2022年江西省吉安市桃溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若與在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．(0，1)

B．(0，1C．(-1,0）∪(0，1)

D．(-1，0)∪(0，1參考答案：B2.式子的值為（

）A．

Ｂ．

Ｃ．

D．參考答案：A略3.異面直線和所成的角為，則的范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C4.在空間中，下列命題中正確的是

（

）①若兩直線、分別與直線平行，則∥②若直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則∥③若直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則⊥④若平面內(nèi)的一條直線垂直平面r，則⊥rA．①④

B．①②④

C．①③④

D．①②③④參考答案：答案：A5.命題“?x∈R，x2﹣4x+4≥0”的否定是（）A．?x∈R，x2﹣4x+4＜0 B．?x?R，x2﹣4x+4＜0C．?x0∈R，x02﹣4x0+4＜0D．?x0R，x02﹣4x0+4＜0參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行求解．【解答】解：全稱命題的否定是特稱命題，則命題的否定是：?x0∈R，x02﹣4x0+4＜0，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．6.若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)，則可以是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2）(

)A． B．C． D．參考答案：D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由題意可得lnx=2ax﹣1有兩個(gè)解x1，x2?函數(shù)g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．．①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．②當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則＞0，即＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．8.函數(shù)在區(qū)間（）內(nèi)的圖象是（

）參考答案：D9.若兩個(gè)向量滿足，則與的夾角是(A)(B)(C)(D)參考答案：C10.已知向量,,且，則的值為

(

)A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某三棱錐的三視圖如下圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_(kāi)__

________．參考答案：12.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，設(shè)向量=（b，c﹣a），=（b﹣c，c+a），若⊥，則角A的大小為．參考答案：

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出b2+c2﹣a2=﹣bc，由此利用余弦定理能求出角A的大?。窘獯稹拷猓骸咴凇鰽BC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，向量=（b，c﹣a），=（b﹣c，c+a），，∴=b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=b2+bc+c2﹣a2=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，cosA===﹣，∴A=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直、余弦定理的合理運(yùn)用．13.體積為27的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的半徑為_(kāi)________.參考答案：試題分析：正方體棱長(zhǎng)為，則，，．故答案為．考點(diǎn)：正方體與外接球．14.已知集合，，則

．（請(qǐng)用區(qū)間表示）參考答案：15.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值為

．參考答案：16.在中，，，是的中點(diǎn)，那么

____________;若是的中點(diǎn)，是（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則的取值范圍是___________.

參考答案：2;.

將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，則,設(shè)，則，令，則，做直線，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，但此時(shí)最小，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大。即的最下值為，最大值為，即。的取值范圍是。17.寫出以下五個(gè)命題中所有正確命題的編號(hào)

①點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)；②橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；

③已知正方體的棱長(zhǎng)等于2,那么正方體外接球的半徑是；④下圖所示的正方體中，異面直線與成的角；⑤下圖所示的正方形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形是矩形．

參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)處取得極小值－4，若的取值范圍為（1，3）.

（Ⅰ）求的解析式及的極大值；（Ⅱ）當(dāng)?shù)膱D像恒在的圖象

的下方,求m的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，因此處取得極小值－4，在x=3處取得極大值。

………4分

…………6分則

………7分（Ⅱ）由題意得，當(dāng)，即，在[2，3]上是增函數(shù)，，，，解得，的取值范圍為

……12分略19.某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．

甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率；（2）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率；（3）如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？參考答案：【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)表可得，在這1000名顧客中，同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有200人，從而求得顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率．（2）根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有300人，求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率．（3）在這1000名顧客中，求出同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率、同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）從統(tǒng)計(jì)表可得，在這1000名顧客中，同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有200人，故顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率為=0.2．（2）在這1000名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有100+200=300（人），故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率為=0.3．（3）在這1000名顧客中，同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率為=0.2，同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率為=0.6，同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率為=0.1，故同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率最大．20.△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知（1）求C；（2）若，求△ABC的面積.參考答案：【分析】（1）由題得，解三角方程即得解；（2）先求出，再求的面積.【詳解】（1）因?yàn)樗?，因所以所以，因?yàn)?，所?（2）由題得所以，所以△ABC的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角恒等變換，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21.（本題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若，直線都不是曲線的切線，求的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區(qū)間［0，1］上的最大值。參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，在，處都取得最大值0當(dāng)時(shí)，在取得最大值.（Ⅰ）因?yàn)椤?分令，所以隨的變化情況如下表：+0-0+Z極大值J極小值Z

……4分所以

…………5分（由得出，或，在有單調(diào)性驗(yàn)證也可以（標(biāo)準(zhǔn)略））（Ⅱ）因?yàn)?/p>

……6分因?yàn)椋本€都不是曲線的切線，所以無(wú)實(shí)數(shù)解……7分只要的最小值大于所以

……8分（Ⅲ）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，對(duì)成立所以當(dāng)時(shí)，取得最大值

……9分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞增

在單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值………………10分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)，取得最大值

……11分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，單調(diào)遞減在時(shí)，，單調(diào)遞增又，當(dāng)時(shí)，在取得最大值當(dāng)時(shí)，在取得最大值當(dāng)時(shí)，在，處都取得最大值0.…………13分綜上所述:當(dāng)時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，取得最大值當(dāng)時(shí)，在，處都取得最大值0當(dāng)時(shí)，在取得最大值.22.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AG⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為，求AG的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）分別推導(dǎo)出AG⊥EF，AG⊥AD，由此能證明AG⊥平面ABCD．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由BF與平面ACE所成角的正弦值為，利用向量法能求出AG．【解答】（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以AG⊥EF．又因?yàn)镋F∥AD，所以AG⊥AD．…因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．…（Ⅱ）解：因?yàn)锳G⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB兩兩垂直．以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AG分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系