2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)z=-l-i的共知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由共相復(fù)數(shù)定義，及復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系可得

【詳解】復(fù)數(shù)z=-l-i的共輒復(fù)數(shù)為3=-l+i,對應(yīng)得點(diǎn)為（一“），位于第二項(xiàng)限.

故選：B

2.已知命題P"xeR,sinx41,則（）

A-y?:3x€R,sinx>1BR,sinx>l

Q-TP：3XGR,sinx>1DVXGR,sinx>l

【答案】C

【分析】根據(jù)全稱命題改為特稱命題的規(guī)則修改即可.

【詳解】全稱命題改為特稱命題，全稱量詞改為特稱量詞，結(jié)論改為原結(jié)論的反面，故命題

p:VxwR,sinxV1的否定為太￡R,sinx>1

故選：C

1-i1+i

3.（l+i）（1-i）2（）

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.

1-il+i1-il+i1-i-l-i-2i,

【詳解】（l+i>（1-評2i必2i2i,

故選：D

51

lireq?x2X4>0n

4.設(shè)是兩個(gè)命題P：H-3>0,66,則p是〃的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

11

rq：X>—X<—r、

【分析】解不等式可得命題P">3或x<-3,2或3,判斷{x[x>3或X<-3}￡

1L

{xX>—x<-}

2或3,即可判斷答案.

【詳解】命題即p:x>3或x<-3

251n11

q'.x—x+—>0q,x>—x<-

66即2或3,

_Lli

由于{x[x>3或X<_342X5或x〈丸

故p是4的充分而不必要條件，

故選：A.

5.設(shè)耳、瑪是兩定點(diǎn)，陽用=6,動(dòng)點(diǎn)尸滿足附H明=6,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.雙曲線B.直線C.線段D.射線

【答案】D

【分析】由條件可得MT明=6=叱|,即可得答案.

【詳解】因?yàn)榘⒉窔w閭=6=1耳用，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線.

故選：D

5

6.設(shè)橢圓G的離心率為13,焦點(diǎn)在X軸上且長軸長為26.若曲線G上的點(diǎn)到橢圓G的兩個(gè)焦點(diǎn)

的距離的差的絕對值等于8,則曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

-y2-i

A,不下=1B.*亨=1C,丁-不D.心房”

【答案】A

【分析】根據(jù)離心率和長軸長計(jì)算得到％=13,c>=5,判斷曲線G為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根

據(jù)雙曲線的定義計(jì)算得到答案.

c

e_\_5

【詳解】橢圓G的離心率為413,24=26,卬=13,故q=5,

故橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為片（一5，。），6（5,0）,

曲線G上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8,8（內(nèi)用|=10,

故曲線G為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

________.2_]

2a產(chǎn)8,&=4,Z>=V52-42=3故雙曲線方程為4?32~

C2=C|=5(2(

故選：A

7.已知點(diǎn)尸是雙曲線4上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線/與雙曲線分別相交于〃、N兩點(diǎn)，

則I?的最小值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得。為MN的中點(diǎn)，即可得到西+麗=2而，再根據(jù)雙曲線的性

質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知。為的的中點(diǎn)，所以麗+麗=2瓦5,又P在

*-彳=1上，所以當(dāng)且僅當(dāng)尸在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以10”+小卜2|0。標(biāo)2

故選：C

8.設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是拋物線丁2=2。丫（。＞0）的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，成與x軸正向的

夾角為60。，則囪為（）

21VilV1313

~7P~^~P~TP記P

A.4B.2C.6D.36

【答案】B

【分析】過A點(diǎn)做/D'x軸，令FD=m,則〃=2加，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)

線的距離求解即可.

【詳解】如圖所示過A點(diǎn)做NO'x軸，令FD=m,

因?yàn)槭菕佄锞€V=2PX(P>0)的焦點(diǎn)，成與x軸正向的夾角為60。,

所以由拋物線的性質(zhì)得勿=2機(jī)=陽+。，解得加=P,

故選：B

9.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是一了—(

/-I

=0.618,稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉

至1-1

的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為

105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解.

26_26+xV5-1

【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則x^+105：

得X"42.07"?/"5.15的.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,所以其身高約為

42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類比法，利用轉(zhuǎn)化

思想解題.

X2

10.已知橢圓/b2的右焦點(diǎn)為尸.短軸的一個(gè)端點(diǎn)為直線/：3x-4y=°交

4

橢圓E于48兩點(diǎn).若忸尸|=4,點(diǎn)/到直線/的距離不小于￡則橢圓E的離心率的取值范

圍是

【答案】A

【詳解】試題分析：設(shè)6是橢圓的左焦點(diǎn)，由于直線/：3x-4y=°過原點(diǎn)，因此48兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)

對稱，從而“空廠是平行四邊形，所以監(jiān)|+|即=|/尸|+阿|=4,即2a=4,a=2,設(shè)"(0,6),

,4b4b4

d=——2—

則5,所以5-5,b>\,即146<2,^c2=a2-b2=4-b2,所以0<c4j3,

八Cw也

0<—<——

a2.故選A.

