八年級上學期數(shù)學期末壓軸題(軸對稱)訓練

1.如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形

為“活三角形”，這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”.

(1)小明在研究“活三角形”問題時(如圖)，他發(fā)現(xiàn)，在△A8c中，若/BAC=3/C時，

這個△ABC一定是“活三角形”.點力在BC邊上一點，連接AO,他猜測：當

NC時,AO就是這個三角形的“生命線”，請你幫他說明40是4A8C的“生命線”的理由；

⑵如小明研究結果可以總結為：

，該三角形是一個“活三角形請通過自己操作研究，并根據(jù)上述結論，總結“活

三角形”的其他特征；(注意從三角形邊、角特征及相互間關系總結)

(3)如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為度.(直接寫出結

果即可)

2.在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,。為AABC外一點，且

ZMDN=6Q°,ZBDC=\20°,BD=DC.探究：當M、N分別在直線A&AC上移動時，

BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及AAMN的周長。與等邊△48C的周長Z,的關系.

(1)如圖1,AA8C是周長為9的等邊三角形，則AAMN的周長Q=；

(2)如圖2,當點M、N邊AB、AC上，且時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系

是;此時§=;

Lt

(3)點M、N在邊AB、AC上，且當OA/rON時，猜想(2)問的兩個結論還成立嗎？寫

出你的猜想并加以證明.

3.若一個三角形的最大內角小于120°,則在其內部有一點所對三角形三邊的張角均為

120°,此時該點叫做這個三角形的費馬點.如圖1,當△ABC三個內角均小于120。時,

費馬點P在△ABC內部，此時NAP8=N8PC=NCR4=120。，尸A+P8+PC的值最小.

(1)如圖2,等邊三角形ABC內有一點P,若點P到頂點4,B,C的距離分別為3,4,

5,求/AP8的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉化”思想，將AABP繞頂點4旋轉到

△ACP處，連接尸戶，此時AACPgAABP,這樣就可以通過旋轉變換，將三條線段

PA,PB,PC轉化到一個三角形中，從而求出ZAPB=.

⑵如圖3,在圖1的基礎上延長8P,在射線BP上取點D,E,連接AE,A￡>.使=

^DAE=APAC,求證：BE=PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=\,點P為直角

三角形ABC的費馬點，連接AP,BP,CP,請直接寫出D4+P8+PC的值.

4.如圖，△ABC與△。跖都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.邊AB,E尸的中點

重合于點O,連接B尸，CD.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當時，易證BF=C￡>(不需證明)；

(2)當△OE尸繞點。旋轉到如圖②位置時，猜想B尸與CD之間的數(shù)量關系，并證明；

⑶當AABC與△￡>￡：/均為等邊三角形時，其他條件不變，如圖③，猜想"與C。之間

的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想，不需證明.

5.數(shù)學課上，老師在黑板上展示了如下一道探究題：

試卷第2頁，共9頁

在AABC中，AB=AC=m,ABAC=a,點。，E分別在邊AC,ABk,且CE=BD,

試探究線段AE和線段AD的數(shù)量關系.

圖①圖②

(1)初步嘗試

如圖①，若&=90。，請?zhí)骄緼E和AO的數(shù)量關系，并說明理由.

⑵類比探究

如圖②，若a=120。，小組討論后，有小組利用120。的角作垂線構造直角三角形，通過

證明兩次三角形全等，得到4E和AO的數(shù)量關系仍然成立，請你寫出推理過程；

(3)延伸拓展

如圖③，將第(2)中的“點E在邊AB上”改為“點E在邊BA的延長線上”，其它條件不

變，請?zhí)骄?E和AO的數(shù)量關系(用含m的式子表示)，并說明理由.

6.央視科教頻道播放的《被數(shù)學選中的人》節(jié)目中說到，“數(shù)學區(qū)別于其它學科最主要

的特征是抽象與推理幾何學習尤其需要我們從復雜的問題中進行抽象，形成一些基

本幾何模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以解決新的問題.

(1)【模型探究】如圖1,M5C和VADE中，AB=AC,AD=AE,S.ZBAC=ZDAE

連接BE,CD.這一圖形稱“手拉手模型”.

求證VABE@/AC￡),請你完善下列過程.

證明：VZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-Z1=ZDAE-Z1()①

即N2=N3

AB=AC

在AABE■和AACD中，____________②

.③

：.\ABE(^ACD()④

(2)【模型指引】如圖2,聞七中，AB^AC,ZBAC=40°,以8為端點引一條與腰AC

相交的射線，在射線上取點。，使NADB=ZAC8,求：NB3c的度數(shù).

小亮同學通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在8。上找一點E,使隹=AD,最后使問題

得到解決.請你幫他寫出解答過程.

