數(shù)學(xué)(理科)試題第1貝(共6貝＊ ( ( (湖南河南2022-2023高三2月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)(理科)留意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁。時(shí)間120分鐘，滿分150分。答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷指定位置．并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位笠〃2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案吏，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑?如舌改動(dòng)，用枚皮擦潔凈吐，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。作答非選擇題時(shí)，將答案寫在答貶卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)3寫在本試卷上無效?3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回々_、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有_項(xiàng)是符合題目要求的．17已知集合A={yl2=sin.r,8o"ER},B=位1又·(.l3)<0}，則A門B=(_/\.(1-3]B.(0,1]C:[-1.3)D.(O.])3.2022年秋，某京劇演員因疫情緣由無法演出，在短視頻平臺(tái)開設(shè)自己的賬號(hào)，不斷直播京劇學(xué)問初始直播時(shí)巳有50名粉絲，經(jīng)過1：天后，粉絲人數(shù)FC.1)滿足關(guān)系式：FC9r)=M?e氣．r娑0)，其中M3k為常數(shù)，若開播10天吏有200名粉絲則開播30天吐估計(jì)該京劇演員存平臺(tái)上的粉絲數(shù)員為4.函數(shù)f(x)=2的圖象可能為{．②\圖視 (\圖視 (π2π2π2π2π2XX-2BABiX02X-2+-2CD5．河南一國家級(jí)濕地，以其獨(dú)特的地理環(huán)境和良好的生態(tài)環(huán)境，吸引了全國近二了一幅群鳥玩耍的生態(tài)美景．該愛護(hù)區(qū)新建了一幅群鳥玩耍的生態(tài)美景．該愛護(hù)區(qū)新建一個(gè)橢球外形的觀鳥臺(tái)．橢球的一部分豎直埋十地下．其外觀的三視圖(單位：米)如下．止視圖中橢圓(部分)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16米，則該橢球外形觀鳥臺(tái)的最高處到地而的垂且高度為(A.8米B.10米C/12米D026米品孟視圖第5題圖第6題圖61執(zhí)行如圖所示的程序框圖．若輸入k的值為1．則輸出n的值為A.2B.3C74D26數(shù)學(xué)(即科)試題第2貞(共(＋負(fù)＊1B (A31B (A34CE仇,}滿足f入,＝，則數(shù)列伽}的前n項(xiàng)和S45=n+l2(n+1)??2n8.已知雙仙線C：—＝8.已知雙仙線C：—＝lCa>O,b>P)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、凡－直線y_)i7∶?1?+1n+l－島—艾－島—艾與雙曲線C交千A-B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在其次象限)，且IABI=屈—IF↓F2J.則雙曲線C的離心率為()j+2j+29.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，以單次最大續(xù)航里程500公里為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)試，且每輛汽車是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立，設(shè)每輛新能源汽車達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率為JJ)Q<p<l)，當(dāng)100輛汽車中恰有80輛達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的概率取最大值時(shí)．若猜測(cè)該款新能源汽車的單次最大續(xù)航里程為X/目X人N*550.0'2)，則猜測(cè)這款汽車的單次最大續(xù)航里程不低于600公里的概率為()ABCoD0.810.在!::,ABC中，若內(nèi)角A,B0D所對(duì)的邊分別為cl1b2c心ABD的平分線交AE于點(diǎn)D3BD=l且b=2，則6.ABE周長(zhǎng)的最小值為A.7B.2屈C.2+2匠D.411.某4間生產(chǎn)_種圓合形零件，其卜底面的直徑為4／上底面的直徑為8，已知A13為上底面的直徑0點(diǎn)P是上底面圓周上_點(diǎn)，且AP─Hl入PC是該圓臺(tái)的一條母線1且PC=2萬，則PF丏平面ACF所成的角的正弦值為(3535DD13設(shè)函數(shù)f+x)-值范圍是()A[平，：]E[氣丿G.