L【2022年全國(guó)乙卷】已知向勤=(2,1),b=(-2,4).則怔一/()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

先求得五一萬(wàn)，然后求得也一司.

因加一萬(wàn)=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以旗一同=J42+(-3)2=5.

故選：D

2.【2022年全國(guó)乙卷】已知向量乙萬(wàn)滿(mǎn)足同=1,歷|=6,|五一2回=3，則N?萬(wàn)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

2

解：：|五_21/=同2_43彳+41bl，

又。同=1,|b|=V3,|a-2b\=3,

二9=l-4ab+4x3=13-4a-6>

-'?a-b=1

故選：C.

3.【2022年新高考1卷】在△ABC中，點(diǎn)D在邊A8上，BD=2DA.記函=而，CD=n,

則出=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

因?yàn)辄c(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA,所以前=2市，即前一,=2傳淀一

所以方=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

4.【2022年新高考2卷】已知向量5=(3,4),石=(1,0)匯=五+防，若>=<5]>,則

t=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

解：c=(3+t,4),cos(d,'c)=cos(瓦。，即=而，解得￡=5,

31cl￡1

故選：c

5.【2022年北京】在△ABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

且PC=1,則同?際的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(cos8,sin。)，表示出演，PB,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、

輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),4(3,0),8(0,4),

因?yàn)镻C=1,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)P(cosB,sin8),9e[0,2TT],

所以同=(3—cos。,一sin。)，PB=(—cos0,4—sin。)，

所以而?PB=(—cos。)x(3—cos。)+(4—sin。)x(—sin。)

=cos20—3cos0—4sin0+sin20

=1-3cos8—4sin0

=1—5sin(0+cp),其中sin<)o=高，coscp—p

因?yàn)橐?<sin(0+<p)<1,所以—4<1—5sin(。+(p)<6,即PA?PBG[-4,6]；

故選：D

6.【2022年全國(guó)甲卷】已知向量H=(叫3),石=+若NJ_b,則血=

【答案】一白#一0.75

4

直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

3

-

由題意知：a-b=m+3(m+l)=0,解得zn4

故答案為：—；

4

7.【2022年全國(guó)甲卷】設(shè)向量乙方的夾角的余弦值為5且同=1,向=3,則(2忑+方)?石=

【答案】11

設(shè)立與萬(wàn)的夾角為仇依題意可得cos。再根據(jù)數(shù)量積的定義求出式工，最后根據(jù)數(shù)量積

的運(yùn)算律計(jì)算可得.

解：設(shè)立與萬(wàn)的夾角為。，因?yàn)?與5的夾角的余弦值為右即cos。=%

又同=1,|4=3,所以說(shuō)?b=同?|b|cos。=1x3xg=1,

所以(2忑+萬(wàn)).萬(wàn)=?方+萬(wàn)2=2a-b+\b\Z=2x1+32=11.

故答案為：11.

8.【2022年浙江】設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形…&的邊上，則同彳+網(wǎng)2+

…+西之的取值范圍是.

【答案】[12+2魚(yú),16]

根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，&&所在直線為X軸，為4所在直線為y軸

建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計(jì)算公

式即可得到瓦*+瓦超+…+瓦*=8(x2+/)+8，然后利用cos22.5°<\0P\<1即可解

出.

以圓心為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則4式。，1），42（當(dāng)，當(dāng)，As。，。），.（今一￥），45（。，-1），46（-1，一當(dāng)，人7（-1,。）也（一

y，Y），設(shè)P（x,y）,于是瓦庫(kù)+瓦砥+…+PAl=8（x2+y2）+8，

因?yàn)镃OS22SWIOPIW1,所以號(hào)目w》2+y2wi,故西彳+兩，+…+瓦*的取值范圍

是［12+2企,16卜

故答案為：［12+2企,16］.

2022年高考模擬試題

1.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在直角坐標(biāo)系xOy中的三點(diǎn)”（，〃,3）,

N（4,〃），E（2,-2）,若向量麗與麗在向量應(yīng)方向上的投影相等，則血與"的關(guān)系為（）

A.m+n=lB.m-n=3

C.m=nD.m=-n

【答案】A

根據(jù)向量在向量上的投影的定義列式可求出結(jié)果.

