絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

(北京卷)

答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形

碼.

回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試

卷上無(wú)效

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

1.已知全集U=｛d-3vx＜3卜集合4=｛工|-2＜多41｝,則Co4=()

A.(—2,1]B.(—3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2)U(1,3)

2.若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3—4i,,貝()

A.1B.5C.7D.25

3.若直線2c+y—1=0是圓Q—a)2+靖=1的一條對(duì)稱軸，則a=()

A./B.—C.1D.-1

4.已知函數(shù)則對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，有()

J.I/

A./(-x)+/(a?)=0B.f(-x)-/(x)=0

C.f(-x)+/(x)=lD.f(-x)-/(x)=^-

5.已知函數(shù)/(N)=COS2%—sir?4,則()

A./(x)在(—冷，―卷)上單調(diào)遞減B./(x)在(-f,倉(cāng))上單調(diào)遞增

C./(x)在(0，§上單調(diào)遞減D.f(x)在信，普)上單調(diào)遞增

6.設(shè)｛an｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則”｛廝｝為遞增數(shù)列"是''存在正整數(shù)當(dāng)兀＞

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

136

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直制冰技術(shù)，為

實(shí)現(xiàn)綠色東奧作出了貢獻(xiàn)，如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)

系，其中T表示溫度,單位是K；P表示壓強(qiáng),單位是加九下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

32

8.若（2工一1尸=aix*+a3x+a2x+axx+a0,則a0+a-2+a,t=（）

A.40B.41C.-40D.-41

9.已知正三棱錐P-ABO的6條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集

合7={Q€$|。＜5&5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.當(dāng)"B.itC.2兀D.3兀

4

10.在△A3C中，47=3,BC=4,/C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則

巨？?兩的取值范圍是)

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

二、填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/㈤=十+，1—』的定義域是.

12.已知雙曲線婿+茶=1的漸近線方程為y=±乎工，則m=.

13.若函數(shù)/㈤=Asinx-V3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為?！?，則A=；/（巖）=

137

(—nnr--4-1,丁n

14.設(shè)函數(shù)/(0=/.、.，，若/(⑼存在最小值，則Q的一個(gè)取值為，。的最大值為

[(X—2),x^a

15.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和&滿足％?Sn=9M=1,2…).給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①｛冊(cè)｝的第2項(xiàng)小于3；②｛%｝為等比數(shù)列；

③｛%｝為遞減數(shù)列；④｛冊(cè)｝中存在小于擊■的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.(13分)

在ZXABC中，sin2c=V3sinC.

⑴求NC;

(2)若b=6,且XABC的面積為6A/3，求△力的周長(zhǎng).

138

17.(14分)

如圖，在三棱柱ABC-4B|G中，側(cè)面BCCiBi為正方形，平面BCGBJ平面ABBtAt,

43=8。=2,",'分別為481,47的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面BCGB；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面3MN所成角

的正弦值.

條件①：AB^MN-.

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題13分)

在校運(yùn)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m(含9.50m)以上

的同學(xué)獲優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以行的比賽成績(jī)，并

整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23

丙：9.85,9,65,9.20,9.16

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

139

22

19.已知橢圓￡：4+巖=1(&>%>0)的一個(gè)定點(diǎn)為71(0,1),焦距為2/.

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(—2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,。，直線ABAC分別

與多軸交于點(diǎn)河，N.當(dāng)|MV|=2時(shí)，求上的值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(立)=6町11(1+7).

(1)求曲線y=/(⑼在(0,1(0))處的切線方程；

⑵設(shè)。3)=)㈤，討論gQ)在［0,+8)上的單調(diào)性;

(3)證明：對(duì)任意的s,tC(0,+8),有/(s+f)>/(s)+/(t).

140

21.(本小題15分)

己知Qg,電，…，縱為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)決,若對(duì)任意的{1,2,…，m},在

Q中存在,ai+i,ai+2，…，a,：+j(/>0),使得的+a,+1+ai+2H-----Fa’+j=n,則稱Q為？n—

連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷Q：2,1,4是否為5—連續(xù)可表數(shù)列？是否為6—連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)若。:的，的，…，W為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；

(3)若Q：a”a2,■-?,%為20-連續(xù)可表數(shù)列,s+a2T----卜.<20,求證:/c>7.

141

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

(北京卷)

答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并

認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷

上無(wú)效

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng).

