微分幾何第一節(jié)第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二一、教學(xué)要求48學(xué)時(shí)，共3學(xué)分，教學(xué)周2~13周，15周考試。成績(jī)認(rèn)定：平時(shí)成績(jī)50%，期末試卷50%。期末考試，閉卷，考核基本知識(shí)和基本技能90%~95%，其他10%~5%。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二考勤占總評(píng)成績(jī)的3%即3分：簽名考勤表，要與班上學(xué)委或信息員記載信息一致或者測(cè)驗(yàn)時(shí)，收作業(yè)時(shí)，或者點(diǎn)名時(shí)候都可以作為考勤記錄；作業(yè)等占總評(píng)成績(jī)24%，即24分::合計(jì)10節(jié),少1節(jié)扣2分.作業(yè)：抄襲、字跡不清楚、題量沒有按規(guī)定去完成酌情扣分。對(duì)于題目做的正確還是錯(cuò)誤屬于正?，F(xiàn)象不扣分。第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二隨堂測(cè)驗(yàn)占總評(píng)成績(jī)的15%，即15分，至少3次.課堂5分鐘分組報(bào)告占總評(píng)成績(jī)的3%，即3分：由學(xué)委或指定學(xué)生負(fù)責(zé)分組，上報(bào)名單。各組長(zhǎng)把握好時(shí)間和內(nèi)容。在每次課的第2小節(jié)開始5分鐘進(jìn)行。由現(xiàn)場(chǎng)匿名打分，取平均分，交由任課老師。隨堂提問或課堂討論或做題告占總評(píng)成績(jī)的5%，即5分；沒有叫到的不扣分。第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二使用教材微分幾何配套習(xí)題集梅向明編著第四版微分幾何講義作者：丘成桐，孫理察

出版社：高等教育出版社

出版日期：2004-12

ISBN：9787040161427

版次：1頁數(shù)：478字?jǐn)?shù)：490開本：16開

包裝：平裝第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容簡(jiǎn)介本書是在作者一系列演講的講稿基礎(chǔ)上整理而成的，已成為整體微分幾何方面的一本經(jīng)典著作。它以拓?fù)?、代?shù)幾何為基礎(chǔ)，以分析為主要工具，論述了幾何學(xué)中的某些線性和非線性問題。本書內(nèi)容包括：比較定理與梯度估計(jì)、負(fù)曲率流形上的調(diào)和函數(shù)、Reimann流形上的特征值問題、ReImann流形上的熱核、純量曲率的共形形變、局部共形平坦流形等。書中還包括了丘成桐教授撰寫的幾何中的非線性分析、幾何中未解決的問題、幾何學(xué)未來的發(fā)展、幾何與分析回顧、復(fù)幾何的歷史及前景等綜合性論述與演講辭，宏觀和精辟地描述了幾何學(xué)中的重要問題，展示了該學(xué)科的歷史和未來發(fā)展前景。本書可供高等院校數(shù)學(xué)系高年級(jí)學(xué)生、研究生作教學(xué)用書，也可供現(xiàn)代幾何和分析方面的教師及研究人員參考。第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二課程介紹微分幾何歷史簡(jiǎn)介

微分幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它滲透到各數(shù)學(xué)分支和理論物理等學(xué)科，成為推動(dòng)這些理論發(fā)展的一項(xiàng)重要工具。經(jīng)典的微分幾何研究三維歐氏空間的曲線和曲面在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)，在微積分發(fā)明的同時(shí)，就開始了平面曲線微分幾何的研究，而第一個(gè)作出重要貢獻(xiàn)的是Euler(1707~1783).他在1736年引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)，即曲線弧長(zhǎng)這一概念，從而開始了內(nèi)在幾何的研究。將曲率描述為某一特殊角的變化率也是Euler的工作。他在曲面論方面也有重要貢獻(xiàn)，特別值得一提的是他在測(cè)地線方面的一些工作，最早把測(cè)地線描述為某些微分方程組的解。第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二

又在物理問題的推動(dòng)下，1736年他證明了：在無外力作用的情況下，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)如約束在一曲面上運(yùn)動(dòng)，它必定是沿測(cè)地線運(yùn)動(dòng)。另一個(gè)歷史人物是G.Monge(1746~1818)，在筑城壘這個(gè)實(shí)際問題的推動(dòng)下，他1771年開始寫了關(guān)于空間曲線論的論文，發(fā)表于1785年，他用的是幾何方法，并反映了他對(duì)偏微分方程的興趣。Monge寫了第一本微分幾何課本，1807年出版，這課本共印了五版，一直發(fā)行到Monge逝世后三十年，足見該書在當(dāng)時(shí)的重要作用。

F.Frenet(1816~1868)與J.Serret(1819~1885)分別于1847年和1851年獨(dú)立地得出現(xiàn)在通稱的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空間曲線論才最后統(tǒng)一起來。第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二