OM=(加,3),礪=(4,〃)，醞=(2,-2),

______.,_一.,,,OMOE2m-6m-3

向量OM在向量OE方向上的投nra影zu為一=—=/..=rz，

\OE\J4+4V2

向量而在向量方方向上的投影CW為-O絲F土R=-*2幺w=土4一，，

\OE\V4+4V2

加一34一〃

由題意可得赤=而即"2+〃=7.

故選：A.

uuiiiuumii

2.（2022?山東濰坊?三模）已知°,6是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，”+勸，/C=+6，

2,〃eR,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是（〉

A./-7z=1B.A+/J=2C.2〃=1D.-=1

【答案】C

uniuum

利用向量共線的充要條件有AB=mAC且meR，即可得答案.

由A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是:出=機(jī)送且小R,

m/.i=1

所以故=1.

A=m

故選：C

3.（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）在中，A=^,點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段ZC上，

且滿(mǎn)足Z/OMOBUZMEMECMZ,CD交8E于F，設(shè)益=￡,~AC=b>則萬(wàn)?阮=（）

,617—2932

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】B

根據(jù)平面共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義、平面

向量的加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.

設(shè)方=4反，EF=nEB,因?yàn)?/p>

方=而+而［而+/1反=；荏+/1（次+就）=；荏+/1（_；而+就）=\^^+/1就,

酢=萬(wàn)+而=^就+〃而=；就+〃（初+函=：就+〃（_；就+而）=^^就+//函

1-2彳二

5

所以有=>,

1

2

1

,__,,.UUUULU1'—2'；、,1':、1—2

因此AF-BC=(―4B+MAC)(—AB+AC)———AB+-~AC--'AC~AB,

55

因?yàn)?=三，AB=3fAC—4,

一i.,uuaULU----121117

所以AF-BC=4F?BC=——x9+—xl6——x3x4x—=—,

55525

故選：B

4.（2022?內(nèi)蒙古?滿(mǎn)洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））若，=（2,-百），ft=（2sinp2cos^）,

下列正確的是（）

A.b//（a—b）B.b±（a-b）

C.a在坂方向上的投影是-gD.（a+W±（a-i）

【答案】C

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷BC,根據(jù)向量的投影的定

義判斷C.

由已知J=（2,-百），石=（1,百），

所以萬(wàn)一不=（2，—百）-0，百）=0,一2百），萬(wàn)+B=（2，—6）+（1,6）=（3,0）,

因?yàn)?x（-2我-6x1/0,所以尻萬(wàn)-5不平行，A錯(cuò)，

因?yàn)閘xl+6x卜2百卜0,所以￡不垂直，B錯(cuò),

HI/-7\a-b2x1-JJxJJ1

?方向上的投影為忖c°M"M=W==一

因?yàn)镚在AFW2-C對(duì),

因?yàn)橐?+卜26卜0*0,所以￡+5,萬(wàn)一5不垂直，D錯(cuò),

故選：C.

5.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（理））若向量分滿(mǎn)足同=1,|A|=2,a-（la+3b^=5,則

￡與否的夾角為（）

A兀71-54

AB.一D-T

-%3C?與

【答案】B

八a，b

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到7人再根據(jù)COS6=FE計(jì)算可得;

解：因?yàn)殁?1,問(wèn)=2,a-（2a+3ft）=5,所以27+3￡彳=5,

即2卜『+3a*=5,所以〃.否=1，設(shè)々與B的夾角為。,

八a'b1.】71

則cose=@w=5,因?yàn)橄?0,可，所以6=1；

故選：B

6.(2022?北京?潞河中學(xué)三模)已知菱形45CO的邊長(zhǎng)為則麗?麗=()

33〃323

A.—a2B.—Q2C.—aD.—ci2

2442

【答案】A

將麗，麗分別用或，前表示，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.

解：DB=DA+AB=-'BC-BA,CD=BA,

則麗.函=卜就_網(wǎng)麗=_團(tuán)團(tuán)_麗2=_La2_a2=_|a2

故選：A.