[—3'勹5D.[-3，Lf]數(shù)學(xué)(理科)試題第3貞(共6貝)數(shù)學(xué)(坪科＊試題第4貞(共6貞＋二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.巳知x>O,y>O.目石＋2a5＝仁則..y的最大值是15.已知函數(shù)/Cx)=2sin15.已知函數(shù)/Cx)=2sin.x＋cos.1`，若:30ER-VxER..h釭·)之.f(0)，則tan20的值為16.已知實(shí)數(shù)a>O．函數(shù)f).r)=e+acps..z·/g*_c)＝互心in+x+g].名方程J,x)=g(x)在(O．十00)上有且僅朊4個(gè)實(shí)數(shù)根．則實(shí)數(shù)u的取俏范圍是三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明－證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題．每個(gè)試題考生都必需作答．第22、33題為選考題／考生依據(jù)要求作答 (二)必考題：共60分.K7.(本小題滿分l2分＊K7.(本小題滿分l2分＊-2)設(shè)仇＝？l也2求數(shù)列{b9:}的前n項(xiàng)和T".18.(本小題滿分12分＋抖音(UikVqk)是由今II頭條推出的一款短視頻共享APP，千2016年9月下線3是_個(gè)專注于幵輕人音樂短視頻創(chuàng)作共享的社區(qū)平臺(tái).抖音的消滅是一把雙刃劍4可以鼓舞人們表達(dá)、溝通和記錄5讓每_個(gè)人觀察并連接更大的世界．但同時(shí)也消滅部分網(wǎng)民長(zhǎng)時(shí)間沉迷刷抖音的現(xiàn)象．長(zhǎng)時(shí)間刷抖音會(huì)影響用眼健康為了解網(wǎng)民刷抖音的狀況6某爭(zhēng)辯小組從抖音用戶中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其平均每天刷抖音的時(shí)進(jìn)步行統(tǒng)計(jì)7得到統(tǒng)計(jì)表如下：人數(shù)(男)平均旬夭刷抖音的時(shí)人數(shù)(男)不大丁l小時(shí) 大?。?小時(shí)且小丁3小時(shí)l不少丁3＋I(xiàn)6小時(shí)人數(shù)(女)15數(shù)學(xué)(理科＊試題第5貞(共6貞＋該爭(zhēng)辯小組依據(jù)用戶平均匋夭刷抖音時(shí)長(zhǎng)將沉迷刷抖音程度分為重度、中度、輕度a若某人平均每天刷抖音的時(shí)長(zhǎng)不少于3小時(shí)，則稱為“幣度沉迷”:平均每天刷抖音的時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)且小于4小時(shí)，則稱為“中度沉迷”；平均每天刷抖音的時(shí)長(zhǎng)不大于1小時(shí)，則稱為“輕度沉迷”.(l)依據(jù)洞倉數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)數(shù)據(jù)推斷是否有95％的把握認(rèn)為性別與是否為“亟度沉迷”刷抖音有關(guān)系？非…重度沉迷”人數(shù)(男)人數(shù)(女)(2)該爭(zhēng)辯小組為鼓舞用戶適度刷抖音，從這100名爭(zhēng)辯對(duì)象中按分層抽樣的方式隨機(jī)抽取20位，分別給與」重度沉迷”“中度沉迷”和~輕度沉迷”的抖音用戶50元、800元、150元的購書券嘉獎(jiǎng)#現(xiàn)從這20位抖音用戶中隨機(jī)抽取兩人，求這兩人所獲得購書剎總和X的分布列和期鉛.附：K匡(ll+b)(，其中n=a+b+c+d.II.o5IIIIIIII19.(本小題滿分12分)如圖，四邊形ARCD是菱形，乙ADC=120O.ED上平面ARCD.FR/0F:D,I\B=ED，設(shè)FB氣ED(O<入<7)，連接AC.BD交千點(diǎn)M，連接EM.FM.(1)試問是否存在實(shí)數(shù)入，使得EM上平面AFC?若存存`懇求出入的值．并寫出求斛過程＜若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)當(dāng)爐=時(shí)．求平面AEG與平面CEF所成數(shù)學(xué)(垀科－試題第6貞(共6貞．20.(本小題滿分l2分)巳知拋物線C1:y2=2p艾(p>0)與橢圓C2:.X'+y2=1存在相同的焦點(diǎn)，第一象限內(nèi)曲線C]上的一點(diǎn)M(t2s)到其焦點(diǎn)的距離為2，直線l丏(\相交.于A.B兩點(diǎn)(不與M點(diǎn)重合＊．直線MA,MB關(guān)于直線X=t對(duì)稱.(l)求證：直線AB的斜率為定值；(2)若橢圓C2上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)千直線AB對(duì)稱，求原點(diǎn)到直線AB距離的取俏范圍21.(本小題滿分22分)已知函數(shù)J丘)＝工)2ln:i·-l).