數(shù)學(xué)物理方法第一章復(fù)變函數(shù)wuxia@第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@課程內(nèi)容復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分冪級(jí)數(shù)展開留數(shù)定理傅立葉變換拉普拉斯變換數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理定解問題分離變數(shù)法二階常微分方法解法本征值問題球函數(shù)(柱函數(shù))積分變換法第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@課程考核作業(yè)，出勤20%期中20%期末60%第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@學(xué)習(xí)要求保證出勤課后復(fù)習(xí)按時(shí)按量完成作業(yè)有問題及時(shí)問共同探討，共同提高第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第一篇復(fù)變函數(shù)論第一章復(fù)變函數(shù)第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@1、1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算（一）復(fù)數(shù)的基本概念α=a+ib實(shí)部Reα虛部Imα復(fù)數(shù)平面內(nèi)用矢量表示復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示：(r,θ)模輻角第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@復(fù)數(shù)的三角式：α=r(cosθ+sinθ)復(fù)數(shù)的指數(shù)式：α=re

iθ注意：1、輻角值不能唯一確定，可以取無窮多值，彼此相差2π的整數(shù)倍。以argα表示其主值，也稱為主輻角。θ=Argα=argα+2kπ第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@2、復(fù)數(shù)零，即實(shí)部、虛部都等于零的復(fù)數(shù)，其輻角無意義。共軛復(fù)數(shù)α*=a-ib=r(cosθ-isinθ)=re–iθ互為共軛的復(fù)數(shù)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@(二)無限遠(yuǎn)點(diǎn)在復(fù)變函數(shù)論中，將模為無限大的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)到復(fù)平面上的一點(diǎn)，稱為無限遠(yuǎn)點(diǎn)。∞對(duì)應(yīng)N極點(diǎn)模無限大輻角無明確意義第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@（三）復(fù)數(shù)的運(yùn)算交換律、結(jié)合律與分配律都成立第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@采用三角式或指數(shù)式更有利于乘、除、乘方和開方第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@注意：1、|z|2與z2的區(qū)別。前者是模r的平方。zz*=|z|2后者是z的自乘。2、關(guān)于復(fù)數(shù)的研究可以轉(zhuǎn)化為一對(duì)實(shí)數(shù)（實(shí)部、虛部）的研究。例如：z=x+iy逼近常數(shù)z0=x0+iy0,即z逼近z0?？蓺w結(jié)為x逼近x0，y逼近y0。第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@1、2復(fù)變函數(shù)（一）復(fù)變函數(shù)的定義在復(fù)平面上存在一個(gè)點(diǎn)集E，對(duì)于E中每一點(diǎn)，按照一定規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值ω與之對(duì)應(yīng)，則稱ω為z的函數(shù)----復(fù)變函數(shù)。z為ω的宗量，定義域?yàn)镋。記作：ω=f(z),z∈E第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@（二）區(qū)域的概念滿足一定條件的點(diǎn)集，稱為區(qū)域，記作B。鄰域：以復(fù)數(shù)z0為圓點(diǎn)，以任意小正實(shí)數(shù)ε作半徑劃一個(gè)圓，則圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域。內(nèi)點(diǎn)：若z0及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，則稱z0為該點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。外點(diǎn)：若z0及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，則稱z0為該點(diǎn)集的外點(diǎn)。第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@境界點(diǎn)（邊界點(diǎn)）：若z0的每個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，則z0稱為E的境界點(diǎn)。既不是內(nèi)點(diǎn)，也不是外點(diǎn)。境界點(diǎn)的全體成為境界線。直觀地說，區(qū)域就是宗量z在復(fù)數(shù)平面的取值范圍。嚴(yán)格地說，區(qū)域是指滿足下列兩個(gè)條件的點(diǎn)集：（1）全由內(nèi)點(diǎn)組成；（2）具有連通點(diǎn)，即點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)都可用一條折線連接起來，且折線上的點(diǎn)都屬于該點(diǎn)集。第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@閉區(qū)域：區(qū)域B及其境界線所組成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域。注意：區(qū)域可以是各種各樣的。比如，圓形域|z-z0|<r,z0為圓心，r為半徑。環(huán)形域a<|z-z0|<b,a為內(nèi)半徑，z0為環(huán)心，b為外半徑?！鼙硎鹃]圓域，閉環(huán)域圓形域|z|<rr閉圓域|z|≤r環(huán)形域a<|z|<bab閉環(huán)域a≤|z|≤b第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@（三）復(fù)變函數(shù)舉例第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@初等函數(shù)定義式：第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@注意：1、sinz和cosz具有實(shí)周期2π，即：sin(z+2π)=sinz,cos(z+2π)=cosz在實(shí)數(shù)域內(nèi)，|sinx|≤1，|cosx|≤1。第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@但在復(fù)數(shù)域內(nèi)，第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@2、ez,shz和chz具有純虛數(shù)周期2πi，即3、由于Argz不能唯一確定，可以加減2kπ,則對(duì)于給定z，對(duì)數(shù)lnz=ln|z|+iArgz有無限多個(gè)值。實(shí)數(shù)域中，負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)無意義，但在復(fù)數(shù)域中，當(dāng)z為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)變函數(shù)lnz仍有意義，即lnz=ln(|z|eiπ+i2πn)=ln|z|+i(2n+1)π第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@把復(fù)變函數(shù)f(z)的實(shí)部和虛部分別記為u(x,y)和v(x,y),即f(z)=u(x,y)+iv(x,y),則復(fù)變函數(shù)可歸結(jié)為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)。因此，實(shí)變函數(shù)中的許多公式、定理都可以移植到復(fù)變函數(shù)中。例如，f(z)在z0=x0+iy0的連續(xù)定義為：當(dāng)z-〉z(mì)0時(shí)，f(z)->f(z0)可歸結(jié)為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)連續(xù)，即當(dāng)x->x0,y->y0時(shí)，u(x,y)->u(x0,y0),v(x,y)->v(x0,y0)第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@1、3導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)ω=f(z)是在區(qū)域B上定義的單值函數(shù)，即對(duì)于B上每一個(gè)z值，有且只有一個(gè)ω與之對(duì)應(yīng)。若在B上的某點(diǎn)z，極限則稱函數(shù)ω=f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，此極限稱為f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，以f’(z)或df/dz表示。復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，在形式上與實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣，因此，實(shí)變函數(shù)論中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式可以用于復(fù)變函數(shù)中。第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@必須指出的是，復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，雖然形式上一樣，但是實(shí)質(zhì)上卻有很大不同。因?yàn)閷?shí)變數(shù)Δx只能沿實(shí)軸逼近零，復(fù)變數(shù)Δz卻可以沿復(fù)數(shù)平面上任一曲線逼近零。因此，復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)是更嚴(yán)格的要求。第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@Δz沿平行于實(shí)軸方向逼近零，則Δy=0,Δz=Δx->0，于是：Δz沿平行于虛軸方向逼近零，則Δx=0,Δz=Δy->0，于是：第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@如果f(z)在點(diǎn)z可導(dǎo)，則以上兩個(gè)極限必須存在且彼此相等，即稱為柯西-黎曼方程（條件），C-R條件，是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件。注意：C-R條件只能保證Δz沿實(shí)軸逼近零或沿虛軸逼近零時(shí)，Δf

