微分方程求解第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二求微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解返回第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題一：導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題

2、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題二：慢跑者與狗3、地中海鯊魚問(wèn)題返回?cái)?shù)學(xué)建模實(shí)例第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二微分方程的解析解求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)ToMatlab（ff1）結(jié)果：u=tg(t-c)第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3e-2xsin（5x）ToMatlab（ff2）第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解輸入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%將x化簡(jiǎn)y=simple(y)z=simple(z)結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

ToMatlab（ff3）返回第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。返回第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法。第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2、使用數(shù)值積分對(duì)方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進(jìn)的歐拉法。故有公式：第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí)（k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱它是一個(gè)k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫(kù)塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。返回第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3,絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖ToMatlab（ff4）第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解

1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖ToMatlab（ff5）圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.返回第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一（解析法）第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二由(1),(2)消去t整理得模型:ToMatlab(chase1)軌跡圖見程序chase1第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：

x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')

結(jié)論:導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦ToMatlab(ff6)令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組。第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解)設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t))，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)).3．因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二4.解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下：

functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')ToMatlab(chase2)第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二5.結(jié)果見圖1導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.圖1圖2返回在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21時(shí)，得圖2.結(jié)論：時(shí)刻t=0.21時(shí)，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。ToMatlab(chase2)第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二慢跑者與狗一個(gè)慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻擊他.這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運(yùn)動(dòng)方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時(shí)狗的運(yùn)動(dòng)軌跡.1.模型建立設(shè)時(shí)刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t))，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)).則X=10+20cost,Y=20+15sint,狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題類似，建立狗的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程:第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.模型求解(1)w=20時(shí),建立m-文件eq3.m如下:functiondy=eq3(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq3',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5,2.5,3.5,…,至3.15時(shí),狗剛好追上慢跑者.ToMatlab(chase3)第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二建立m-文件eq4.m如下:functiondy=eq4(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下：t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq4',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=20,40,80,…,可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者.ToMatlab(chase4)(2)w=5時(shí)返回第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二地中海鯊魚問(wèn)題意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？他無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題.第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

該模型反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒(méi)有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型.第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二首先，建立m-文件shier.m如下：functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-