【解析】橢圓的幾何性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得a，。關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對稱

性得出“刊+忸目就是2°,從而得。=2,于是只有由點(diǎn)到直線的距離得出b的范圍，就得出c的取

值范圍，從而得出結(jié)論.在涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，需要聯(lián)想到橢圓的定義.

P斤C:--^-=l(a>0)m

11.如圖，,,乃是雙曲線a3的左右焦點(diǎn)，過九的直線與雙曲線C的兩條漸近

線分別交于A,8兩點(diǎn)，若點(diǎn)A為片8的中點(diǎn)，且/則再周=().

A.4B.4GC.6D.9

【答案】A

【分析】結(jié)合己知條件得°"〃印，推出乙1°與=4°8=406=60。，然后求出。，即可求得

I耳瑪I

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A為尸2^的中點(diǎn)，所以。///尸避，又RBA.FJ,所以°,_1耳8,

|OF1|=|OF21=|OB|,所以406=/ZO8=N8O用=60。

J7

—=tan60°=V3r——

所以a,解得。=1,所以c=/+3=2

故|耳名|=2c=4

故選：A.

12.已知拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上且MKkeMM,

則A4FK的面積為()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【詳解】F(2,0),K(-2,0),過A作AMI準(zhǔn)線,則|AM|=|AF|,

.-.|AK|=^2IAM|,三角形APM為等腰直角三角形，

設(shè)A(m2,2/m)(m>0),

由=得2"72=〃/+2,解得=2

則AAFK的面積=4'2出5=40m=8,

故選B.

二、填空題

1

X—

13.若2Vx<8,4<y<6,則V的取值范圍是,

747

49T

【答案】

【分析】根據(jù)條件得到4V6,得到取值范圍.

一1<—1<—11—<1—<1—

【詳解】4<"6,故6V4,則4歹6,

7147

一<x—<—

又2Vx<8,故4尸6.

fZ

故答案為：(46)

14.已知命題P：關(guān)于x的方程/-ax+4=0有實(shí)根；命題4：關(guān)于x的函數(shù)y=2/+ax+4在

[3,+")上是增函數(shù)，若PAg是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】［-12,-4卜［4+00)

【分析】根據(jù)條件求出命題p,為真命題的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：命題P：關(guān)于X的方程/-改+4=0有實(shí)根，則—/-IGNO,解得或“4-4.

_q<3

命題九關(guān)于X的函數(shù)N=2x2+or+4在［3,+")上是增函數(shù)，.一^一，解得“2-12.

若P八4是真命題，

則P，9同時(shí)為真命題，

或試-4

則上72,

即-12VaV-4或心4,

故答案為：［72,-4M4+8)

15.有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片

后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不

是1”,丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5"，則甲的卡片上的數(shù)字是.

【答案】1和3.

【詳解】根據(jù)丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2,或1和3：

(1)若丙的卡片上寫著1和2,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

所以甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3：

(2)若丙的卡片上寫著1和3,根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；

又加說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”：

所以甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2,這與己知矛盾；

所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.

--,0|F:|x--|+/=4

16.已知12九8是圓I2)(尸為圓心)上一動(dòng)點(diǎn).線段48的垂直平分線交B尸

于P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

y=i

【答案】4.

【分析】根據(jù)橢圓的定義求軌跡方程.

【詳解】由題意"于°),尸在線段"的垂直平分線上，則歸卻=|尸/|,

所以IIIIIIIIII,3^,II,

所以尸在以4尸為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，

c=-b'='a'—c2=—

2a=2,a=1,2,則4,

，y2,

=1

所以軌跡方程為4.

x2+^=l

故答案為：4.

三、解答題

17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在軸上x,長軸長為4,焦距為2；

⑵一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）,短軸長為2.

江+且=1

【答案】（1）4+3-.

X221

—+V=1

⑵5

【分析】（1）根據(jù)長軸長求出。=2,根據(jù)焦距求出。=1,從而求出6="2-d=6寫出橢圓方

程；（2）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)與短軸長求出6,c,從而求出”，寫出橢圓方程.

【詳解】（1）?.?橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

22

—工二~\------1?

???設(shè)橢圓的方程為。2b2（a>b>0）,

???長軸長為4,焦距為2,

...2a=4,2c=2,

...a=2,c=l,

.b=\la2-c2-V5

,,，

37

橢圓的方程為43.

（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，°）,短軸長為2,

x2/

---+-----1

設(shè)橢圓的方程為/b2（a>b>0）,

?.c=2,6=1,

?a=J/）』+。2=y[5

??，

X22_1

----Fy=1

橢圓的方程為5?.

18.已知點(diǎn),（23）在拋物線V=2px上，08C的重心與此拋物線的焦點(diǎn)尸重合（如圖）.

（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)；

（2）求線段3C中點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】⑴八32,F（8,0）

⑵（II）

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)"（23）在拋物線/=2px上，即可求解；

（2）由已知條件知：尸（8，0）是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，且萬=2而，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)）（23）在拋物線/=2川上，所以64=4°,解得：p=16,

所以拋物線的方程為：『=32x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（8,0）.