G.F.Gauss（1777~1855）的貢獻(xiàn)見于1827年他的“彎曲曲面的一般研究”一文。他在微分幾何方面的重要貢獻(xiàn)，不僅在于他證明了許多驚人的新結(jié)果，更重要的是他致力于微分幾何全新的探討，具有非凡的洞察力，抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容。在微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年歷史之久，Gauss建立了由第一基本形式所決定的曲面的內(nèi)在幾何，這是有深遠(yuǎn)的意義的。Gauss的內(nèi)在幾何以驚人的步伐將微分幾何向前推進(jìn)，但那時(shí)并未被人們所認(rèn)識(shí)。直到R.Riemann（1826~1866）才進(jìn)一步發(fā)展了Gauss的內(nèi)在幾何學(xué)，1854年他在哥丁根大學(xué)就職演講中深刻地揭示了空間與幾何兩者之間的差別。Riemann將曲面本身看成一個(gè)獨(dú)立的幾何實(shí)體，而不是僅僅把它看作歐氏空間中的一個(gè)幾何實(shí)體，從而他認(rèn)識(shí)到二次

第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二

微分形式（現(xiàn)稱為黎曼測(cè)度）是加到流形上去的一個(gè)結(jié)構(gòu)，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼測(cè)度。Riemann意識(shí)到這件事是非凡的重要，把誘導(dǎo)測(cè)度與外加的黎曼測(cè)度兩者區(qū)分開來，從而開創(chuàng)了黎曼幾何，作出了杰出的貢獻(xiàn)。其后，Levi-Civita等人進(jìn)一步豐富了經(jīng)典的黎曼幾何。二十世紀(jì)二、三十年代E.Cartan開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法，建立起李群與微分幾何之間的聯(lián)系，從而為微分幾何的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)且開辟了廣闊的園地，影響極為深遠(yuǎn)。從局部微分幾何到黎曼幾何、微分流形與纖維從理論的發(fā)展過程可以看到，除了微分幾何本身研究中所產(chǎn)生的研究問題外，其他數(shù)學(xué)學(xué)科及物理學(xué)、力學(xué)等也推動(dòng)了微分幾何的發(fā)展。我們特別在這里強(qiáng)調(diào)一下理論物理與微分幾何的相互影響，黎曼幾何與廣義相對(duì)論的第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二相互推進(jìn)，既發(fā)展了引力理論，也促使微分幾何本身進(jìn)一步發(fā)展。近年來，整體黎曼流形的研究也被用到引力理論的研究中去。隨著高能物理學(xué)的發(fā)展，規(guī)范場(chǎng)的重要性日益顯著，纖維叢幾何是規(guī)范場(chǎng)研究的一項(xiàng)有力的數(shù)學(xué)工具，微分幾何中一些深入的內(nèi)容如陳省身示性類、Atiyah—Singer指標(biāo)定理等都在研究中起了突出的作用?？傊?，微分幾何在理論物理中的作用愈來愈顯示出其重要意義，這是一個(gè)值得注意的動(dòng)向，它進(jìn)一步推進(jìn)微分幾何的向前發(fā)展。

第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二有個(gè)這樣的比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對(duì)照，那么一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會(huì)中沒有穿衣服，是裸體的；然后笛卡兒把坐標(biāo)的概念加入了“赤裸”的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣“奇裝異服”式的換坐標(biāo)，但是沒有關(guān)系，愛因斯坦花了七年的時(shí)間，才終于接受坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)換的概念，而能從狹義相對(duì)論進(jìn)展到廣義相對(duì)論?？臻g中有不同的坐標(biāo)系，那么麻煩就來了，因?yàn)閹缀蔚男再|(zhì)是和坐標(biāo)系的選取有關(guān)，不過不要緊，只要能控制坐標(biāo)變換的性質(zhì)，使在變換前即有的性質(zhì)，經(jīng)過變換之后仍為我們所控制，那么換坐標(biāo)就沒關(guān)系了，這也正是近代幾何學(xué)比較困難的地方。第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二隨著拓樸學(xué)(topology)的發(fā)展，纖維叢(vectorbundles)，示性類（CharacteristicClass）等新概念的出現(xiàn)，微分幾何又得到了迅猛發(fā)展，到了整體微分幾何的時(shí)代。這期間，我國著名數(shù)學(xué)家陳省身先生的工作可以說是具有劃時(shí)代的意義。直到今天，微分幾何的進(jìn)展依然離不開這些新興數(shù)學(xué)概念的拓展與應(yīng)用。第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二在現(xiàn)代物理（從量子力學(xué)到量子場(chǎng)論與量子統(tǒng)計(jì)）中。物理體系整體大范圍性質(zhì)愈演愈突出，局域性質(zhì)也往往與整體性質(zhì)有關(guān)，受整體性質(zhì)的約束，近年來。量子場(chǎng)論由定域局部微擾向整體大范圍非線性深入發(fā)展，使得微分幾何這一數(shù)學(xué)武器愈來愈重要。微分幾何中聯(lián)絡(luò)、曲率、示性類等概念滲透到現(xiàn)代理論物理的各方面，而不是只限于引力理論，電磁規(guī)范理論、及其推廣Yang-Mills場(chǎng)論。現(xiàn)代物理學(xué)家需要利用微分幾何，尤其是大范圍微分幾何的成就來推動(dòng)物理學(xué)的發(fā)展，大范圍微分幾何中一些成就，例如Atiyah-Singer指標(biāo)定理，將場(chǎng)論的解析性質(zhì)與場(chǎng)位型的拓?fù)湫再|(zhì)聯(lián)系起來，在現(xiàn)代量子場(chǎng)論與量子統(tǒng)計(jì)中得到重要應(yīng)用，各方面各種物理模型，例如超對(duì)稱場(chǎng)論模型也驗(yàn)證了Atiyah-Singer指標(biāo)定理的正確性。這些都說明現(xiàn)代物理學(xué)與現(xiàn)代微分幾何學(xué)的緊密關(guān)系。