(3)【拓展延伸】如圖3,“WC中，AB=AC,N84C為任意角度，若射線8。不與腰

AC相交，而是從端點B向右下方延伸.仍在射線上取點Q,使ZADB=ZACB,試判

斷/R4C與NBDC有何數(shù)量關系？并寫出簡要過程.

7.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在

長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短

邊相等，從而解決問題.

P

DA.DB、OC之間的數(shù)量關系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=B￡>,連接AE,根據(jù)/BAC+NB￡)C=180。，可證

易證得AAB。名△ACE,得出△ADE是等邊三角形，所以4￡>=￡>E,從

而探尋線段D4、DB、0c之間的數(shù)量關系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、

DC之間的數(shù)量關系是；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在RdABC中，/B4C=90。，AB^AC.若點力是邊BC下方一點，ZBDC

=90°,探索線段D4、DB、OC之間的數(shù)量關系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的

直角頂點之間的距離PQ的長為cm.

試卷第4頁，共9頁

8.已知：AD為ZVRC的中線，分別以AB和AC為一邊在A4BC的外部作等腰三角形

ABE和等腰三角形ACF,且AF=AC,連接EF,ZEAF+ZBAC=180°.

⑴如圖1,若ZA3E=65。,ZACF=75。，求N3AC的度數(shù).

(2)如圖1,求證：EF=2AD.

⑶如圖2,設EF交AB于點G，交AC于點R,FC與EB交于點M,若點G為E尸中點，

且/8A￡=6(r,請?zhí)骄縉G4E和NC4尸的數(shù)量關系，并直接寫出答案(不需要證明).

9.如圖(1),“IBC中，ZABC=90°,AB=BC,點。是AC的中點，點E在C￡＞上

(點E不與點。和點C重合)，AG_L3E于點G,交BD于點、F,連接。G.

圖(1)圖(2)

(1)求證：AADF^ABDE；

(2)設GE=b,GD=c,證明：a+b=區(qū);

(3)如圖(2),延長AG交8c于點V,若點、M是BC中點,點N是A8的中點，請證明

點N、F、C三點共線.

10.如圖，在等邊AABC中，D,E分別為AB,8c邊上的點，DE=EF,/￡)所=60°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若點F在AC邊上，求證：AD^CF-,

(2)如圖2,連CF.若NEC8=30。，求證：AD=2BE；

(3)如圖3,。是8C的中點，點H在JRC內，NB”C=120。，點M,N分別在CH,BH

上，MO1N0,若/C4M=a,直接寫出/及W的度數(shù)(用含有a的式子表示).

11.如圖1,在等邊中，點￡＞是邊AC上的一點,連接BD,以BO為邊作等邊ABDE,

連接CE.

(1)求證：ABAD三4BCE.

(2)如圖2,過A,D,E三點分別作AF/BC于點F,。0_13。于點加，ENLBC于

點N.求證：AF=DM+EN.

(3)如圖3,AF1BC,垂足為點尸，若將點。改為線段AF上的一個動點，連接3。，

以BD為邊作等邊ABDE,連接在:.當AB=1時，直接寫出莊;的最小值.

12.如圖，已知AF平分/B4C,8C垂直平分A。，垂足為E,點尸在CF上，連接P8

交線段AF于點M.

(2)若NS4=NMPC,請你判斷N尸與/MCD之間的數(shù)量關系，并說明理由；

⑶在(2)的條件下，當N48M=80。，々=20。時，判斷AACD是否為等邊三角形？并

說明理由.

13.已知AABC絲△ACE,且它們都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.

(1)如圖I,當點。在邊AC上時，連接B。并延長交CE于點凡

①求證：NCBD=NEDF；

②求證：點尸為線段CE的中點；

(224OE繞著點A順時針旋轉，如圖2所示，連接8。并延長交CE于點F,點F還是

試卷第6頁，共9頁

線段CE的中點嗎？請說明理由.

14.在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AC1BD,垂足為E.

(1)如圖1,若BC=DC,求證：Z4DC=90°；

(2)如圖2,過點C作CG〃/18,分別與8。，交于點尸，G,點M在邊48上，連

接"C并延長，交8。于點N,過。作ZW_LMC于H,NBCG=2NDCG,且

ZBMC="DC+45。.

①證明M0=N3；

②若BD=AE+CH,探究48與3c的數(shù)量關系.

15.(1)如圖①，在“BC中，。為"WC外一點，若AC平分/840,CEJ.AB于點

E,ZB+ZADC=18()。，求證：BC=CD；

琮琮同學：我的思路是在A8上取一點月使得4)=跖，連結CF,先證明△ADC絲

△AFC得至l]DC=FC

,再證明CB=CF,從而得出結論；

宸宸同學:我覺得也可以過點C作邊AD的高線CG,由角平分線的性質得出CG=CE,

再證明AGDCgAEBC,從而得出結論.請根據(jù)兩位同學的思路選擇一種寫出證明過程.