1.已知全集U=｛司一3V工＜3卜集合力=｛引-2Vz41｝,則G/A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2)U(1,3)

【答案】D

【解析】易得CVA=(-3,-2)U(l,3).

2.若復(fù)數(shù)z滿足i”=3—4i,,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【解析】由條件可知z=a券=一4一3i所以|z|=5.

3.若直線2工+y—1=0是圓(a;—a)?+煩=1的一條對(duì)稱軸，則a=()

A.B.—乎C.1D.-1

【答案】A

【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，圓心坐標(biāo)(a,0),所以由2a+0—1=0解得

_1

a~~2'

4.已知函數(shù)則對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，有()

JL十/

A./(-x)+/(a?)=0B.f(-x)-/(X)=0

C.f(-x)+/(a;)=l

o

【答案】c

142

【解析】由/（0=擊，可得/（—==了,所以得，（-0+/3）=爵=

1"|乙11~乙乙"f-J./1

1.

5.己知函數(shù)/（力）=cos2j;—sin2x，則（）

A./㈤在（—專，―專）上單調(diào)遞減B./㈤在（―?僉）上單調(diào)遞增

C./（x）在（0,專）上單調(diào)遞減D./（x）在C'，普）上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】/（。）=cos'%—sin%=cos2x,選項(xiàng)力中：22e（―兀，—母），此時(shí)/㈤單調(diào)遞增,選

項(xiàng)B中：2ze（一專，專）,此時(shí)/㈤先遞增后遞減，選項(xiàng)。中：2ze（o,學(xué)），此時(shí)/（X）單

調(diào)遞減，選項(xiàng)。中：2。e（當(dāng)，爺）,此時(shí)先遞減后遞增；所以選。.

6.設(shè)｛an｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“｛斯｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。,當(dāng)n>

M”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】①充分性證明：

若｛%｝為遞增數(shù)列，則有對(duì)Vn€TV,an+i>a”,公差d=a“+i—a”>0,

取正整數(shù)N產(chǎn)|-置+2（其中［-詈］為不大于一詈的最大正整數(shù)），

則當(dāng)ri>M時(shí)，只要a”>0,都有a”=a1+（n—l）d>aj+（［—+l）d>0；

②必要性證明：

若存在正整數(shù)曲，當(dāng)n>N）時(shí)，a”>0

因?yàn)镼“=Q1+（九一l）d

所以d>‘九"''對(duì)Yn>No,n￡N都成立

因?yàn)閘im^二曳=0,且dwo

n—?+??Tt

所以d>0

所以對(duì)Wa6N,都有a?+i—a”=d>0,a?+1>an,即：｛a?｝為遞增數(shù)列；

所以“｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)M，當(dāng)">乂時(shí)，a“>0”的充要條件

所以選C

7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直制冰技術(shù)，為

實(shí)現(xiàn)綠色東奧作出了貢獻(xiàn)，如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的關(guān)

系，其中T表示溫度,單位是K：P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

143

Igp

A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D當(dāng)T=360,P=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】4選項(xiàng)：lgP=lglO26>3,T=220,由圖易知處于固態(tài)；

3選項(xiàng)：lgP=lgl28>2,7=270,由圖易知處于液態(tài)；

。選項(xiàng)：lgP=lg9987?3.999,T=300,由圖易知處于固態(tài)；

。選項(xiàng)：IgP=lg729>2,T=360,由圖易知處于超臨界狀態(tài)；

所以選。

8.若（2。-l）4=aH*+g3/+&2/+&巡+a”則劭+&2+4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】當(dāng)k=1時(shí)，1=a&+（13+a-2+5+劭①；當(dāng)時(shí)，rr=-1時(shí)，81=a4—as+a2-5+

劭②;①+②得原式=41

9.已知正三棱錐P-ABC的6條棱長(zhǎng)均為6,S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集

合7={?€5|~3&5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

A.B.兀C.27rD.3兀

4

【答案】B

【解析】

144

過(guò)點(diǎn)P作底面射影點(diǎn)O,則由題意，CO=2/，PC=6,所以PO=2V6,當(dāng)CO上存在一

點(diǎn)Q使得PQ=5,此時(shí)QO=1,則動(dòng)點(diǎn)Q在以Q。為半徑，O為圓心的圓里，所以面積

為兀

10.在△ABC中，AC=3,5。=4,ZC=90\P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則

同?兩的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案加

【解析】方法一：

建立如圖所示坐標(biāo)系，由題易知，設(shè)。(0,0),力(3,0),3(0,4),

因?yàn)镻C=1,所以設(shè)P(cosJ,sinJ),6e[0,27r],

PA-PB=(3—cos(9,—sin。)?(—cos(9,4—sind)=-3cosG—4sin6+cos汨+sin2(9

=1—5sin(6+ip)(sin＜p=得,costp—,)€[—4,6],所以選D.

