線性代數(shù)二次型及其標準型第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三2．用矩陣表示第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三解例１第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三設(shè)四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三證明即為對稱矩陣.第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三說明第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三用正交變換化二次型為標準形的具體步驟第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三4．將正交向量組單位化，得正交矩陣第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三于是所求正交變換為第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三解例3第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三五、小結(jié)1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學們注意這種研究問題的思想方法．2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三化為標準型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三思考題解答第二十五頁，共二十七