圖①圖②

(2)如圖②，D、E、P分別是等邊小BC的邊BC、AB,AC上的點，AD平分/mE,

且NFQE=120。.

求證：BE=CF.

16.已知；如圖1,在AABC中，AO是NBAC的平分線.E是線段A。上一點(點E

不與點A點。重合)，滿足/48E=2/4CE.

圖3

(1)如圖2,若NACE=18。，且EA=EC,則NOEC=NAEB=

(2)求證：AB+BE=AC.

(3)如圖3,若BD=BE,請直接寫出NA8E和N2AC的數(shù)量關系.

17.如圖，在平面直角坐標系中，AABO是等腰三角形，80=84=10,8(8,6).D為

。8的中點，點尸從。點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度運動，點。從A點出發(fā)運動,

P,。兩點同時出發(fā)，運動時間為/秒.

(1)求出AABO的面積；

(2)當點尸沿OTA—BTOTAT…的路線在三角形的邊上按逆時針方向運動，點。沿

ATBTOTATBT...的路線在三角形的邊上按逆時針方向運動.如果點。的運動速度

為每秒4個單位長度，P,。，兩點第一次相遇時，在三角形的哪條邊上？并求出此時

的r的值.

(3)當尸點從。點出向A點運動，。點從A點出發(fā)向B點運動，如果AODP與AAP。全

等，求點。的運動速度.

18.如圖1,在平面直角坐標系中，＞4(0,4),C(-2,-2),且NAC8=90。，AC=BC.

(1)求點B的坐標;

試卷第8頁，共9頁

(2)如圖2,若BC交y軸于點交x軸與點N,過點B作軸于點E,作

軸于點凡請?zhí)骄烤€段MN,ME,NF的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)如圖3,若在點B處有一個等腰R。8DG,且8O=DG,ZBDG=90°,連接AG,

點”為AG的中點，試猜想線段?！ㄅc線段C4的數(shù)量關系與位置關系，并證明你的結

論.

參考答案：

1.(1)見解析

(2)若三角形的一個內角是另一個內角的3倍；當一個三角形的一個內角是另一個內角的2

倍時，該三角形是一個“活三角形’’(答案不唯一)

(3)36或90或108或卷、

【分析】(1)利用角的和差計算、三角形外角的性質證明推出△AO8,

△AZX7是等腰三角形，根據(jù)“活三角形''的定義判斷即可.

(2)當一個三角形的一個內角是另一個內角的3倍時，該三角形是一個“活三角形”；利用

三角形外角的性質可以證明：當一個三角形的一個內角是另一個內角的2倍時，該三角形是

一個“活三角形

(3)分類討論，根據(jù)“活三角形''的定義，畫出大致圖形，利用等腰三角形的性質、三角形

內角和定理逐個求解即可.

(1)

證明：ZDAC^ZC,/BAC=3/C,

：.ZBAD=2ZC,

'：ZADB=ZC+ZDAC=2ZC,

：.ZBAD^ZADB,

J./XADB,△ADC是等腰三角形，

...△ABC是“活三角形”，直線A。稱為該“活三角形”的“生命線”.

(2)

解：如小明研究結果可以總結為：當一個三角形的一個內角是另一個內角的3倍時，該三角

形是一個“活三角形”.

其它特征：當一個三角形的一個內角是另一個內角的2倍時，該三角形是一個“活三角形”.

比如：N8=2NC時，

在BC上取一上。，連接AO,令/D4c=/C,

:.DA=DC,

...△AOC是等腰三角形，

VZADC^ZDAC+ZC=2/C,

ZB=ZADC,

：.AB=AD,

是等腰三角形，

.'.△ABC是“活三角形”.

(3)

答案第10頁，共41頁

解：如圖1,

圖1

當過頂角NC的頂點的直線C。把等腰4ABC分成了兩個等腰三角形，則AD=

CD=BD,

設NA=x。，

則N4CD=NA=x。，ZB=ZA=x°f

:?/BCD=NB=x。,

?.?ZA+ZACB+ZB=180°

.*.x4-x+x+x=180,

解得x=45,

則頂角NAC3=90。.

當4C=CD=A8,BD=ADW,

設NB=x。，

'：AB=ACf

：.ZC=ZB=x°t

U：BD=AD,

：.ZBAD=ZB=x%

：.ZADC=ZB+ZBAD=2x°,

?；AC=DC,

：.ZADC=ZCAD=2x°f

：.ZBAC=3x°f

9：/C+NB+NBAC=180°,

**?x+x+3x=180>

解得x=36。，

則頂角NA4C=108。.