方法二：

注意:〈房,方＞=償一＜同,面＞卜且E方=0

所以兩?屈=(元+G?)?(用+方)

^PC2+P^-CA+PC-CB+CA-CB

145

=1+3cos<PC,CA>+4cos<PC,CB>+0

=1+3cos<PC,CA>+4sin<PC,CA>

=1+5sin［<PC,CA>+<p}

其中，p€(0,-y),tanw=

所以一4《園?。46

所以選。

二、填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.函數(shù)=!的定義域是.

【答案】(-8,0)U(0,1］

【解析】依題意(尸°」解得工e(—8,o)u(0,1］.

12.已知雙曲線靖+《=1的漸近線方程為y=±乎必則m=.

【答案】-3

【解析】雙曲線靖+尤=1的漸近線方程為？=±7^,故m=一3.

山V—m

13.若函數(shù)/(⑼=Zsin力一Jocose的一個(gè)零點(diǎn)為g■，則A=；/(令')=.

【答案】1;—V2

【解析】/(專)=Asin與一，5cos為一平■=(),解得4=1.

f(x)=sinre—Vicosx=2sin(x—專)，故/(含)=2sin(倉(cāng)—與)=2sin(一亍)=—V2.

_ZJZY?—1—1ZY>a

,、:，若/(工)存在最小值，則a的一個(gè)取值為，a的最大值為

(X—2),X》a

【答案】0(答案不唯一)，1

【解析】由題意知，函數(shù)最值于函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以0,2為分界點(diǎn)研究函數(shù)/(①)

的性質(zhì)，當(dāng)化<0時(shí)，/3)=—&，+1,X<%該段的值域?yàn)?一8,—&2+1),故整個(gè)函數(shù)沒(méi)

有最小值:當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=—ax+1,a該段值域?yàn)閧1},而/(a?)=3—2尸，Ca的

值域?yàn)椋?,+8),故此時(shí)/("的值域?yàn)椋?,+8),即存在最小值為0,故第一個(gè)空可填寫(xiě)

0；當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)=—ax+1,zVa,該段的值域?yàn)?―a?+1,+°°)，而/Q)=(/—

2尸，z>a的值域?yàn)椋?,+8)，若存在最小值，則需滿足一a?+1>0,于是可得ov。41；

當(dāng)a>2時(shí)，/(re)=—ax+1,xVa,該段的值域?yàn)?—a2+1.+°°)，而/(a;)=(x—2)2,a;>

a的值域?yàn)椋?a—2戶，+8),若存在最小值，則需滿足一<?+1>(a—2汽此不等式無(wú)解.綜

上，a的取值范圍是［0,1］,故a的最大值為1.

146

15.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前m項(xiàng)的和S”滿足an-Sn=9m=l,2…）.給出下列

四個(gè)結(jié)論：

①｛冊(cè)｝的第2項(xiàng)小于3；②｛冊(cè)｝為等比數(shù)列；

③｛an｝為遞減數(shù)列；④｛%｝中存在小于忐的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①③④

【解析】沱=1,可得就=9,又各項(xiàng)均為正，可得的=3,令n=2可得&2（3+。2）=9,可解得

口2=理年久<3,故①正確；當(dāng)時(shí)，由S“=&得S”T=-9—,于是可得冊(cè)=2

—旦，即匹=上咨，若｛%｝為等比數(shù)列，則n>2時(shí)aw=廝,即從第二項(xiàng)起為常

數(shù)，可檢驗(yàn)n=3則不成立，故②錯(cuò)誤；an-Sn=9（n=lf2…）.可得Qn?Sn=an+i?Sn+i^

是汕=黑<1,所以a“+i〈a“，于是③正確；對(duì)于④，若所有項(xiàng)均大于等于需，取ri

>90000,則a?）擊■,S”>900,于是a“S”>9,與已知矛盾,所以④正確.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.

16.（13分）

在△ABC中,sin2C=4sin。.