/Δz逼近同一極限，并不能保證Δz沿任意曲線逼近零時(shí)，Δf

/Δz逼近同一極限，因此，C-R條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件。第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@函數(shù)f(z)可導(dǎo)的充分必要條件：f(z)的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，并滿足C-R條件。第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@這一極限與Δz-〉0的方式無關(guān)，且為有限值。第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)比實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)更嚴(yán)格，具體表現(xiàn)之一就是，函數(shù)的實(shí)部和虛部通過柯西-黎曼條件約束。極坐標(biāo)中的柯西-黎曼方程：作業(yè)：從直角坐標(biāo)系中的C-R方程，推導(dǎo)極坐標(biāo)中的C-R方程。第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@1、4解析函數(shù)若函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo)，則f(z)在z0點(diǎn)解析。若f(z)在區(qū)域B上每點(diǎn)都解析，則f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)。可見，函數(shù)在某一點(diǎn)解析，則必該點(diǎn)可導(dǎo)。反之不成立！例如，f(z)=|z|2僅在z=0點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他各點(diǎn)均不可導(dǎo)。第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@表明函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)與解析是不等價(jià)的。但是，函數(shù)若在某一區(qū)域B上解析，則在B上處處可導(dǎo)。即，函數(shù)在某一區(qū)域上可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@解析函數(shù)的主要性質(zhì)：1、若f(z)=u+iv在B上解析，則u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1,C2為常數(shù))是B上兩組正交曲線族。第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@例如：第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@2、若f(z)=u+iv在B上解析，則u，v均為B上的調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)是指，如果某函數(shù)H(x,y)在B上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程，則稱H(x,y)為B上的調(diào)和函數(shù)。后面將證明，某區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么u，v的二階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù)。第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@假設(shè)給定的二元調(diào)和函數(shù)的實(shí)部為u(x,y)，試求相應(yīng)的虛部v(x,y)。可分別利用三種方法計(jì)算：（1）曲線積分法；（2）湊全微分顯式法；（3）不定積分法第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@yx0(x,0)(x,y)第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@1、5平面標(biāo)量場物理或工程技術(shù)上經(jīng)常要研究各種場，如電磁場、溫度場。通常，這些場可能會(huì)隨時(shí)間、空間發(fā)生變化。若與時(shí)間無關(guān)，則稱為恒定場，如靜電場。若研究的場在空間某方向上是均勻的，則只需要在垂直該方向的平面上進(jìn)行研究，這樣的場成為平面場。平面是指，x,y變化則場值變化，與z無關(guān)，從三維變?yōu)槎S。標(biāo)量，即不是矢量，無方向問題。第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期三wuxia@首先來看平面靜電場，在沒有電荷的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電勢(shì)滿足二維拉普拉斯方程。那么可以用某一個(gè)解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+v(x,y)的實(shí)部或虛部表示該區(qū)域上的靜電場電勢(shì)。解析函數(shù)f(z)稱為該平面靜電場的復(fù)勢(shì)。因?yàn)樗膶?shí)部或虛部就是電勢(shì)。設(shè)u(x,y)表示電勢(shì)，那么u(x,y)=常數(shù)為等勢(shì)線族。因?yàn)関(x,y)=常數(shù)與u(x,y)=常數(shù)垂直，那么v