(3)如圖3,

答案第11頁，共41頁

D

當過底角NC48的角平分線AO把△ABC分成了兩個等腰三角形，則有AC=8C,AB=AD

=CD,

設NC=x。，

,:AD=CD,

：.ZCAD=ZC=x°,

：.ZADB=ZCAD+ZC=2X09

*：AD=ABf

：.ZB=ZADB=2x0,

\'AC=BC,

：.ZCAB=ZB=2x°f

VZCAB+ZB+ZC=180°,

.?.2x+2x+x=180,

解得x=36,

則頂角NC=36。.

(4)如圖4,

圖4

當N8AD=N4DB,NC=NC4力時，則有AC=BC,AB=DB=CD,

設/C=x。，

：.ZCAD^ZC=x°,

：.ZADB=ZCAD+ZC=2x°,

：.NBAD=NADB=2x0,

答案第12頁，共41頁

ZBAC=ZDAB+ZCAD=3x0,

：.ZB=ZBAC=3x°f

???N8AC+NB+NC=180。,

3x+3x+x=180,

解得x=

則頂角/c=

綜上所述，滿足條件的頂角的度數(shù)為90。，108。，36°,

故答案為36或90或108或〒.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及其判定.作此題的時候，首先大致畫出符合條件的

圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方

程求解.

2.(1)6；

Q2

(2)MN=NC+BM,—=-；

L3

(3)結論仍然成立，證明見解析

【分析】(1)構建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉換.延長AC至E,使CE=BM,連接。E.根

據(jù)題意得到/MB￡>=/NCD=90。，那么三角形MB。和ECD中，有了一組直角，MB=CE,

BD=DC,因此兩三角形全等，那么。M=￡>E,NBDM=NCDE,ZEDN=ZBDC-ZMDN

=60。.三角形MEW和中，有DM=DE,NEDN=NMDN=60。,有一條公共邊，因

此兩三角形全等，MN=NE,至此我們把轉換成了CE,把MN轉換成了NE,因為NE

=CN+CE，因此NM=BM+CN.可根據(jù)L的值確定與Q的值；

(2)如果0M=LW,NDMN=NDNM,因為BO=OC,那么N。8c=NOC8=30。，也就

有NM3。=NNC￡)=60+30=90。，直角三角形M3。、NCD中，因為BO=C￡>,DM=DN,

根據(jù)HL定理,兩三角形全等.那么BM=NC,NBMD=NDNC=60°,三角形NCD中，NNDC

=30°,DN=2NC,在三角形DVM中，DM=DN,ZMDN=60°,因此三角形是個等

邊三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM,三角形AMN的周長Q=AM+AN+MN=

AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB,三角形A8C的周長L=3A8,因此Q：L=2：3.

(3)如果。MWCM我們可通過構建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉換.延長AC至E,使CE

=BM,連接QE.(1)中我們已經(jīng)得出，NMBD=NNCD=90。,那么三角形M8O和EC。

中，有了一組直角，MB=CE，8O=OC,因此兩三角形全等，那么DM=DE,NBDM=NCDE,

答案第13頁，共41頁

ZEDN=ZBDC-ZMDN=60°,三角形MDN和中，有DM=DE,/EDN=/MDN

=60°,有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN=NE,至此我們把8M轉換成了CE,把

MN轉換成了NE,因為NE=CN+CE,因此NM=8M+CV.。與L的關系的求法同(1),得

出的結果是一樣的.

(1)

解：如圖2,延長AC至￡,使CE=3M,連接OE,

圖2

?:BD=CD,且N8OC=120。，

：.ZDBC=ZDCB=30°,

又???△ABC是等邊三角形，

NMBD=NNCD=90。,

在^MBD與AECD中,

BM=CE

<NMBD=/ECD,

BD=CD

:AMBDm4ECD(SAS).

：.DM=DE,/BDM=/CDE.

：./EDN=ZBDC-NMDN=600.

在AMDN與AEDN中,

'DM=DE

<4MDN=ZEDN,

DN=DN

:?叢MDN空4EDN(SAS),

:,MN=NE=NC+BM,

?.,△AMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(4M+8M)+(AN+NC)=AB+AC

=2AB,

等邊△ABC的周長L=3A8=9,即A8=3,

則Q=6；

故答案為：6；

答案第14頁，共41頁

(2)

解：■:DM=DN,

:?/DMN=/DNM,

?：BD=DC,

：./DBC=NDCB=30。,

/./MBD=NNCD=60+30=90。，

\BD=CD

在RSMB。和RtaNCO中，

[DM=DN

：.RsMBD義RIANCD

:?BM=NC,NBMD=NDNC=6。。,

???在△NC。中，NNOC=30。，DN=2NC,在△DNM中，DM=DN,NMQN=60°,

；?ADMN是等邊三角形,

???MN=DN=2NC=NC+BM,

：.aAMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+M8+NC=A8+AC=2A8,

△ABC的周長L=3A3,

；?BM、NC、MN之間的數(shù)量關系為：BM+NC=MN.

