北京交道中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f（x）=log2x，則f（8）=（）A． B．8 C．3 D．﹣3參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵f（x）=log2x，∴f（8）==3．故選C．2.與圓以及都外切的圓的圓心在

A.一個(gè)橢圓

B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上

D.一個(gè)圓上參考答案：B略3.在△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c.（）A． B． C． D．參考答案：A略4.曲線在點(diǎn)處的切線的方程為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.參考答案：C6.函數(shù)在處有極值10，則m，n的值是（

）A.

B.C. D.參考答案：B7.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9=2a52，a2=1，則a1=(

)A． B． C． D．2參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)3?a9=2a25化簡(jiǎn)得到關(guān)于q的方程，由此數(shù)列的公比為正數(shù)求出q的值，然后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：設(shè)公比為q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q=，故a1=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．8.點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為

()．A.

B.

C．

D．參考答案：B9.拋物線的準(zhǔn)線方程為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.某市環(huán)保局舉辦“六·五”世界環(huán)境日宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“環(huán)保會(huì)徽”或“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡即可獲獎(jiǎng).已知從盒中抽兩張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡的概率是.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，那么（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】.設(shè)盒中裝有10張大小相同精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”的有張，“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案的有張，根據(jù)，解得，得到參加者每次從盒中抽取卡片兩張獲獎(jiǎng)的概率，再根據(jù)服從二項(xiàng)分布，利用公式求解.【詳解】.設(shè)盒中裝有10張大小相同的精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”的有張，“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案的有張，由題意得，解得，所以參加者每次從盒中抽取卡片兩張，獲獎(jiǎng)概率，所以現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望和方差，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在數(shù)列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=_________.參考答案：略12.已知集合，，則

.參考答案：13.已知F1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則=_____________參考答案：714.正三棱錐的高為2，側(cè)棱與地面ABC成，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離為_(kāi)_______.參考答案：略15.先后擲一枚質(zhì)地均勻骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有、、、、、個(gè)點(diǎn)）兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為,,設(shè)事件為“為偶數(shù)”，事件為“,中有偶數(shù)且”，則概率等于

。參考答案：16.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則當(dāng)時(shí)

.參考答案：17.．拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx．（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若x1＞x2＞0，求證：＞．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，極值，最值即可求．（2）本小題轉(zhuǎn)化為在x＞0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究出h（x）的最大值，再利用基礎(chǔ)不等式可知，從而可知a的取值范圍．（3）本小題等價(jià)于．令t=，設(shè)u（t）=lnt﹣，t＞1，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出u（t）＞u（1）=0，由此能夠證明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（x）在x=0處取得最大值g（0）=0．（2）∵對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，設(shè)h（x）=，則，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必須a．另一方面，當(dāng)x＞0時(shí)，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必須a≤2，∴滿足條件的a的取值范圍是[，2]．（3）當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)，＞等價(jià)于．令t=，設(shè)u（t）=lnt﹣，t＞1則＞0，∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．19.（本小題滿分10分）函數(shù)的最小值為，其圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差是,又圖象過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式．參考答案：由題意，，又過(guò)點(diǎn)，20.已知圓C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圓的圓心C的坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；（2）直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合，l與圓C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，求證：為定值；（3）斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點(diǎn)，求直線m的方程，使△CDE的面積最大．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；（2）設(shè)出直線l的方程，與圓C的方程組成方程組，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值；（3）解法一：設(shè)出直線m的方程，由圓心C到直線m的距離，寫(xiě)出△CDE的面積，利用基本不等式求出最大值，從而求出對(duì)應(yīng)直線方程；解法二：利用幾何法得出CD⊥CE時(shí)△CDE的面積最大，再利用點(diǎn)到直線的距離求出對(duì)應(yīng)直線m的方程．【解答】解：（1）圓C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，則圓心C的坐標(biāo)為（﹣1，0），圓的半徑長(zhǎng)為2；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx，聯(lián)立方程組，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，則有：；所以為定值；（3）解法一：設(shè)直線m的方程為y=kx+b，則圓心C到直線m的距離，所以，≤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，△CDE的面積最大，從而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直線方程為x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，當(dāng)且僅當(dāng)CD⊥CE時(shí)，△CDE的面積最大，此時(shí)；設(shè)直線m的方程為y=x+b，則圓心C到直線m的距離，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直線方程為x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．21.已知兩直線,求分別滿足下列條件的、的值．(1）直線過(guò)點(diǎn)，并且直線與直線垂直；(2）直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到、的距離相等．參考答案：解；（1）即

①又點(diǎn)在上，

②由①②解得：(2）∥且的斜率為.

∴的斜率也存在，即，.故和的方程可分別表示為：∵原點(diǎn)到和的距離相等.

∴，解得：或.因此或.略22.已知橢圓的上頂點(diǎn)M與左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形MF1F2面積為，又橢圓C的離心率為，左右頂點(diǎn)分別為P，Q．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作兩條射線分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A，B在長(zhǎng)軸PQ同側(cè)），直線AB交長(zhǎng)軸于點(diǎn)S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求證：mn為定值；（3）橢圓C的下頂點(diǎn)為N，過(guò)點(diǎn)T（t，2）（t≠0）的直線TM，TN分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若△TMN的面積是△TEF的面積的λ倍，求λ的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）利用橢圓離心率三角形的面積，解得a，b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及斜率關(guān)系，推出結(jié)果即可．（3）設(shè)E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），通過(guò)，直線TM方程為：x=t（y﹣1），直線TN：3x﹣ty﹣t=0，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出E，F(xiàn)坐標(biāo)，求出E到直線TN：3x﹣ty﹣t=0的距離，推出兩個(gè)三角形的面積，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）橢圓離心率，又，解得a=2，b=1，∴橢圓．（2）由已