無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三眾所周知，有限性動(dòng)力系統(tǒng)的研究至少已有三十多年的歷史，至今已取得了許多重要的成果。但是，動(dòng)力系統(tǒng)的問(wèn)題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于有限維的情形，流體力學(xué)中的湍流問(wèn)題，就是一個(gè)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的問(wèn)題，著名的Benard對(duì)流問(wèn)題，它是由Newton-Boussinesq非線(xiàn)性偏微分方程組來(lái)描述的，它也是研究湍流的典型問(wèn)題，如果對(duì)它的未知函數(shù)作富氏展開(kāi)，在保留三個(gè)運(yùn)動(dòng)模式的近似下，則得到常微分方程中描寫(xiě)混沌現(xiàn)象的典型方程-Lorentz模型，因此，有限維動(dòng)力系統(tǒng)可以看成無(wú)窮動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)近似。從物理力學(xué)實(shí)際問(wèn)題來(lái)看，許多重要?jiǎng)恿ο到y(tǒng)的問(wèn)題是無(wú)窮維的,它是用偏微分方程描述的，但從問(wèn)題的研究過(guò)程來(lái)看，一般是先從簡(jiǎn)單的有限維的常微分方程動(dòng)力系統(tǒng)開(kāi)始，而無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)則是有限維動(dòng)力系統(tǒng)研究的必然發(fā)展和深入，即：把時(shí)空混沌問(wèn)題簡(jiǎn)化為時(shí)間混沌，再由時(shí)間混沌問(wèn)題發(fā)展成時(shí)空混沌問(wèn)題。1.引言第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三最近，物理上已展現(xiàn)一大批具有孤立子的非線(xiàn)性發(fā)展方程，例如KdV方程，非線(xiàn)性Schrodinger方程，Zakharov方程,Sine-Gordon方程等，在一定的耗散作用下，從孤立子狀態(tài)演化為混沌現(xiàn)象(它們屬于不可積系統(tǒng))，也有某些Hamilton保守系統(tǒng)問(wèn)題通過(guò)不同途徑達(dá)到混沌狀態(tài)，這些都說(shuō)明對(duì)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究已勢(shì)在必行，但它和有限維動(dòng)力系統(tǒng)又有著直接的非常復(fù)雜的聯(lián)系。無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)具有某些新的重要特征。首先在空間上存在混沌現(xiàn)象，即在空間某個(gè)區(qū)域產(chǎn)生混沌湍流，而在另一些區(qū)域則不出現(xiàn)。例如下面我們將要舉出的繞流問(wèn)題，就是一個(gè)典型的例子，而有限維動(dòng)力系統(tǒng)僅研究時(shí)間上的混沌現(xiàn)象。1.引言第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三其次，在空間的某個(gè)部分可能產(chǎn)生奇性集，例如在三維空間的不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)中，速度向量的旋度可能在區(qū)域的某個(gè)部分變成無(wú)窮大，著名數(shù)學(xué)家J.Leray在1932年就預(yù)言此時(shí)將產(chǎn)生湍流，因此，對(duì)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究，可能為湍流的研究開(kāi)辟一條新的道路，從數(shù)學(xué)上來(lái)看，在對(duì)原來(lái)有限維動(dòng)系統(tǒng)S.Smale,J.Moser，Melnihov等人的研究工作基礎(chǔ)上，B.Mandelbrot在1997年提出了分形集的概念，O.A.Ladyzhenskaya,M.I.Vishik,P.Cesnstantin,C.Folas,B.Nicolaenko,R.Temam，J.K.Hale等人已對(duì)某些具有耗散效應(yīng)的非線(xiàn)性發(fā)展方程的整體吸引子、慣性流形，近似慣性流形，指數(shù)吸引子等的存在性，它們的Hansdortf維數(shù)、Fractal維數(shù)的上下界估計(jì)，吸引子的某些動(dòng)點(diǎn)結(jié)構(gòu)和數(shù)值方法，非線(xiàn)性Galechin方法，慣性集等問(wèn)題進(jìn)行了多方面深入的研究，取得一系列重要的成果，同時(shí)，也舉出了一些不存在整體吸引子和慣性流形的例子。1.