此時

L。

2

故答案為：BM+NC=MN；-.

(3)

猜想：(2)中的結論仍然成立，

證明：如圖，延長4c至E,使CE=8M,連接。E,

圖2

；BD=CD,且NBOC=120°,

ZDBC=ZDCB=30°,

又,:/XABC是等邊三角形，

NMBD=ZNCD=90°,

答案第15頁，共41頁

在4MBD與入ECQ中,

BM=CE

-4MBD=NECD,

BD=CD

:.4MBD與AECD(SAS).

：.DM=DE,/BDM=NCDE.

，ZEDN=ZBDC-NMDN=60°.

在^MDN與△E￡W中，

DM=DE

-4MDN=ZEDN,

DN=DN

:AMDN學4EDN(SAS),

：.MN=NE=NC+BM,

「△AMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=CAM+BM)+(AN+NC)=AB+AC

=2AB,

等邊△ABC的周長L=3AB,

?2=2

,,L3-

【點評】此題考查了三角形全等的判定及性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與

性質，題目中線段的轉換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當題中沒有明顯的全等三角形時，

我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構建于已知和所求條件相關的全等三角形.

3.(1)150°

⑵見解析

⑶萬

【分析】(1)由全等三角形的性質得到AP'=AP=3、CP'=BP=4,ZAP'C=ZAPB,再根

據(jù)旋轉性質，證明△APP為等邊三角形，△尸PC為直角三角形，最后由/AP3=/APC=

NAP'P+ZPP'C解答；

(2)由費馬點的性質得到NAPB=120。，ZAP￡>=60°,再證明AAPC四(ASA),由

全等三角形對應邊相等的性質解得PC=DE,最后根據(jù)線段的和差解答；

(3)將△APB繞點8順時針旋轉60。至△APB處，連接PP,由勾股定理解得8c=g,

由旋轉的性質，可證明△8PP'是等邊三角形，再證明C、P、4、產(chǎn)四點共線，最后由勾股

定理解答.

［解析】(1)解：：AAC產(chǎn)經(jīng)AABP,

：.AP'=AP=3.CP'=BP=4,ZAP'C^AAPB,

答案第16頁，共41頁

由題意知旋轉角N/MP'=60。，

/SAP尸為等邊三角形，

PP'=4P=3,ZAP'P=60°,

由旋轉的性質可得：AP'=AP=PP'=3,CP'=4,PC=5,

:32+42=52

...△PPC為直角三角形，且NPPC=90。，

NAPB=/AP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150。；

(2)證明：：點P為△ABC的費馬點，

ZAPS=120°,

ZAPD=6O0,

又：AD=AP,

.?.APO為等邊三角形

AAP=PD=AD,ZPAD=ZADP=60°,

：.NADE=120。，

,ZADE=ZAPC,

APAC=ZDAE

在AAPC和△4￡>￡：中，"AP=AD

ZAPC=ZADE

：.^APC^ADE(ASA)；

PC=DE,

,/BE=BP+PD+DE,

：.BE=PA+PB+PC；

(3)解：如圖，將△APB繞點8順時針旋轉60。至△APB處，連接PP,

?在R^ABC中，ZC=90°,AC=],ZABC=30°,

：.AB=2,

BC=\IAB2-AC2=百>

把△APB繞點B順時針方向旋轉60。得到△APB,

：./48C=ZABC+60°=30°+60°-90°,

VZC=90°,AC=1,NABC=30°,

：.AB=2AC=2,

,：XAPB繞點B順時針方向旋轉60°,得到△A'P'B,

：.A'B=AB^2,BP=BP',A'P'=AP,

.?.△BP廣是等邊三角形，

答案第17頁，共41頁

：.BP=PP',ZBPP'=ZBP'P=60°,

:/APC=NCPB=/B%=120°,

ZCPB+NBPP'=ZBP'A'+ZBP'P=120°+60°=180°,

：.C.P、A\P四點共線，

在RQA'BC中，AC=〃?+8C2=?互+》=近，

：.PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC=A'C^y/l.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、旋轉的

性質、費馬點等知識，是重要考點，有難度，掌握相關知識，正確做出輔助線是解題關鍵.