A____________D

7.(2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測(cè))已知向量工=(6,3),否=(1,陽(yáng))，若￡與否反向共

線,則*取I的值為()

A.0B.48C.4行D.3娓

【答案】C

由向量反向共線求得m=Y，再應(yīng)用向量線性運(yùn)算及模長(zhǎng)的表示求.

由題意得加=±百，

又￡與B反向共線，故"?=/，此時(shí)￡-6征=(-26,6),

故*取卜4G.

故選：C.

8.(2022?山東淄博?三模)如圖在A/8C中，48c=90。，/為48中點(diǎn)，CE=3,CB=8,

AB=12,則鋤.麗=()

c

A.-15B.-13C.13D.15

【答案】C

建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出平面向量的數(shù)量積;

解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則*2,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0),

又CE=3，CB=8，AB=12,

貝1加=10,

37

^CE^—FC,BDFE=—FC,

1010

__7___7928

貝|麗=而+5斤=(6,0)+而(-6,8)=

5,T

51_289_28

則而,EB

-5，-T

貝1J甌麗=￡x；9”二13

+1

5

故選：C.

9.(2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》

中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是

重心到垂心距離的一半，該直線被稱(chēng)為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)0,G,〃分別為任意△力8。的

外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

—?1——?——2——?

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

C,心=.+2近D,貳=2的+而

33

【答案】D

根據(jù)三點(diǎn)共線和長(zhǎng)度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出AG,BG,知CD正誤.

?.?0,G,4依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,

_____1______1q

:.OG=-GH,:.OG^-OH,OH=-GH,A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

232

AG=AO+OG=AO+-OH=Ad-^-(AH-Adlc錯(cuò)誤；

33、73

BG=BO+OG=BO+-OH=+=,D正確.

33V>3

故選：D.

10.(2022?江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知方，麗，花均為單位向量，且滿(mǎn)足

1————?ULUUUU

-OA+OB+OC=09則力8ZC的值為()

35719

A.-B.-C.-D.—

8888

【答案】B

通過(guò)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.

4。=2(歷+反)，荏=3礪+2OC,同理％=2礪+3反

AO2^4(OB+OC)2,:.OBOC^-^,ABAC^(3OB+2OC)(2OB+3OC)

-2-----2--------915

=608+6OC+13OSOC=6+6--=-.

88

故選：B.

11.（2022?遼寧沈陽(yáng)?三模）已知橢圓C:f+4V=,〃（加>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳/，點(diǎn)p

是橢圓上一點(diǎn)，若兩?麗的最小值為-1,則西隹的最大值為（）

I1

A.4B.2C.-D.-

42

【答案】D

設(shè)尸（%,%），求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出所?麗，再根據(jù)橢圓的范圍利用二

次函數(shù)求最值即可得解.

設(shè)由C:f+4_/可知4（-2^,0）,6（2^,（））,

二所=（一^^_/，-%），%=（^^一/，一為），

=+x22

PRPF2~~^~?+%2=--^-+^（4x0+m-x0）=-^gm,

t.'—>/m<x0<4m,x0=0,尸耳的最小值為-gw=-l,解得機(jī)=2.

當(dāng)x0=±J最時(shí)，所?西的最大值為|x2-l=g.

故選：D

12.（2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））非零向量癡滿(mǎn)足B+B卜*司=2同，

則3-5與萬(wàn)的夾角為（）

n-71-2乃-5乃

AA."B.—C.――D.——

6336

【答案】B

根據(jù)給定條件，求出"石，再利用向量夾角公式計(jì)算作答.

由歸+,=歸一同得：（Z+初2=0-斤,即1+2；力+?=?-2：.力+力2，解得75=0，

一一一一2一一

因此，cos〈a-1,a〉=（，9）f々_^_b__而〈。一及4〉w[o兀],解得〈。一瓦?！?￡,

\a-b\\a\2\a\223

■jr

所以日一5與萬(wàn)的夾角為

故選：B

13.（2022?浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在A/8C中，E,F分別為ZC,8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線

段4F（不含端點(diǎn)）內(nèi)的任意一點(diǎn)，AD=mAB+nAE>則（）

A.we（0,l）B.ne（0,2）C.n=2mD.m+n=\

【答案】C

根據(jù)向量的線性運(yùn)算的定義和平面向量基本定理確定"?，〃的關(guān)系和范圍.

