15導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1．不等式的證明問(wèn)題可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識(shí)利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明，其一般步驟是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)→研究單調(diào)性或最值→得出不等關(guān)系→整理得出結(jié)論．2．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用(1)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等．(2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．3．利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般有如下幾類(1)給出了具體的函數(shù)關(guān)系式，只需研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)即可；(2)函數(shù)關(guān)系式中含有比例系數(shù)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出比例系數(shù)得到函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)的性質(zhì)；(3)沒(méi)有給出函數(shù)關(guān)系，需要先建立函數(shù)關(guān)系，再研究函數(shù)的性質(zhì)．考向1利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，常以解答題的形式作為試卷的最后一題考查，以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大，屬中高檔題．常常涉及不等式恒成立、證明不等式以及比較大小問(wèn)題．例1(2016·課標(biāo)Ⅲ文，21，12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.令f′(x)＝0解得x＝1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，lnx<x－1.設(shè)F(x)＝xlnx－x＋1，x＞1，則F′(x)＝1＋lnx－1＝lnx，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，即F(x)＞F(1)＝0，所以xlnx＞x－1.即原不等式得證．(3)證明：由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，則g′(x)＝c－1－cxlnc，當(dāng)x<x0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.1．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)證明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時(shí)，有F(x)＜0，即證明了f(x)＜g(x)．(2)證明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，則F(x)在(a，b)上是增函數(shù)，同時(shí)若F(a)≥0，由增函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時(shí)，有F(x)＞0，即證明了f(x)＞g(x)．2．不等式成立(恒成立)問(wèn)題(1)f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，f(x)≥a成立?f(x)max≥a.(2)f(x)≤b恒成立?f(x)max≤b，f(x)≤b成立?f(x)min≤b.(4)①?x1∈M，?x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)min＞g(x2)max.②?x1∈M，?x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)min＞g(x2)min.③?x1∈M，?x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)max＞g(x2)min.④?x1∈M，?x2∈N，f(x1)＞g(x2)?f(x1)max＞g(x2)max.變式訓(xùn)練

(2018·陜西渭南月考，21，12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－x－3.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)求證：ln(22＋1)＋ln(32＋1)＋ln(42＋1)＋…＋ln(n2＋1)＜1＋2lnn！(n≥2，n∈N*)．∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＜0.∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)的最大值為f(1)＝－4.(2)證明：∵f(x)＝lnx－x－3在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)＜f(1)＝－4，即lnx－x－3＜－4，∴l(xiāng)nx＜x－1在(1，＋∞)上恒成立．即ln(22＋1)＋ln(32＋1)＋ln(42＋1)＋…＋ln(n2＋1)＜1＋2lnn！(n≥2，n∈N*)．考向2利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題

從近幾年高考命題情況來(lái)看，試題有小題也有大題，作為解答題難度較大．此類試題一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．例2(2017·課標(biāo)Ⅰ，21，12分)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】

(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減．②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝－lna.當(dāng)x∈(－∞，－lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．②若a>0，由(1)知，當(dāng)x＝－lna時(shí)，f(x)取得最小值，又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)上有一個(gè)零點(diǎn)．1．利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．2．判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法(1)直接法：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)畫圖法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．(3)定理法：利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決．(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y＝f(x)的切線；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：(1)f′(x)＝3x2＋a.設(shè)曲線y＝f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0，0)，則f(x0)＝0，f′(x0)＝0，(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＝－lnx<0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＝－lnx>0.所以只需考慮f(x)在(0，1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．考向3利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題

以實(shí)際生活為背景，通過(guò)求面(容)積最大、用料最省、利潤(rùn)最大、效率最高等問(wèn)題考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及建模的能力，常與函數(shù)關(guān)系式的求法、函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值)、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何中曲線方程、空間幾何體等知識(shí)交匯考查．這類問(wèn)題是高考的一種常見(jiàn)題型，屬于中等難度．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．當(dāng)0≤x＜5時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)5＜x≤10時(shí)，f′(x)＞0，所以當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，由實(shí)際意義確定定義域；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使得f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實(shí)際問(wèn)題作答．在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，若在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)值即為最優(yōu)解．(1)求a，b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；解：(1)由題意，知x＝2時(shí)，y＝800，∴a＋b＝800.又∵x＝3時(shí)，y＝150，∴b＝300，可得a＝500，當(dāng)1＜x≤4時(shí)，f(x)＝