引言第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三從數(shù)學(xué)上看，從20世紀(jì)70年代末至20世紀(jì)90年代中期，對(duì)于耗散系統(tǒng)，無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)已建立了重要的數(shù)學(xué)理論，提出了理論研究和數(shù)值計(jì)算的方法，并促進(jìn)了泛函分析、分形理論，不變流形、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓樸學(xué)等數(shù)學(xué)分類(lèi)的發(fā)展和應(yīng)用，此段時(shí)間形成了一個(gè)研究無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的熱潮，但從20世紀(jì)中期至21世紀(jì)初期，由于存在許多更為深入和重要問(wèn)題得不到解決，研究處于遲緩發(fā)展的狀態(tài)，主要問(wèn)題是：(i)整體吸引子的口袋太大，它所包含不動(dòng)點(diǎn)(可能多個(gè))周期解、擬周期解、奇異吸引子等，如何將它們充分地加以分類(lèi)，研究其不同的拓樸結(jié)構(gòu)特征，遇到很大的困難，慣性流形存在的充分條件也過(guò)于苛刻等。(ii)對(duì)于保守系統(tǒng)的混沌數(shù)學(xué)理論的發(fā)展目前基本處于空白狀態(tài)。(iii)它和有限維動(dòng)力系統(tǒng)的相互聯(lián)系的細(xì)致分析非常欠缺。1.引言第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三不過(guò)在這階段也有某些數(shù)學(xué)物理學(xué)家為了克服這些困難進(jìn)行了長(zhǎng)期艱苦的努力，拋棄了已有的理論框架，采取新的研究方法，最近已取得了可喜的成果，主要表現(xiàn)在：(1)近可積無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究，即在完全可積系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，考慮小的耗散擾動(dòng)下吸引子的拓樸結(jié)構(gòu)，現(xiàn)對(duì)一類(lèi)小擾動(dòng)下的非線(xiàn)性Schrodinger方程等已證明同宿軌道的不變性，并在空間離散的情況下，證明嚴(yán)格Smale馬蹄的存在性，并由此提供了一種研究保守系統(tǒng)走向混沌的研究方法，(2)已用Bourgain方法，對(duì)于具低正則性的初始條件具耗散的非線(xiàn)性發(fā)展方程證明了整體吸引子的存在性，大大地改善了原有結(jié)果。(3)對(duì)于一類(lèi)非線(xiàn)性?huà)佄镄头匠蹋ńM）證明了在整體吸引子上存在某一閉子集拓樸共扼于有限維的符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)，即真正時(shí)空混沌的存在性。1.引言第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三(4)無(wú)窮維半離散系統(tǒng)建立了相應(yīng)的無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)理論，它有利于和有限維動(dòng)力系統(tǒng)建立聯(lián)系。(5)隨機(jī)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)，即在原動(dòng)力系統(tǒng)加上隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，包括Burgers方程，天氣預(yù)報(bào)方程等已作出了初步的成果。以上可以看出，無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的研究目前正處在新的發(fā)展階段，發(fā)展的道路是曲折的，但前途是光明的。以下我們對(duì)無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)作一簡(jiǎn)要介紹?？紤]微分方程1.引言第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三的解并關(guān)心當(dāng)時(shí)u(t)的漸近行為，其中未知函數(shù)u=u(t)屬于線(xiàn)性空間H（通稱(chēng)相空間），F(xiàn)(u)把H映射到自身有兩種情況需要考慮：雖然這兩種情形有許多共同點(diǎn)，但它們依然存在某些重大的差別，當(dāng)然，我們可以把有限維動(dòng)力系統(tǒng)看成無(wú)限維動(dòng)力系統(tǒng)若干模態(tài)的近似。在一般情況下，在(1)中F依賴(lài)于某個(gè)參數(shù),即當(dāng)時(shí)，物理現(xiàn)象和狀態(tài)是隨著參數(shù)的變化而變化的。我們作如下描述：1.引言第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三下面舉兩個(gè)物理中的實(shí)際例子，來(lái)說(shuō)明無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)所發(fā)生的現(xiàn)象。1.引言第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.引言第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子以下簡(jiǎn)要介紹無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)一個(gè)非常重要的概念——整體吸引子。第十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中的整體吸引子第三十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2.無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)中