=0>

l,n=I

所以a”=〈，，，/?\2；

12X32X72XX（2,,-I-1）,n>2

【小問2詳解】

/［、"+1

,所以

由（I）bn=S?」+i=l--

21.已知四棱錐E—ABC。中，AB=4CD=4,AE=2，CD//AB,AD=242,

ZZMB=45°,面ABCD1面/WE,CE=J17.

（1）求證：AE1CB；

（2）求面ADE與面BDE所成的二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)勾股定理得AEJ.AC,面面垂直性質(zhì)定理得DO_L面43E,得

DOA.AE,可得平面ABC。，即可解決；（2）建立以A為原點，分別以

AE,45,Az的方向為x軸，＞軸，z軸正方向得空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,空間向量法解

決二面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

DC

E

由題知，AB=4CD=4,AE=2,CD//AB,AD=2>/2>

ZZM3=45°,面ABCZ）上面ABE,CE=717.

過。作。O_LAB,過C作C/IAB,BPDO//CF,連接AC交。。于G,

因為CD//AB,

所以四邊形OFCDj平行四邊形，

所以O(shè)F—CD,OD—FC,

因為在AADO中，AD=2&,ZDAO=45°,DOVAO,

所以￡>O=AO=2,

所以C尸=2,

因為AB=4CO=4,CD//AB,OF=CD,

所以WnCDul

所以A尸=3,

因為CF1AB,

所以AC==囪用=屈，

因為CE=后,AE=2,

所以在"CE中，CE2=AE2+AC24[1A￡，AC,

又因為OOJ_AB,平面ABC。上平面ABE且交于AB，

所以。OJL面ABE,

因為AEu面他E,

所以DO_LA￡：,

因為￡>OAC=G,r>O,ACu平面ABC。，

所以AEJ?平面ABC。，

因為CBu平面ABC。，

所以AE1CB.

【小問2詳解】

由(1)得，no,面AEJ_平面ABC。，DO//CF,

作Az//。。

所以4_1_面43￡,AE1AB，

所以Az_LAE,Az_LAB,

所以建立以A為原點，

分別以AE,A3,Az的方向為x軸，>軸，z軸正方向得空間直角坐標系A(chǔ)一型，

因為。O=AO=2,AB=4，AE=2,

所以A(0,0,0),0(0,2,2),E(2,0,0),8(0,4,0),

所以AE=(2,0,0),OE=(2,-2,-2),BD=(0,-2,2),

設(shè)面ADE與面BDE的法向量分別為加=(X],y,Z1),〃=(占,％,Z2)，

所以

m-AE=02x.=0

即《[2-0，令X"得…，川

m-DE=0

n-BD^O—2y2+2Z1—

令％=1,得〃=(2,1,1),

n-DE=02xt—2yt—2z,—0

設(shè)面ADE與面BOE所成的二面角為6,

m-n

所以面ADE與面8DE所成的二面角的余弦值為cos0=0.

mMn

所以面