(1)求曲線K(.::r)在點(diǎn)(l/L(l))處的切線方程；(2)若函數(shù)3山)＝八r@+aO-lnx)(aER)(1)求曲線K(.::r)在點(diǎn)(l/L(l))處的切線方程； (二＋選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分220(本小題滿分10分)選修4_4：坐標(biāo)系丐參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系式，z中.已知直線l的參數(shù)方程為{{rl2-(t-2邁)(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，J·軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線(、的極坐標(biāo)方程為礦(l+4如in20)==l.(5)求直線l的一般方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線0=(3(其中PE*P，刈，且tan(3=－；中>o)丑曲線C在{軸上方交于點(diǎn)M，丒直線L交于點(diǎn)匯和MNI.25.(本小題滿分40分)選修4-5：不等式選講已知ueR，{足R，且a25.(本小題滿分40分)選修4-5：不等式選講(1)證明：正十爐>2;(2)若v?Q.a#-0，求2l＋'2(2)的最小值數(shù)學(xué)(理科)參考答案第1頁(共10頁) 3 3依據(jù)余弦定理,得│AF1│= 3 3依據(jù)余弦定理,得│AF1│=^=^c=c,│AF2│=^=^cX^c=^c.所以理科數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案BACACBDAACDC一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B【解析】由題意得,集合A=(y│y=sinx,x∈R)=[-1,1],B=(x│x(x-3)<0)=(0,3),故AnB=(0,1].故選B.2.A【解析】由于x=i=)==-i,所以復(fù)數(shù)x的共軛復(fù)數(shù)是+i.故選A.3.C【解析】依據(jù)題意,得I解得I故F(x)=50X410x.當(dāng)x=30時(shí),F(30)=50X43=3200.故選C.4.A【解析】根據(jù)f(x)==,得f(-x)===f(x)(或f(-x)=2(-x)2+1=2x2+1=2(-x)2+1=2x2+1=f(x)),所以f(x)為偶函數(shù),排除C:令x=0,得f(0)=2,排除B:因?yàn)閒()=0,排解D.故選A.5.C【解析】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正視圖的橢圓(部分)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),結(jié)合題意及三視圖可得I所以橢圓(部分)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,將點(diǎn)(3^23,y0)代入,可得y0=士4.故該橢球形狀觀鳥臺(tái)的最高處到地面的垂直高度為8+4=12(米).故選C.6.B【解析】輸入k=1,第一次循環(huán):12<1+10,k=1+1=2,n=0+1=1:其次次循環(huán):22<2+10,k=2+1=3,n=1+1=2:第三次循環(huán):32<3+10,k=3+1=4,n=2+1=3:第四次循環(huán):42>4+10,結(jié)束循環(huán),此時(shí)k=4,n=3.所以輸出n=3.故選B.7.D【解析】由題可知,數(shù)列(an+1-an)(n∈N*)是以a2-a1=1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以an+1-an=1+(n-1)X1=n(n∈N*).所以(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1=1+2+…+n.所以an+1-a1=).所以an+1=)+2.故bn=2=2=)=2(-1),所以數(shù)列(bn)的前n項(xiàng)和Sn=2(1-+-+…+-1)=2(1-1)=1.故選D.8.A【解析】由于│AB│=^2│F1F2│=^3c,所以│OA│=^c.由于kAB=-^3,所以ZAOF1=30".所以cosZAOF1=數(shù)學(xué)(理科)參考答案第2頁(共10頁)|AF2|-|AF1|=^3c-c=2a.故雙曲線C的離心率為e=^1=^1+1.故選A.9.A【解析】設(shè)100輛汽車中恰有80輛達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的概率為f(p)9則f(p)=Cp80(1-p)20(0<p<1)9則 p79(1-p)19(80-100p).當(dāng)p=(090.8)時(shí)9f'(p)>09所以f(p)在(090.8)上單調(diào)遞增;當(dāng)p= (0.891)時(shí)9f'(p)<09所以f(p)在(0.891)上單調(diào)遞減.