4.(1)見解析

(2)BF=C￡＞；證明見解析

同

(3)BF=—CD

3

【分析】(1)如圖①，連接OC,先證C、F、。三點共線，再證ABQF=ACOO(SAS),即可

得出結論；

(2)如圖②，連接OC、OD,證明ABOF=AC8(SAS),即可得出結論；

(3)如圖③，連接OC、OD,證明AfiOFsACOD,相似比為業(yè),即可得出結論.

3

(1)

證明：如圖①，連接。C,

?.?AA8C與ADEF都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.邊48,EF的中點重合于點

0,

.-.OCLAB,OC=-AB^OB,OD1EF,OD=-EF=OF,

22

?.?也_LAB于0,

答案第18頁，共41頁

???C、F、。三點共線,

在ABO/與ACOQ中，

ZOB=OC

</BOF=/COD=90。,

OF=OD

:.ABOF合ACOD(SAS),

；.BF=CD；

圖①

(2)

解：猜想Bb=CO,理由如下：

如圖②，連接OC、OD,

???A4BC與ADE尸都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF,邊A8,石廠的中點重合于點

O,

:.OC1AB,OC=-AB=OB,OD1EF,OD=、EF=OF,

22

?.?ZBOF=ZBOC+ZCOF=90°+NCOF,ZCOD=ZDOF+ZCOF=90°+ZCOF,

:"BOF=/COD.

在ABOF與AC。。中，

OB=OC

<NBOF=ZCOD,

OF=OD

:.MOF三ACOD(SAS),

：.BF=CD；

圖②

答案第19頁，共41頁

(3)

解：猜想8尸=走<:￡>,理由如下：

3

如圖③，連接OC、0D.

???A4BC為等邊三角形，點。為邊A8的中點，

ZBCO=ZACO=30°,NBOC=90°,

tanNBCO=—=tan30°=—,

OC3

:AD瓦?為等邊三角形，點。為邊EF的中點，

NFDO=ZEDO=30°,ZDOF=90°,

tanNFDO=—=tan30°=—,

OD3

,OBOF百

--------=-----=-----f

OCOD3

?;NBOF=ZBOC+NCOF=90°+ZCOF,Z.COD=ZDOF+ZCOF=90°+NCOF,

:"BOF=NCOD,

:&OFS&COD,

.BFOB

CD-OC-T

c

BF=—CD.

3

B

C

圖③

【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質、全等三

角形的判定與性質、等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，本題綜合性強,

熟練掌握等腰直角三角形的性質和等邊三角形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題

的關鍵，屬于中考?？碱}型.

5.(1)AE=A￡>,理由見解析

(2)見解析

(3)AE-AD=m,理由見解析

答案第20頁，共41頁

【分析】(1)證明RtAABC絲RSACE(HL),可得結論.

(2)過點C作CMJ_B4交BA的延長線于M,過點B作BN_LC4交C4的延長線于N.證

△CAM^/\BANCAAS^,得CM=BN,AM=AN,再證為△CME堂RtABN。(HL),得EM

—DN,可得結論.

(3)在AB上取一點F,使得BQ=CE，，則AO=AE.過點C作CTLAE于T.證明7E=

TE',再由含30。角的直角三角形的性質得Ar=g〃?，可得結論.

【解析】(1)vZfi4￡)=ZC4￡=90°,

XVAB=AC,CE=BD,

：.△AB。2△ACE(HL),

，AE=AD.

(2)如圖(1)中，過點C作CM，84交BA的延長線于M,過點N作BNJ_C4交CA的延

長線于N.

；NM=NN=90°,ACAM=ZBAN,CA=BA,

：.△CAM^BAN(AAS),

:.CM=BN,AM=AN,

；ZM=ZN=90°,CE=BD,CM=NM,

：.RtACMCRtABAO(HL),

EM=DN,

'：AMAN,

AE=AD.

(3)如圖(2)中，結論：AE-AD^m.

理由：在AB上取一點E',使得8O=C￡,則AZ)=AF.

過點C作CTJ_A￡于T.

答案第21頁，共41頁

':CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE,

'：CTVEE',

ET=TE,

VZC47'=60°,CTLAE

?：AT=-AC=-m,

22

AE-AD^AE-AE=2AT=m.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性

質、含30。角的直角三角形的性質等知識，本題綜合性強，解題的關鍵是正確尋找全等三角

形解決問題.

6.(1)等量代換，N2=/3,AE=AD,SAS

(2)40°

⑶N8Z5C+N8AC=180°

【分析】⑴根據(jù)已知條件可知，采用“邊角邊”的方法證明VABE@VACQ；

(2)通過等腰三角形等邊對等角的性質，先證NS4￡=NC4D,再利用“邊角邊”證明

^BAE=^CAD,推出NAZX?=NA￡8,ZADB+ABDC=ZADB+AEAD,由此得出

ZBZX?=ZE4D=40o；

(3)在OB的延長線上找一點E,使AE=4),設/84C=a,同(2)證明,

推出NAOC=N4=90。-1,ZBDC=Z3+ZADC=180°-?,由此得出NB￡)C+N84c=180。.