⑴求/C；

（2）若b=6,且/XABC的面積為64,求ZVIB。的周長(zhǎng).

【答案】⑴/。=*;6代+6

【解答】⑴sin2C=6sin。,2sinCcosC=V3sinC,cosC—,Z.C-

⑵因?yàn)镾MBC=6《，所以/absinC=6遮，a=4代，

由余弦定理得c2=a2+b2-2abeos。

c=2V^,所以△ABC的周長(zhǎng)為6代+6.

17.（14分）

如圖，在三棱柱ABC-4BQ|中，側(cè)面BCC.Br為正方形，平面BCCXBX±平面ABB^,

4?=3C=2,分別為4向，力。的中點(diǎn).

147

⑴求證：MN//平面BCC}BX:

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角

的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑵見(jiàn)解析;⑵告.

【解析】

(1)取BC中點(diǎn)。，連接場(chǎng)O,ON.

在三棱柱ABC-ABiG中，AR"AB,AXBX=AB.

因?yàn)椤埃?,。分別為45，4。,3。的中點(diǎn)，

所以6Al〃AB,DN//AB,DN=/AB,

即BXMHDN且BiM=DN,

所以四邊形5MND為平行四邊形，因此BQ〃1W.

又MN*平面BCGB\,BQC平面BCCB,

所以MN〃平面BCCiB].

(2)選條件①：

因?yàn)閭?cè)面BCCB為正方形，所以CB，BBi,

又因?yàn)槠矫鍮CGB」平面ABB.A,,且平面BCC,B10平面ABB.A,=BBt,

所以CB，平面ABBrAy，而力BU平面ABBXAX，所以CB，4B.

148

由（1）得BQ〃MN,又因?yàn)锳B，MN,所以AB，場(chǎng)。，

而B(niǎo)Q_LCB=D,所以AB_L平面BCGBi.

在三棱柱ABC-4BCi中，BA,BC,BB,兩兩垂直,

故分別以3。，A4,為2軸，9軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳B=BC=B/=2,則3(0,0,0),N(l,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以麗=(1,1,0),麗=(0,1,2),荏=(0,-2,0),

設(shè)平面BMN的法向量n=Q,y,z),

由麗飛=0,詢?"=(),得卜+?=°;

+2z=0,

令1=2,得ri=(2,—2,1).

設(shè)直線AB與平面BMN所成角為仇

則sin9=|cos<",屈>|=品能=裊=￡

所以直線AB與平面所成角的正弦值為春.

O

選條件②:

取力5中點(diǎn)H,連接HM,HN.

因?yàn)镸,N,H分別為4B，AC,AB的中點(diǎn)，

所以BQ//MH,CB〃NH,而CB工BB1,故NH工MH.

又因?yàn)锳B=BC=2,所以NH=BH=1.

在和AMHN中，BM=MN,NH=BH,公共邊MH,

那么△MHB金△MHN,

因此ZMHN=Z.MHB=90°,即MH_LA3,故BXB±AB.

在三棱柱ABC-ABiG中，BA,BC,BBX兩兩垂直，

故分別以3C,34為立軸，y軸，z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

149

因?yàn)锳B=BC=3B|=2,則3(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

所以麗=(1,1,0),BM=(O,1,2),AB=(O,-2,0),

設(shè)平面BWN的法向量n=(c,y,z),

由國(guó)==0,得卜卡?令《=2,得n=(2,—2,1).

I夕+2z=0,

設(shè)直線AB與平面BMN所成角為。,

|4|2

則sin。=|cos<n，AB>\=

\n\-\AB\3X23

所以直線AB與平面?WN所成角的正弦值為4

o

18.(本小題13分)

在校運(yùn)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m(含9.50m)以上

的同學(xué)獲優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以行的比賽成績(jī)，并

整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：小)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23

丙：9.85,9,65,9.20,9.16

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率：

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E

(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)0.4;(2)5;(3)丙

O

【解析】(1)設(shè)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件A.

比賽成績(jī)達(dá)到9.50a以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到9.50以上的有：9.80,9.70.9.55,

9.54四個(gè).所以，甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為以⑷=0.4

設(shè)立是甲、乙、丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX：

150

(2)X所有可能取值為0,1,2,3.

甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為P(A)=0.4.

乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件3,則P(3)=0.5.

丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件C,則P(C)=0.5.