（2）因?yàn)榈闹匦呐c此拋物線的焦點(diǎn)廠重合，由三角形重心的性質(zhì)可得：AF=2FM,設(shè)

f6=2（x0-8）

歷（后,萬貝"

%）,=（6,-8）,FM=（x0-8,^0））-8=2%,

解得：%=所以線段8c中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（IT）.

2+t

X=---

,6

19.在直角坐標(biāo)系'S'中，曲線G的參數(shù)方程為卜="（，為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程為

2+s

x=-------

,6

"一"（6為參數(shù)）.

（1）寫出G的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為2cose-sind=0,

求G與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】（1/=6>2（出0）；

（2）G，G的交點(diǎn)坐標(biāo)為［21），（L2）,C3c的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5（-1,-2）.

【分析】（1）消去，，即可得到c的普通方程；

（2）將曲線G，G的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出.

x_2+f2+y2

［詳、解］（1）因?yàn)椤薄?,丫=業(yè)r，所以x-6J,即G的普通方程為/=6x_2（y20）

2+sr'

⑵因?yàn)?、x----6-，y=-vs,所以6x=-2-y,即。2的普通方程為V,=-6x-2（y40）,

山2cos856=0=2外斕5m。=0,即G的普通方程為2xr=0.

,_I

K=6x-2（y>0）,x=2（=\

聯(lián)立2x-y=0,解得：1=1或5x=2,即交點(diǎn)坐標(biāo)為（J」），（L2）；

,,_1

聯(lián)立I2x—=0,解得：|…1或1尸一2,即交點(diǎn)坐標(biāo)為b5'一1（-1,-2）

_,42

20.已知函數(shù)f八（x）=1\x-a\1+\x-2a+\\

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/GV4的解集；

（2）若求a的取值范圍?

【答案】⑴W或、以⑵STUD

【分析】（1）分別在xV3、3<x<4和x±4三種情況下解不等式求得結(jié)果;

(2)利用絕對值三角不等式可得到/々"(“-I)-,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】⑴當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=|x-4|+k-3|

,、<3

當(dāng)x43時(shí)，/(X)=4-X+3-X=7-2XN4,解得：

當(dāng)3Vx<4時(shí)，/(x)=4-x+x-3=l>41無解；

當(dāng)x24時(shí)，/G)=X-4+X-3=2X-724,解得：一萬；

綜上所述：/(X)"的解集為卜,或X2?}

⑵/(^)=|x-a2|+|x-2a+l|>|(x-a2)-(x-2a+l)|=|-a2+2a-l|=(a-l)2(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)),

'("I)&4,解得：Q4T或心3,

?”的取值范圍為ST]U[3,+8)

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于常考題型.

x=百cos2t

21.在直角坐標(biāo)系才何中，曲線C的參數(shù)方程為L=2sin,,(,為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

psin0+—+加=0

X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為13>

(1)寫出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與C有公共點(diǎn)，求〃?的取值范圍.

【答案】⑴瓜+"2〃，=。

1951

(2)「五'5_|

【分析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式處理即可；

(2)方法一：聯(lián)立/與C的方程，采用換元法處理，根據(jù)新設(shè)。的取值范圍求解”的范圍即可.

psinf0+^\+m=0—n-sin0p-cos0+m=O

【詳解】(1)因?yàn)?：I3>，所以22,

173n

—yH---x+TH=0

又因?yàn)閜snen=y,0-cosn9=x,所以化簡為22.

整理得/的直角坐標(biāo)方程：、6x+V+2w=°

（2）［方法一］:【最優(yōu)解】參數(shù)方程

聯(lián)立/與C的方程，即將x=J^cos2'，y=2sinf代入JL+y+2/n=°

中，

可得3cos2/+2sin/+2/7/=0=>3(1-2sin2/)4-2sin/+2m=0

化簡為-6sin，+2sin，+3+2"?=0,

耍使/與C有公共點(diǎn)，則2"?=6sin2f_2sinf-3有解,

令sinf=a,則?！瓴?」］,令/（。）=6/-2。-3,（-1〈茶1）

對稱軸為“一石,開口向上，

：J(嘰="7)=6+2-3=5

“、12al9

"嘰，廣=T-3=),

195

--<2m<5

6,即〃?的取值范圍為LTP5

［方法二］:直角坐標(biāo)方程

X=y/3COSIt

,「為參數(shù)，消去參數(shù)，，可得「"￥"2

由曲線C的參數(shù)方程為y=2sin，

石x+y+2m=0

一空x+24m=3y2_2y_6=3(y-；1-

得3y2-2y-4in-6=0(-2WyV2),g|j

聯(lián)立31即有

-24,1。-必J95

<m<l

3，即122,，機(jī)的取值范圍是L~n,2

【整體點(diǎn)評】方法一：利用參數(shù)方程以及換元，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，是該題的最優(yōu)解;

方法二：通過消參轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，與方法

一本質(zhì)上差不多，但容易忽視了的范圍限制而出錯(cuò).

E+:1

22.設(shè)小鳥分別是橢圓彳+’-

的左、右焦點(diǎn).

pp.PJP=-—

（1）若尸是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求24,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

（2）設(shè)過定點(diǎn)M（°，2）的直線/