2021-2022學年河北省張家口市洗馬林中學高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知角的終邊經過點，且則實數的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.若集合，則是

A．{1，2，3}

B.{1，2}

C.{4，5}

D.{1，2，3，4，5}參考答案：B解析：解不等式得∵∴,選B。3.設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A.

B.

C.

D.且參考答案：C4.設函數（

）A．0

B．1

C．

D．5參考答案：C5.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為（）A．50π B．100π C．200π D．300π參考答案：C【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【分析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，由此能求出球的半徑，進而求出球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，設球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面積為S=4πR2=200π．故選C．6.已知且圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）參考答案：C略7.函數在區(qū)間上恒為正值，則實數的取值范圍

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:B8.（5分）若函數f（x）的導函數為f′（x）=x2﹣4x+3，則函數f（x﹣1）的單調遞減區(qū)間是（）A．（2，4）B．（0，2）C．（2，3）D．（0，1）參考答案：A【考點】：利用導數研究函數的單調性．【專題】：計算題；導數的綜合應用．【分析】：先確定f（x）的單調遞減區(qū)間，再利用圖象的變換，可得f（x﹣1）的單調遞減區(qū)間．解：函數f（x）的導函數為f′（x）=x2﹣4x+3，由f′（x）＜0，可得x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）＜0，得1＜x＜3．∴f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，3）．又函數f（x﹣1）的圖象是函數f（x）的圖象向右平移1個單位得到的，∴函數f（x﹣1）的單調遞減區(qū)間為（2，4）．故選A．【點評】：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查圖象的平移變化，考查分析問題與轉化解決問題的能力，屬于基礎題．9.的展開式中x3的系數為10，則實數a為

A．-2

B．-1

C．

1

D．

2參考答案：A10.設，若將函數的圖像向左平移個單位后所得圖像與原圖像重合，則的值不可能為（

）A．4

B．6

C．8

D．12參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（文）某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取80名學生進行家庭情況調查，經過一段時間后再從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調查，發(fā)現有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為

．參考答案：40012.已知有最大值，那么當Sn取得最小正值時，n=

．參考答案：19【考點】8I：數列與函數的綜合．【分析】要求Sn取得最小正值時n的值，關鍵是要找出什么時候an小于或等于0，而an+1大于0，由，我們不難得到a11＜0＜a10，根據等差數列的性質，我們易求出當Sn取得最小正值時，n的值．【解答】解：∵Sn有最大值，∴d＜0則a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19為最小正值故答案為：19【點評】本題考查數列的函數性質，一般的{an}為等差數列，若它的前n項和Sn有最小值，則數列的公差d小于0；{an}為等差數列，若它的前n項和Sn有最大值，則數列的公差d大于0．13.在三棱錐A﹣BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為

．參考答案：π考點：球內接多面體；球的體積和表面積．專題：空間位置關系與距離．分析：利用三棱錐側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，從而求出對角線長，即可求解外接球的體積．解答： 解：三棱錐A﹣BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，設長方體的三度為a，b，c，則由題意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直徑為：=所以球的半徑為，所以三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為=π故答案為：π點評：本題考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關鍵所在．14.正四棱錐的5個頂點都在球的表面上，過球心的一個截面如圖，棱錐的底面邊長為1，則球O的表面積為

參考答案：15.已知角α的終邊過點（﹣2，3），則sin2α=．參考答案：【考點】二倍角的正弦；任意角的三角函數的定義．【分析】根據定義求出sinα，和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α的值．【解答】解：角α的終邊過點（﹣2，3），根據三角函數的定義可知：sinα=，cosα=，則sin2α=2sinαcosα==，故答案為：．16.已知，則 .參考答案：或

略17.函數的圖像恒過定點A，若點A在直線上，其中則的最小值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率，橢圓的上下頂點分別為，左、右頂點分別為,左、右焦點分別為,原點到直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值,并求出該定值．參考答案：19.等比數列中，已知

（I）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若分別為等差數列的第3項和第5項，試求數列的通項公式及前項和。參考答案：解析：（I）設的公比為

由已知得，解得

（Ⅱ）由（I）得，，則，

設的公差為，則有解得

從而

所以數列的前項和20.（本小題滿分12分）已知數列的前n項和為，且．

（1）求，；

（2）設，求數列的通項公式．

參考答案：解答：（1）由已知，即，∴，……………2分

又，即，∴；

……5分

（2）當時，，

即，易證數列各項不為零（注：可不證），

故有對恒成立，∴是首項為，公比為的等比數列，

∴，

……10分

∴．

……12分略21.已知函數f（x）=（x2﹣a）ex，a∈R．（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間（1，2）上存在不相等的實數m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）若函數f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，求證：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【專題】導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）將a=0代入函數的表達式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）問題轉化為求使函數f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調函數的a的取值范圍，通過討論x的范圍，得到函數的單調性，進而求出a的范圍；（Ⅲ）先求出函數的導數，找到函數的極值點，從而證明出結論．【解答】解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x2ex，f′（x）=ex（x2+2x），由ex（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．所以f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調減區(qū)間為（﹣2，0）；（Ⅱ）依題意即求使函數f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調函數的a的取值范圍，而f′（x）=ex（x2+2x﹣a），設g（x）=x2+2x﹣a，則g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因為g（x）在（1，2）上為增函數．當，即當3＜a＜8時，函數g（x）在（1，2）上有且只有一個零點，設為x0，當x∈（1，x0）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）為減函數；當x∈（x0，2）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）為增函數，滿足在（1，2）上不為單調函數．當a≤3時，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上為增函數），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上為增函數，不合題意．同理a≥8時，可判斷f（x）在（1，2）為減函數，不合題意．綜上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=ex（x2+2x﹣a）．因為函數f（x）有兩個不同的零點，即f′（x）有兩個不同的零點，即方程x2+2x﹣a=0的判別式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此時x1+x2=﹣2，x1?x2=﹣a，隨著x變化，f（x）和f′（x）的變化情況如下：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增所以x1是f（x）的極大值點，x2是f（x）的極小值點，所以f（x1）是極大值，f（x2）是極小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）?（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因為a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【點評】本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，導數的應用，考查轉化思想，分類討論思想，熟練掌握基礎知識并對其靈活應用是解題的關鍵，本題是一道難題．22.已知拋物線C：=2px經過點P（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值．參考答案：(Ⅰ)取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(Ⅱ)證明過程見解析分析：（Ⅰ）先確定p,再設直線方程，與拋物線聯立，根據判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（Ⅱ）先設A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯立，根據韋達定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點M，N的縱坐標，代入化簡可得結論.詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直