P(X=0)=0.6x0.5x0.5=0.15

P{X=1)=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.4

P(X=2)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35

P(X=3)=0.4x0.5x0.5=0.1

E(X)=0x0.15+1X0.4+2x0.35+3x0.1=1.4

(3)丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次,丙獲得9.85的概率為白，甲獲得

9.80的概率為卷，乙獲得9.78的概率為-1.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比

賽次數(shù)越多,對(duì)丙越有利.

?2“2

19.已知橢圓E：號(hào)+3=l(a>b>0)的一個(gè)定點(diǎn)為4(0,1),焦距為2小.

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(—2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,直線43,分別

與二軸交于點(diǎn)M,N.當(dāng)|M7V|=2時(shí)，求k的值.

9

【答案】(1)苧+必=1；(2?=—4

【解析】

僅

=1,fa=2,2

⑴依題意可知：(2c=2/，，解得b=l,故橢圓E的方程為：羊+娟=1；

2

[Q2=/+c,[c=V3,

⑵由題可設(shè)直線方程為：y—l=k(x+2),劭)，C(g,例),

y—1—+2)

(丁+城=L

可得(1+4k2)/_|_(16必+sk)x+16k2+16k=0,

由A>0可得(16fc2+8k>一4x(1+4k2)(16爐+16fc)>0，解得fc<0,

151

2

短tE+斗士TFHTTT由1—(16k+8k)16k+16fc

根據(jù)韋達(dá)定理可得：為+立2=-------------，xx=--——^—;

1+4k}21+4fc"

直線AB的斜率為kAB=色二L，AB的直線方程為：y=?3+1,

令y=0,可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)穌,=同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)知=產(chǎn)一

1—幼，一仇

則有

\MN\^產(chǎn)g_Ig1/^2的)

1一例kQi+2)—fc(a?2+2)k\x2+2a;i+27

1.①2(4i+2)一21(62+2)|_|j_.2J(ci+g)2-4%@2

k2］%2+2(+i+g)+4||kxxx2+2(^!+x2)4-4

”―(16爐+8k八216爐+16k

11+4肥)1+4肥

代入韋達(dá)定理式子可得22—2,

T'16fc+16fc,o/-16fc-8A:\,.

1+4妒+2(1+-2)+4

/64(2奴+A:)?—4X16(心+勸(1+4融)

1V1+4必

化簡(jiǎn)可得:

k'16爐+16卜一32肥一16人,4+16k2=2,

1+4fc21+4奴1+4fc2

即、4,4妒+4+'+奴-4/c4-4A：3一%一。|=2,

可得||上河=方,兩邊平方則有W=解得上=一4?

故拈的值為一4.

20.(本小題15分)

已知函數(shù),f3)=e01n(l+c).

(1)求曲線y=/Q)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)式工)=-3),討論9(力在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,t6(0,+8),有/(S+力)>/(?)+y(t).

【答案】(1加=土;(2)g3)在［0,+8)上單調(diào)遞增；(3)見(jiàn)解析.

【解析】⑴/'Q)=e1-ln(l+c)+—=ex-(ln(l+x)+—),

故/f(0)=e0>(ln(l+0)+—1>/(O)=e°ln(l+0)=0,

因此，曲線0=/3)在(0,〃0))處的切線方程為夕=，；

(2)由(/)，9(工)=f3)=e，?(ln(l+z)+二/),3^［。，+8),

則或⑼=e、(ln(l+⑼++-"^7)，

設(shè)加①)=ln(i+①)+—(］；工產(chǎn)，26［°，+8)，

m、12,22X2-2X+22(*—十)+T

l+x(1+x)2(1+x)3(l+x)J(1+x)3

故MG在［o,+8)上遞增,

152

故/i(a;)>拉(0)=1>0,

因此91工）>。對(duì)任意0；6[0,+8）恒成立,

故gQ）在[0,+8）上單調(diào)遞增:

另解：dQ)=e1-(ln(l+⑼+-(]<)2)=e%

（ln（l+G+己+高—尋?。?夕仙（1+乃+蚩+廷丁）,

]

由于*W[0,+8),故ln(l+a;)>0,>1⑦

14-x11’(1+以>0,

因此，gr（x）>o對(duì)任意Ce[o,+8）恒成立,

故gQ)在[0,+8)上單調(diào)遞增；

(3)設(shè)m(s)=/(s+1)—/(s)—/(t)=es+tln(l+s+1)—esln(