第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二微分幾何未來的發(fā)展，引用當(dāng)代微分幾何大師陳省身先生的一段話作為這個(gè)問題的回答他說：“講到微分幾何的未來，當(dāng)然預(yù)測(cè)是很困難的。19世紀(jì)的深刻的結(jié)果多半是單元的。本世紀(jì)內(nèi)高維流形的發(fā)展史是輝煌的。但整個(gè)寶藏發(fā)掘還未十一，可以發(fā)展的方向多不勝數(shù)。數(shù)學(xué)的前途無量是可以預(yù)卜的?！钡谑屙摚捕唔?，編輯于2023年，星期二課程的主要內(nèi)容

本課程主要講授三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的局部理論，（1）曲線論。包括曲線的弧長(zhǎng)，曲線的曲率和Frenet標(biāo)架，撓率與Frenet公式，曲線論基本定理，曲線在一點(diǎn)處的標(biāo)準(zhǔn)展開，平面曲線。（2）曲面論。包括切平面與法線，曲面的第一基本形式，曲面上正交參數(shù)網(wǎng)的存在性，保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，保角對(duì)應(yīng)，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射與Weingarten映射，主曲率和主方向的計(jì)算，Dupin標(biāo)形和曲面在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開，某些特殊曲面，曲面論基本定理。（3）曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何，包括測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?，測(cè)地線，測(cè)地坐標(biāo)系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。

第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二課程的教學(xué)目的和要求微分幾何是用微積分和線性代數(shù)的方法研究空間曲線和曲面的形狀，找出決定曲線和曲面形狀的不變量系統(tǒng)。微分幾何課程是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課。通過這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握這門課程的基本概念、基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用微積分和線性代數(shù)處理幾何問題的能力，培養(yǎng)幾何直觀和圖形想象能力，從具體到抽象的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代微分幾何打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二幾所高校開設(shè)微分幾何課程情況見WORD文檔等。第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二作者：孟雅琴

出版社：上海交通大學(xué)出版社

出版日期：2010-03

ISBN：9787313061645

版次：1頁數(shù)：135字?jǐn)?shù)：開本：16開

包裝：平裝第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二對(duì)可展曲面的構(gòu)造與插值作了深入的探索和研究。CAD／CAGD在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造中發(fā)揮著越來越重要的作用。而可展曲面作為工程常用曲面，其設(shè)計(jì)方法與技術(shù)研究是CAGD中的一個(gè)關(guān)鍵的研究課題，在機(jī)械工程和先進(jìn)產(chǎn)品的逆向工程中有著十分重要的應(yīng)用價(jià)值。

首先對(duì)曲面造型技術(shù)做了綜述，總結(jié)了函數(shù)曲面造型技術(shù)、隱式曲面造型技術(shù)、參數(shù)曲面造型技術(shù)以及近些年新發(fā)展起來的變形造型技術(shù)、細(xì)分曲面造型方法，以及基于物理模型和形狀混合的造型方法的發(fā)展現(xiàn)狀。其次對(duì)可展曲面設(shè)計(jì)理論、方法和技術(shù)的研究發(fā)展?fàn)顩r作了詳細(xì)的分析與總結(jié)。可展曲面的兩類有代表性的構(gòu)造和表示方法是以Aumann方法為代表的點(diǎn)幾何表示的可展曲面和以Hoscheck、Pottmann和Bodduluri為代表的基于線幾何和面幾何的對(duì)偶表示方法。

《可展曲面的構(gòu)造與插值研究》適合應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生和研究生及其他有興趣的讀者閱讀和參考第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二/blog/static/251319162009214114937517/單葉雙曲面是一種直紋面（Ruled_surface），即它是由一族直線鋪成的曲面。

第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二單葉雙曲面是直紋曲面.上面有兩組母直線族,各組內(nèi)母線彼此不相交,而與另一組母線永遠(yuǎn)相交.正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應(yīng)用.

例如,用直立木桿造水塔,如果把這些桿