數(shù)學(xué)物理方程第九章第一講1第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三第九章 典型方程與定解問題本章將介紹三大類偏微分方程的來由、偏微分方程定解問題的提法、偏微分方程的簡單分類和線性偏微分方程的簡單性質(zhì)等基本內(nèi)容。2第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1典型方程的建立波動方程的導(dǎo)出設(shè)有一根兩端拉緊的均勻柔軟細弦，其長為L。當(dāng)弦作微小橫振動時，求弦上各點的運動規(guī)律(不妨設(shè)弦的兩端是固定的)。在弦作微小橫振動時所處的平面上建立一個直角坐標(biāo)平面，使得弦的平衡位置處于x軸的區(qū)間[0,L]上，則其所的運動規(guī)律可用一函數(shù)u(x,t)來表示。3第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.1波動方程的導(dǎo)出只作微小橫振動：由牛頓力學(xué)定律：弦作微小橫振動：從而有：由于所以，T=T(x,t)與x,t均無關(guān)4第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.1波動方程的導(dǎo)出所以，應(yīng)該滿足如下偏微分方程：如果在t時刻，x處受一線密度為F(x,t)，方向與u軸平行的外力作用，在弦段微元處的合力為進而有：5第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.1波動方程的導(dǎo)出所以，弦振動過程中的位移函數(shù)滿足稱此方程一維非齊次波動方程，其中稱為非齊次項或自由項，描述強迫振動過程。如果它描述的是弦的自由振動過程：這個方程通常也稱為弦振動方程。6第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.1波動方程的導(dǎo)出用類似的方法可以導(dǎo)出二維波動方程：三維波動方程：此處的或也稱為非齊次項，若

或，則也稱為二維或三維齊次波動方程若記7第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.1波動方程的導(dǎo)出則二維或三維波動方程可統(tǒng)一地記為：同樣可以類似地定義n維波動方程如下：其中8第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出設(shè)某溫度場內(nèi)有熱源，在t時刻，處單位時間單位體積產(chǎn)生的熱量為，求溫度場的溫度函數(shù)滿足的方程。在溫度場中任取一個有界區(qū)域Ω，時間段設(shè)在區(qū)域Ω、給定的時間段內(nèi)，通過Ω的邊界流出Ω外的熱量為，Ω內(nèi)溫度變化所需要的熱量為。熱源所產(chǎn)生的熱量為9第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出則由熱力學(xué)的Fourier實驗定理得：其中n為Ω的邊界的外法線方向。10第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出定理設(shè)空間區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)在Ω上一階連續(xù)可導(dǎo)，則有或其中，是Σ在處的外法向量的方向余弦，以上公式稱為Gauss公式。11第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出由Gauss公式可得：12第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出所以記則也就是13第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出對問題作適當(dāng)簡化，可得二維熱傳導(dǎo)方程：一維熱傳導(dǎo)方程：其中的函數(shù)稱為熱源，相應(yīng)的方程稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程；若則稱相應(yīng)的方程為齊次熱傳導(dǎo)方程。14第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出同一個方程可以描述多個物理現(xiàn)象，例如傳輸線方程組15第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出可得同理16第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.2熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出化簡得電報方程：G=L=0，方程化為高頻傳輸問題：G=R=0，方程化為17第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.4穩(wěn)定問題在熱傳導(dǎo)問題中，在某些條件下，物體的溫度可以達到穩(wěn)定狀態(tài)，此時，溫度函數(shù)和熱源函數(shù)均與時間無關(guān)：從而有：此方程稱為Poisson方程，若則稱為Laplace方程或調(diào)和方程。18第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1.4穩(wěn)定問題用同樣的方法，可以得到二維Poisson方程和二維Laplace方程如下：Poisson方程：Laplace方程：對于二維和三維波動方程，可以考慮其穩(wěn)定問題，同樣可得相應(yīng)維數(shù)的Poisson方程和Laplace方程。19第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.1典型方程的建立三類典型方程：波動方程熱傳導(dǎo)方程Poisson方程20第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2 定解條件與定解問題三類方程如果有解，則其解應(yīng)該不唯一。在這眾多的解中確定出所需要的解，還需要增加另外的條件，即定解條件，使之成為定解問題，在此條件下，再來討論適定性，即存在性、唯一性和穩(wěn)定性。21第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1 有界弦振動的定解條件對于弦振動方程弦的初始狀態(tài)，也就是初始位移和初始速度，對弦的振動過程應(yīng)該有重要影響，必須給予考慮：對于有界弦振動，其端點的運動規(guī)律也必須考慮，也就是：考慮其端點條件或邊界條件。22第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1有界弦振動的定解條件對于有界弦振動而言，其界條件有如下三種：(1)給定端點的運動規(guī)律：如果端點固定：這樣的邊界條件稱為第一類邊界條件。則稱為第一類齊次邊界條件。23第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1有界弦振動的定解條件(2)作用在端點的外力在u軸方向上的分量