因?yàn)辄c(diǎn)D是線段NF(不含端點(diǎn))內(nèi)的任意一點(diǎn)，

所以可設(shè)25=2萬(wàn)(0<2<1),

因?yàn)镋,F分別為4c5c的中點(diǎn)，

所以#=存+前=赤+,前酢+，撫」施+衣，

2222

_____2_______?____.________

所以=+,又詬=根泡+〃)Z，

所以機(jī)='e(0,g),n=2e(O,l),n=2m,w+n=1A,

所以A,B,D錯(cuò)誤，C正確，

故選：C.

14.(2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測(cè)(文))已知向量"=(1,0),力=(1,1),向量￡+"與萬(wàn)垂

直，則實(shí)數(shù)4的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

由題得(￡+4)?￡=0化簡(jiǎn)即得解.

因?yàn)椤?4與Q垂直，

所以(〃+4)?Q=0,+而.5=0,

所以l+；lx(l+0)=0,../l=-l.

故選：C.

15.(2022?海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知不共線的平面向量萬(wàn)萬(wàn)忑兩兩所成的角相等，且

|5|=l,|i|=4,|5+fe+c|=V7,則同=()

A.亞B.2C.3D.2或3

【答案】D

先求出。=半，轉(zhuǎn)化B+B+W=J(a+L+1)2=近,列方程即可求出.

2萬(wàn)

由不共線的平面向量5,U，"兩兩所成的角相等，可設(shè)為9,則。=子.設(shè)|)|=m.

因?yàn)橥?i，Wl=4，B+B+W=J7,所以B+B+d=7,

^a2+2a-b+b2+2b-c+2a-c+c2^7，

LLt、I2^T_212_

所以1+2xlx4cos——+4~+2x4xwcos——+2xlx〃？cos——-\-m~=7

333

即“/一5，〃+6=0,解得：陽(yáng)=2或3.

所以I3=2或3

故選：D

16.(2022?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知：=(1,2),力=(2,-1),2=(1"),且入伍

貝口=.

【答案】-3

由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

由題意口+耳=(3,1),又口R+5),貝丘.卜+可=(1㈤.(3,1)=3+2=0,故4=-3.

故答案為：-3.

17.(2022?河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知向量￡石的夾角為1，同=4,1卜3,則

|*=.

【答案】屈

根據(jù),=忖+2a/+忖求解即可.

則忸+5(=時(shí)+2必5+時(shí)=42+2X(-6)+32=13,

則p+坂卜內(nèi).

故答案為：加

18.(2022?安徽?合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知向量|5|=1,向量2=(1,石)，且

|a-&K|=痣，則向量，④的夾角為.

冗

【答案】彳##90°

2

由|。-后|=痣兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)化簡(jiǎn)可求向量萬(wàn)萬(wàn)的夾角

因?yàn)?=(1,JJ),所以同=業(yè)+(.了=2

因?yàn)镮。-而1=痣，

所以求_28拓+2廬=6，又出|=1，

所以4-2^175+2=6,所以萬(wàn)3=0，

向量部的夾角為氏則同?問(wèn)cos”。

TT

所以cos0=0,貝！J0=一.

2

故答案為：—?.

2

19.（2022?陜西?交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））已知在平行四邊形/8CQ中，

DE=^EC：BF=^FC,\AE\=2,|AF\=y/6,則灰.而值為.

9

【答案】一##2.25

4

—?—?1—?

AE=BC+-DC

由向量加法的幾何意義及數(shù)量積運(yùn)算律有就.而=而2_而，再由_:_結(jié)合

AF=DC+-JC

3

數(shù)量積運(yùn)算律，即可得結(jié)果.

由題設(shè)可得如下圖：AC=AD+DC,DB=-DC+CB,而而=-屈，

?_/

DEC

所以就.麗=灰2-而2,

又瓦=；反，而同，麻卜2,|萬(wàn)卜7后,

22

AE=Ab+DE=BC+^DC