【解析】(1)證明：：NBAC=NZME,

ABAC-Z1=ZDAE-Z1(等量代換)①

即12=4

AB=AC

在AABE和AAGD中,N2=N3②

AE=AD@

J.NABE^ACD(SAS)④

故答案為：等量代換，N2=N3,AE=AD,SAS.

答案第22頁，共41頁

(2)解：:金。中，AB=AC,ZBAC-400,

??.ZABC=ZACB=-------------=70°,

2

ZADB=ZACB=70°1

\AE=AD,

ZAED=ZADB=70°,

Z￡AD=180°-ZAED-ZA￡>B=40°,

:.Z￡AD=ABAC,

ZEAD-ZEAC=ABAC-ZEAC,

ZBAE=ZCAD,

在△84E和ACAD中

AB=AC

<NBAE=NCAD

AE=AD

:.^BAE=AC4D,

ZADC=ZAEB,

:.ZADB+/BDC=ZADB+/EAD,

.?.ZBDC=ZEAD=40°.

(3)解：如圖，在。8的延長線上找一點E,使AE=4),

A

設ZBAC=Q,

?.?AB=AC,

???Z1=Z2=-8Q°—=90°--

???Z3=Zl=90°--,

2

AE=AD

???Z4=Z3=90°--,

2

??.ZEAD=180°-Z3-Z4=a,

.\ZEAD=ZBAC,

答案第23頁，共41頁

ZEAD-ZBAD=ABAC-ABAD,

.?.ZBAE=ZCADf

在zJM石和△CAD中

AB=AC

<NBAE=NCAD

AE=AD

「.△BAE=^CAD,

:.ZADC=Z4=90°--,

2

ABDC=Z3+ZADC=2(90°--)=180°-?,

2

:.ZBDC+ZBAC=]80°.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識點，屬于規(guī)律探究

題,難度逐步加大，解題的關鍵是充分利用類比方法，參考上一問的方法步驟找到解題方向.

7.(\)DA=DB+DC

Q)近DA=DB+DC；理由見解析

⑶PQ=(五+娓)cm

【分析】(1)延長。C到點E,使CE=8D,連接AE,由等邊三角形知48=AC,ZBAC=60°,

結合/B￡)C=120。,知NA8￡>+/ACO=180。,則ZABD=ZACE,證得△ABD=LACE^AD=AE,

ZBAD=ZCAE,再證明△ADE是等邊三角形，等量代換可得結論；

(2)同理可證4ABD24CE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,由勾股定理得DA1+AE2=DE2，

等量代換即得結論；

(3)由直角三角形的性質可得QN的長，由勾股定理可得MQ的長，由(2)知

y/2PQ=QN+QM,由此可求得PQ長.

(1)

(1)延長。C到點E,使CE=BD,連接AE,

△4BC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

'：ZBDC=l20°,

：.ZBAC+ZBDC=ISO°,

：.ZABD+ZACD=\SQ0,

又；ZACE+ZACD=\S00,

：.NABD=NACE,

：.△ABO-ACE(SAS),

答案第24頁，共41頁

：.AD=AEfZBAD=ZCAE,

VZBAC=60°,

???N8AO+NZMC=60。，

???ZDAE=ZDAC+ZCAE=60°,

/?/\ADE是等邊三角形,

：.DA=DE=DC+CE=DC+DB,

(2)

y[2DA=DB+DCf

理由如下：延長DC到點E,使CE=8。，連接AE,

；NBAC=90。，NBDC=9Q°,

：.ZABD+ZACD=180°

又,,,ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

'：AB=AC,CE=BD,

：./\ABD^^ACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE=ZBAC=9Q°,

DA'+AE^DE2,

：.2DA2=(DB+DC)2,

近DA=DB+DC，

(3)

如圖所示：連接P。，

答案第25頁，共41頁

VMN=4cm,/QWN=30。，

QN=^MN=2cm,

根據(jù)勾股定理得QM=JMM-QN2="2-2」=26cm,

由(2)知gPQ=QN+QM,

.gQN+QM2+26/6工［7\

.?PQ=——-y=——=--j=—=(V2+,

【點評】此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形和等邊

三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

8.(1)ZBAC=5O°；

⑵見解析；

(3)ZGAF=^ZC4F=60°

【分析】(1)利用三角形內角和定理求出NE4B和NC4F,再根據(jù)NE4尸+N84C=180。構

建方程即可解決問題；

(2)延長4。至〃，使?！岸嗀。，連接8”,想辦法證明/即可解決問題；

(3)先證明△ACO0△E4G,推出NACQ=NR1G,再證明N5CF=150。即可.