已知：這樣的邊界條件稱為第二類邊界條件。同樣可得第二類齊次邊界條件：24第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1有界弦振動的定解條件(3)端點的彈性支撐弦在處固定在彈簧上，彈簧另一端固定，彈簧的彈性系數(shù)為k，則彈簧的張力應(yīng)與弦的彈性恢復(fù)力平衡：如果彈簧的另一端不是固定，而是按某一規(guī)律運動，以上的平衡條件應(yīng)為25第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1 有界弦振動的定解條件對于弦的左端點也可以作類似的討論，得到的結(jié)論為：或(2.7)或(2.9)稱為第三類邊界條件，(2.6)

或(2.8)稱為第三類齊次邊界條件。26第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1 有界弦振動的定解條件第三類邊界條件可統(tǒng)一記成有界弦振動方程加上初始條件和兩個端點各加一個邊界條件后可構(gòu)成一個定解問題。兩個端點的邊界條件可以是這三類邊界條件之一，它們的類型可以互不相同。這樣的定解問題稱為有界弦振動方程的初邊值問題。例如，如下便是一個完整的初邊值問題：27第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.1 有界弦振動的定解條件對于空間區(qū)域為有限區(qū)域的二維三維波動方程，同樣有三類邊界條件，也可以構(gòu)成二維三維甚至更高維的波動方程的初邊值問題。28第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.2 三維熱傳導(dǎo)方程定解條件對于熱傳導(dǎo)問題，我們也可以提初邊值，其邊界條件也可分為第一、第二、第三類邊界條件，而且還有明確的物理意義。設(shè)區(qū)域Ω的邊界為Г,Ω內(nèi)的溫度函數(shù)滿足熱傳導(dǎo)方程顯然，初始時刻的溫度對隨后的溫度變化有明顯影響，因此需要知道溫度的初始分布：29第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.2三維熱傳導(dǎo)方程定解條件邊界條件的提法：(1)邊界上的溫度變化規(guī)律已知：這樣的邊界條件稱為第一類邊界條件(2)第二類邊界條件：在點處單位時

間單位面積流出曲面Г的熱量為30第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.2三維熱傳導(dǎo)方程定解條件(3)不同介質(zhì)之間的熱傳遞：第三邊界條件設(shè)Ω的邊界Г的另一邊是另一種介質(zhì)，與Г接觸的溫度是牛頓定律：通過Г上的面積元dσ,從一種介質(zhì)流到另一種介質(zhì)的熱量與兩介質(zhì)的溫度差成正比，與成正比：31第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.2三維熱傳導(dǎo)方程定解條件通過Ω的邊界Г流出Ω的熱量服從Fourier實驗定律：32第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.2三維熱傳導(dǎo)方程定解條件三類邊界條件的統(tǒng)一形式：其中g(shù)為已知函數(shù)。第一邊界條件：第二邊界條件：第三邊界條件：33第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.3定解問題如果空間變量的取值范圍的邊界是空集，則此時只需考慮初值問題，也稱Cauchy問題，例如，如下三維波動方程初值問題：二維熱傳導(dǎo)方程初值問題：34第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.3 定解問題如果空間變量的取值范圍的邊界集非空，則需在初值條件和邊值條件下求解微分方程，稱為初邊值問題或混合問題；例如：如下第一類邊界條件混合問題：35第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.3定解問題對于描述穩(wěn)定現(xiàn)象的微分方程，由于與時間無關(guān)，自然無法提初值條件，只能邊值條件，例如：第一邊值問題第二邊值問題第三邊值問題36第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.2.4定解問題的適定性對于定解問題，有這樣的一些問題需要研究：(1)解的存在性：解是否存在，根據(jù)實際意

義，解應(yīng)該存在是一回事，數(shù)學(xué)上嚴格

證明其解一定存在是另一回事。(2)若解存在，有多少個解？是否唯一？這

是唯一性問題。(3)定解條件有微小誤差時，其解函數(shù)是否

也有微小誤差？這是穩(wěn)定性問題。37第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3線性方程與迭加原理9.3.1偏微分方程的一般名稱偏微分方程：含有(一個或多個)多元未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的式子(一個或多個)，稱為偏微數(shù)方程。其一般形式為或38第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3.1方程的一般名稱方程的階數(shù)：偏微分方程中含未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程的階數(shù)。例如：線性方程(線性方程組)：如果一個偏微分方程或方程組對所有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都是一次的，則其為線性方程或線性方程組。否則稱為非線性方程或非線性方程組。39第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3.1方程的一般名稱擬線性方程：一個偏微分方程，如果只對未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是一次的，則稱為擬線性方程。半線性偏微分方程：如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，但對于低階偏導(dǎo)數(shù)是非線性的，這種方程稱為半線性偏微分方程。40第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3.1方程的一般名稱例：如果則此偏微分方程是擬線性偏微分方程。如果則此偏微分方程是半線性偏微分方程。方程的解：如果將一個函數(shù)代替方程中的未知函數(shù)，能使方程變成恒等式，則稱這個函數(shù)為方程的一個解。41第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3.2 線性方程的疊加原理以n個變元的二階偏微分方程為例：二階線性偏微分算子其中是自變量，是的函數(shù)二階線性偏微分方程42第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三9.3.2線性方程的疊加原理線性偏微分算子的線性性質(zhì)：線性偏微分方程的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)滿足線性方程(為已知函數(shù))設(shè)則43第四十三頁，共四十五頁，編輯于2023年