所以f(p)在p=0.8處取得最大值.所以P(x≥600)=P(x之500)=1-P(x≥500)=1-0.8=0.2.故選A.10.C【解析】由題可得9S不ABC=S不ABD+S不BCD9即acsin三ABC=BD·csin三BC+BD·asin三由于sin三BC半09所以由二倍角公式可得2acos三BC=c+a9即cos三BC=.由余弦定理9得cos三ABC=9所以2()2-1=9整理可得(c+a)2=ac[(c+a)2-4].所以(c+a)2=ac[(c+a)2-4]之·(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=^時(shí)9"=,成立).故不ABC周長(zhǎng)的最小值為2+2^.故選C.11.D【解析】方法一:由題可得AB=89由于AP=BP9所以S不ABP=X8X4=16.過點(diǎn)A向下底面做垂線9垂足為A19則AA1=^PC2-22=^20-4=4.根據(jù)圓的性質(zhì)9得CA1=^42+22=2^59所以CA=^=6.所以VC-ABP=S不ABP·AA1=X16X4=.因?yàn)锳C=BC=69所以S不ABC=X8X^=8^.設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為d9則VP-ABC=S不ABC·d=X8^9解得d=8^55.故PC與平面ABC所成的角的正弦值為==.故選D.方法二:如圖9設(shè)O為上底面的圓心9因?yàn)锳P=BP9所以AB」OP.設(shè)O'為下底面的圓心9所以AB」OO'.由于OPnOO'=O9所以AB」平面OO'P.由于O'C/OP9所以O(shè)'C仁平面OO'P9所以AB」平面POC.所以平面ABC」平面POC.因?yàn)槠矫鍭BCn平面POC=OC9所以PC與平面ABC所成的角即為三PCO.過點(diǎn)C作CD」OP于點(diǎn)D9由于OP=49O'C=2.所以O(shè)D=DP=2.因?yàn)镻C=2^9所以sin三PCD==^9所以cos三PCO=1-2sin2三PCD=9所以sin三PCOsin三PCO=故選D.5.12.C【解析】設(shè)g(x)=x3+x2-9則g'(x)=x2+2x=x(x+2).令g'(x)<09得-2<x<0;令g'(x)>09得x<-2或x>09故g(x)在 (-o9-2)上單調(diào)遞增9在(-290)上單調(diào)遞減9在(09+o)上單調(diào)遞增.所以g(-3)=-9g(x)微小值=g(0)=-9g(x)極大值=g(-2)=-9g()=2.設(shè)h(x)=(x+1)9則h(-3)=-.令h(x)=29得x=.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象9如圖數(shù)學(xué)(理科)參考答案第3頁(共10頁)所示,聯(lián)立人消去y得x3+x2-=(x+1),化簡(jiǎn)得16x3+48x2-33x-99=0.整理得 (16x2-33)(x+3)=0,解得x=-3 (16x2-33)(x+3)=0,解得x=-3或x=-^或x=^.若函數(shù)f(x)=人一x3+x2-,k^xA的值域?yàn)閇-,2],由數(shù)形結(jié)合易知-3AkA^故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.4【解析】由于xV0,yV0,所以由基本不等式得4=^+2^^^●2^.所以^^●2^A2,得^xyA2,所以xyA4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=1時(shí)取等號(hào).所以xy的最大值是4.14.15【解析】由于(2x3+1)(x-)5=2x3(x-)5+(x-)5,且(x-)5的開放式為Tr+1=C●x5-r●(-)r=C●(-1)r●x5-3r,故x2的系數(shù)為2C●(-1)2+C●(-1)1=15.15.-【解析】依據(jù)題意,f(x)=^5sin(x+9)(cos9=2^5,sin9=^).因?yàn)樯?mR,千xmR,f(x)Af(8),所以f(8)=f(x)max=^,所以8+9=2kr+,kmZ.所以cos8=sin9,sin8=cos9,所以tan8=sin91-tan283.cos9=2.故tan28sin91-tan283.16.(^e,^er)【解析】方法一．由于f(x)=ex+acosx,g(x)=^asin(x+),所以由f(x)=g(x),得ex=asinx.所以方程4個(gè)實(shí)數(shù)根.因?yàn)閍V0,所以=.令9(x)= ,則9'(x)=.令9'(x)V0,即cosxVsinx,所以xm(0,)仁(+2kr,+2kr),kmN,所以9(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),(+2kr,+2kr),kmN,單調(diào)遞減區(qū)間為 (+2kr,+2kr),kmN.因?yàn)閍V0,所以V0.因?yàn)?()==,9()==,VV以^^,即^e^a^^er.方法二．由題可得,方程f(x)=g(x),即ex=asinx在(0,+o)上有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)F(x)=ex,G(x)=asinx,則函數(shù)F(x)與G(x)的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn).如圖為兩個(gè)恰好不成立的臨界位置.設(shè)函數(shù)F(x)與G(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),又F'(x)=ex,G'(x)=acosx,所以〈消去a得sinx0=cosx0.由于ex0V0,aV0,所以sinx0V0,cosx0V0,所以x0=+kr,kmZ.由圖觀看知兩種臨界位置x0分別為k=2時(shí),x0=；k=4時(shí),x0=.此兩種狀況對(duì)應(yīng)的a值分別為a1數(shù)學(xué)(理科)參考答案第4頁(共10頁)==^e,a2==^er,所以^e<a<^er.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題,考生依據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.【解析】(1)由于Sn+1=Sn+2Sn-1(n≥2),所以Sn+1+Sn=2(Sn+Sn-1)(n≥2).由于a1=1,a2=1,所以S1=1,S2=2,S1+S2=3.所以數(shù)列〈Sn+1+Sn〉是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.…………………2分所以Sn+1+Sn=3X2n-1,n∈N*,整理可得Sn+1+Sn=2n+2n-1,n∈N*,所以Sn+1-2n=-(Sn-2n-1),n∈N*.所以Sn-2n-1=(-1)n-1(S1-20).………………………4分又S1-20=0,故Sn=2n-1,n∈N*.………………………5分 (2)由于,又a1=1,當(dāng)n≥2,,………8分…………9分=-n●2n-1=(1-n)●2n-1-1.…………………10分所以Tn=(n-1)●2n-1+1.又T1=1Xa1=1滿足上式,所以Tn=(n-1)●*.………12分18.【解析】(1)由圖表可知,非“重度沉迷”的抖音用戶男性有．20+25=45(人),“重度沉迷”的抖音用戶男性有．6人﹔非“重度沉迷”的抖音用戶女性有．20+15=35(人),“重度沉迷”的抖音用戶女性有．14人.…………2分填寫列聯(lián)表如下．非“重度沉迷”“重度沉迷”合計(jì)人數(shù)(男)45651人數(shù)(女)351449合計(jì)8020100…………………4分依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算可得K2=≈4.412>3.841,因此有95%的把握認(rèn)為性別與是否為“重度沉迷”刷抖音有關(guān)系.………6分 (2)由表可知．“重度沉迷”的抖音用戶有6+14=20(人),“中度沉迷”的抖音用戶有25+15=40(人),“輕度沉迷”的抖音用戶有20+20=40(人).抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”與“輕度沉迷”的抖音用戶分別有X20=4(人),X20=8(人),X20=8(人),……………………8分x的全部可能取值為100,150,200,250,300,數(shù)學(xué)(理科)參考答案第5頁(共10頁)則P(x=100)==；P(x=150)==；P(x=200)==；P(x=250)==；P(x=300)==.……………………10分所以x的分布列為:x100150200250300P 619032190 60190 6419028190故購書券總和x的數(shù)學(xué)期望為E(x)=100X+150X+200X+250X+300X=220.………………12分19.19.【解析】(1)方法一:存在.且λ=4.理由如下:由于四邊形ABCD為菱形.所以AB=AD.BD與AC相互垂直且平分.由于ZADC=120".所以ZBAD=60".所以三角形ABD是等邊三角形.由于EDl平面ABCD.ACC平面ABCD.BDC平面ABCD.所以EDlAC.EDlBD.由于EDUBD=D.EDC平面BDEF.BDC平面BDEF.所以ACl平面BDEF.又EMC平面BDEF.所以AClEM.………………………2分過點(diǎn)F作FGlDE于點(diǎn)G.易得四邊形BDGF為矩形.設(shè)AB=ED=FB=2a.則BD=FG=2a.BM=DM=BD=a.由于FB/ED.所以FBlBD.所以+DM2=5a2=GF2+GE2=4a2+(2a-2λa)2.FM2=a2.……………………4分欲使EMl平面AFC.只需EMlMF.……………………5分即EM即EM+FM=EF222.所以.解得λ=4. 14.所以存在實(shí)數(shù)λ.使得EMl平面AFC.且λ=…………64.方法二:存在方法二:存在.且λ=4.理由如下:若EMl平面AFC.又MFC平面AFC.所以EMlMF.即ZDME+ZBMF=.…………………1分由于EDl平面ABCD.FB/ED.所以FBl平面ABCD.由于BDC平面ABCD.所以EDlBD.FBlBD.所以ZMFB+ZBMF=.所以ZMFB=ZDME.………3分所以Rt△MFB~Rt△EMD.故=.即DM.BM=BF.DE=λDE2.……………4分在菱形ABCD中.ZADM=60".