【解析】(1)???AE=AB,

ZAEB=ZABE=65°f

；?NEAB=50。,

*：AC=AF,

：.ZACF=ZAFC=75°,

AZCAF=30°,

VZEAF+ZBAC=180°,

NE4B+2NA8C+N必C=180。，

.,.50°+2ZBAC+30°=180°,

???NBA050。.

答案第26頁，共41頁

(2)證明：延長AO至〃，使。”二AO,連接54,

\'EF=2ADf

:?AH=EF,

在△3。4和△CDA中，

BD=CD

<ZBDH=4CDA,

DH=AD

:.XBDHQXCDA,

：?HB=AC=AF,NBHD=NCAD,

:?AC〃BH,

：.NABH+NBAC=180。,

VZEAF+ZBAC=180o,

:?/EAF=/ABH,

在△AB"和產(chǎn)中，

AE=AB

,ZEAF=ZABH,

AF=BH

：.AABH^AEAF,

AZAEF=ZABHfEF=AH=2ADf

由(1)得，AD=^EFf又點G為E尸中點,

：.EG=AD,

在和△ABO中，

AE=AB

</AEG=ZBAD,

EG=AD

:?XEAG經(jīng)XABD,

答案第27頁，共41頁

：.ZEAG=ZABC=60°,

...△AEB是等邊三角形,

NABE=60°,

ZCBM=60°,

在△AC￡>和△用G中，

AD=FG

<AG=CD,

AF=AC

：.^ACD^AFAG,

：.ZACD=ZFAG,

'：AC^AF,：.ZACF^ZAFC,

在四邊形ABCF中,ZABC+ZBCF+ZCFA+ZBAF=360°,

.*.60°+2N8CF=360°,

；.NBCF=150。,

：.ZBCA+ZACF^\50°,

：.ZGAF+^(180°-ZCAF)=150°,

ZGAF-^ZCAF=60°.

A

【點評】本題考查三角形綜合題，涉及全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.

9.(1)見解析；

⑵見解析；

(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質得到/ADF=NBDE=90。，Na4C=NBC4=45。，

AD=BD,AF_L8E得/1+/2=90°,由NBOE=90°得N3+/2=90°,則/1=/3,根據(jù)AS4即

可得到結論；

(2)過點。作OHJ_OG交4尸點〃，證明△尸嶺△￡>GE(ASA),根據(jù)全等三角形的性質

得DH=DG,GE=HF,則4Q//G是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得FH+FG=

答案第28頁，共41頁

夜。G,則FG+GE=&DGQPa+b=^2c-,

(3)連接NF,CF,如圖，根據(jù)中點的定義得82gA8,BM=；BC,由4B=BC得8N=8歷，

證明△BFN皎△BFM(SAS),可得/BFN=N8FM,再證AADF^ZiC￡>F(SSS),可得

NAFD=NCFD,由對頂角/BnW=NA尸。得NBBW=/A尸ZA/CFO,則NN尸M=N4FC,由

NAFC+NCFM=180°得NNFM+NCFM=180°,即N、F、C三點共線.

【解析】(1)證明：如圖所示：

圖(1)

???AB=BC,點。是AC的中點

Z^=Z^=90°,ZABD=NCBD=45。

,：ZABC=90°,AB=BC

：.N54C=NBC4=45°

ZBAC=ZABD

***AD=BD

???AFA.BE

：.Zl+Z2=90°

NBDE=90。

：.Z3+Z2=90°

???Z1=Z2

又,：NAI)F=4BDEW0。,AD=BD

J/XADF^/XBDE.

(2)證明：(法一)過點。作O//J_DG交所點”，如圖所示:

答案第29頁，共41頁

A

Z5+ZW=90°,

???Z6+ZW=90°

，Z5=Z6

■:/\ADF^/\BDE

/.Z4=Z2,DF=DE

"DHF玨DGE

:?DH=DG,GE=HF

又TDH_LDG

???△OHG是等腰直角三角形

；?FH+FG=&DG

:?FG+GE=&DG即〃+〃=岳

（法二）過點。作。交班的延長線于點H,如圖所示:

貝ljZ6+Z￡Q7=90o

?；Z6+Z/7^^90°

???4FDG=/EDH

?:/\ADF^/\BDE

AZ4=Z2,DF=DE,

???2DFG=/DEH

答案第30頁，共41頁

4FDGQ4EDH

:?DH=DG,GF=EH

???△O"G是等腰直角三角形

EH+GE=?DG

?/GF=EH

:?FG+GE=&DG即〃+匕=也。

(3)證明：方法一(定義法):

連接NF,CF,如圖所示：

丁點N是AB的中點，點M是