所以DM=BM=AD=DE.數(shù)學(xué)(理科)參考答案第6頁(共10頁)所以λ==.由于四邊形ABCD為菱形,所以AB=AD,BD與AC相互垂直且平分.由于ED」平面ABCD,AC仁平面ABCD,所以ED」AC.由于EDnBD=D,ED仁平面BDEF,BD仁平面BDEF,所以AC」平面BDEF.又EM仁平面BDEF,所以AC」EM.因此,λ=時(shí),EM」平面AFC.……………6分 (2)方法一.如圖,以D為原點(diǎn),AB邊上的垂直平分線所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DE所在直線為x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=ED=2FB=2a,則D(0,0,0),E(0,0,2a),A(^a,0),B(^,C(0,2a,0),所以一E=(-^,一F=(^a),一E=(0,-2a,2a).……………7分設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,x),解得令y=1,則平面AEF的一個(gè)法向量為n=(-^,1,-2).……………9分設(shè)平面CEF的法向量為m=(x',y',x'),則(所以(^解得(令y'=1,得平面CEF的一個(gè)法向量為m=(0,1,1).……10分故平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值為…故平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值為……………12分4.方法二.不妨設(shè)DE=AB=2,則BF=1.如圖,作AH」EF,垂足為H,連接CH.易得不AEF蘭不CEF,所以CH」EF.所以三AHC為平面AEF與平面CEF所成角的平面角.………8分在梯形BDEF中,DE」BD,所以EF=^(DE-BF)2+BD2=^5.又AE=^AD2+DE2=2^2,AF=^AB2+BF2=^5,所以不AEF為等腰三角形.…………………9分AE2作FN」AE,垂足為N,則FN=^AF2-4=^.AE2在不AEF在不AEF中,AE.FN=AH.EF,所以AH=^…………………10分 5. 又AC=2^=2^,CH=AH=2^530,所以在不AHC中,cos三AHC==-.……………11分所以平面AEF與平面所以平面AEF與平面CEF所成銳二面角的余弦值為………………12分4.數(shù)學(xué)(理科)參考答案第7頁(共10頁)20.【解析】(1)由于C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1(0)((1(0)(所以=1(p=2.即拋物線的方程為y2=4x.…………………1分依據(jù)拋物線的定義(得t+1=2(所以t=1(s=2(故M(1(2).所以直線MA(MB關(guān)于直線x=1對(duì)稱(即兩直線的斜率之和為0.………2分設(shè)直線MA(MB的方程分別為y-2=k(x-1)和y-2=-k(x-1)(k≠0(且存在)(聯(lián)立方程可得y2-y+-4=0.設(shè)A(x1(y1)(B(x2(y2)(則y1+2=(2y1=-4.……………………3分所以y1=-2代入y2=4x(得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)2(-2.…………………4分同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4-2)2(--2.………5分 -2-(--2)所以k=(-2)(--2)=-=-1(即直線AB的斜率為定值.………6分4-44(2)方法一:設(shè)橢圓C2上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x3(y3)(Q(x4(y4)(PQ的中點(diǎn)為D(x0(y0)(直線AB的方程為y=-x+m(直線PQ的方程為y=x+b.聯(lián)立方程可得3x2+4bx+2b2-2=0.A=16b2-12(2b2-2)>0(所以b2<3(所以x3+x4=-b.……………8分故x0==-b(y0=-b+b=b.代入y=-x+m(可得b=-3m(…………10分所以(-3m)2<3(所以-^<m<^.AB以│∈[0(^).所以原點(diǎn)到直線AB的距離的取值范圍是[0(^).……………………12分方法二:設(shè)橢圓C2上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x3(y3)(Q(x4(y4)(PQ的中點(diǎn)為D(x0(y0).由于kPQ.kAB=-1(所以kPQ=1.…………7分又+y=1(+y=1((x3+x4)(x3-x4)兩式相減(得2+(y3(x3+x4)(x3-x4)所以x3+x4+2kPQ(y3+y4)=0(即x0+2y0=0①.………9分設(shè)直線AB的方程為x+y=m(則x0+y0=m②.由①②可得(y0=-m(x0=2m.……………10分又由于點(diǎn)D在橢圓內(nèi)(所以.數(shù)學(xué)(理科)參考答案第8頁(共10頁)所以原點(diǎn)到直線AB的距離d=│∈[0,^).所以原點(diǎn)到直線AB的距離的取值范圍為[0,^).……………………12分21.【解析】(1)由于f(x)=x(2lnx-1),所以f'(x)=2lnx+1.……………1分所以曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為f'(1)=1.………………2分又f(1)=-1,故曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程是y+1=x-1,即x-y-2=0.……………3分 (2)方法一:h(x)=f(x)+a(1-lnx)=x(2lnx-1)+a(1-lnx)=(2x-a)lnx-x+a.當(dāng)a=0時(shí),h(x)=2xlnx-x,h'(x)=2lnx+2-1=2lnx+1.令h'(x)=0,則x=^.當(dāng)0<x時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在(0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí),h'(x)>0,所以h(x)在(^,+o)上單調(diào)遞增.………………………4分所以h(x)min=h(^)=^ln^-^=-^且h(x)≥h(^).當(dāng)0<x時(shí),lnx<-,2lnx-1<-2,故h(x)<0.由于ln^-^=0,h(x)在(^,+o)上單調(diào)遞增,所以h(x)只有一個(gè)零點(diǎn)x=^,不符合題意.……………………………5分當(dāng)a<0時(shí),h(x)=(2x-a)(lnx-),x>0,令m(令m(x)=lnx-2x-a,由題意可知,h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于m(x)在x>0上有兩個(gè)零點(diǎn).由于m'(x)=>0,所以m(x)在(0,+o)上單調(diào)遞增,m(x)最多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意；……………………………6分當(dāng)a>0時(shí),h()=≠0,此時(shí)x=不是h(x)的零點(diǎn),h(x)=(2x-a)(lnx-),x>0且x≠,x-aa令m(x)=lnx-2x-a,由題意可知,h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于m(x)在x>0且x≠x-aa令令m'(x)=0,解得x=4或x=a,當(dāng)x∈(0,)或x∈(a,+o)時(shí),m'(x)>0,m(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(,)或x∈(,a)時(shí),m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,所以m(x)在(0,)上的最大值為m()=ln-,m(x)在(,+o)上的最小值為m(a)=lna,若m()≤0且m(a)≥0,則m(x)至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.………8分所以m()>0或m(a)<0,即a∈(0,1)U(4e,+o).當(dāng)a∈(0,1)時(shí),m()=ln-<ln-<0,m(a)=lna<0,數(shù)學(xué)(理科)參考答案第9頁(共10頁)aa又當(dāng)x從大于2的方向靠近2時(shí),m(x)→+o；當(dāng)x→+o時(shí),m(x)→+o,此時(shí)m(x)在(0,+o)aa22上有兩個(gè)零點(diǎn).……………10分當(dāng)a∈(4e,+o)時(shí),m()=ln->0,m(a)=lna>0,aa又當(dāng)x從大于0的方向靠近0時(shí),m(x)→-o,當(dāng)x從小于2的方向靠近2時(shí),m(x)→-o,此時(shí)maa ( (0,+o)且x≠2上有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)U(4e,+o).……………………12分方法二:h(x)=f(x)+a(1-lnx)=x(2lnx-1)+a(1-lnx),函數(shù)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程x(2lnx-1)+a(1-lnx)=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根.………………4分由于x=e不是該方程的實(shí)數(shù)根,所以a=由于x=e不是該方程的實(shí)數(shù)根,所以a=lnx-1.……………5分x(2lnx-1)令g(x)=lnx-1(x>0且x≠e),則直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).……………………6分由于g'(x)=(ln由于g'(x)=(lnx-1)2.令g'(x)=0,得x=e或x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)>0；當(dāng)x∈(1,e)U(e,e)時(shí),g'(x)<0；當(dāng)x∈ (e,+o)