數(shù)學物理方法第五章傅里葉變換1第一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三JeanBaptisteJosephFourierMarch211768-May161830

BornAuxerre,France.DiedParisFourierstudiedthemathematicaltheoryofheatconduction.Heestablishedthepartialdifferentialequationgoverningheatdiffusionandsolveditbyusinginfiniteseriesoftrigonometricfunctions.Fouriertrainedforthepriesthoodbutdidnottakehisvows.Insteadtookupmathematicsstudying(1794)andlaterteachingmathematics.Fourier'sworkprovidedtheimpetusforlaterworkontrigonometricseriesandthetheoryoffunctionsofarealvariable.2第二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三In1798hejoinedNapoleon'sarmyinitsinvasionofEgyptasscientificadvisor.HehelpedestablisheducationalfacilitiesinEgyptandcarriedoutarchaeologicalexplorations.HereturnedtoFrancein1801andwasappointedprefectofthedepartmentofIserebyNapoleon.Hepublished"Theacuteorieanalytiquedelachaleur"in1822devotedtothemathematicaltheoryofheatconduction.Heestablishedthepartialdifferentialequationgoverningheatdiffusionandsolveditbyusinginfiniteseriesoftrigonometricfunctions.InthisheintroducedtherepresentationofafunctionasaseriesofsinesorcosinesnowknownasFourierseries.3第三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三正交性第四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三積化和差后容易證明其余三式，例如：5第五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三三角函數(shù)族的物理意義三維（3D）空間基矢(2n+1)D空間(n)基矢

相互正交在一個周期上積分正交(希耳伯空間）第六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三三角函數(shù)族的完備性以

作為f(x)之近似表式,平方平均誤差展開逐項積分，利用正交關系，7第七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三000教材需添加！8第八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三9第九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三10第十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三——三角函數(shù)族的貝塞耳不等式——三角函數(shù)族的完整性方程（巴塞瓦等式）第十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三12第十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（三）Fourier級數(shù)展開其中Fourier展開系數(shù)為：(5.1.3)第十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三0第十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三同理得：Fourier系數(shù)第十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Fourier級數(shù)的收斂性：狄里希利定理

若函數(shù)f(x)滿足條件：（1）處處連續(xù)，或在每個周期中只有有限個第一類間斷點；間斷點的躍度有限。（2）在每個周期只有有限個極值點，則級數(shù)（5.1.3）收斂，且級數(shù)和Fourier級數(shù)也可展開成DIRICHLET,JohannPeterGustavLejeune1805-1859德國數(shù)學家。對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。第十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Fourier展開系數(shù)a0,ak,bk（k=1,2,…,)的物理意義三維(3D)坐標空間基矢(2n+1)D空間(n)基矢17第十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例1、半波整流otE(t)第十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三區(qū)分k=1及k>1兩種情形第十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三第二十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三21第二十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三oE(t)頻率區(qū)分k=1及k>1兩種情形第二十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（二）奇函數(shù)及偶函數(shù)Fourier展開奇函數(shù)展開時:級數(shù)在邊界點x=-l和+l上為零;偶函數(shù)展開時:級數(shù)在邊界點x=-l和+l上導數(shù)為零;函數(shù)f(x)不一定都滿足這樣的性質,如-l+lf(x)=f(-x),f’(l)=f’(-l)23第二十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三奇函數(shù):f(x)=-f(-x)，ak=0偶函數(shù):f(x)=f(-x)，bk=0第二十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例2：方波的Fourier展開,在一個周期內o

f1-1-?x第二十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三s7s1s1s3傅立葉級數(shù)理論中的吉伯斯(J.W.Gibbs,1839—1903)現(xiàn)象：在含有間斷點且滿足狄里希利條件函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)表達式中，即使傅立葉級數(shù)的項數(shù)取得很大，當x靠近間斷點附近時，都會有一個比f(x)在該間斷點附近的函數(shù)值高的過沖，而不等于f(x)在間斷點附近的函數(shù)值．(Nature)第二十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Overshoot第二十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三28第二十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三過沖極限值29第二十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例3：鋸齒波的Fourier展開,在一個周期內解：tf-ll第三十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三31第三十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三32第三十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例4(§5.11)：全波整流信號的Fourier展開,在一個周期內otf1-/(2)/(2)第三十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三特點：整流后產(chǎn)生直流信號，無基頻信號，主要是偶倍頻信號。34第三十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（三）有限區(qū)間上函數(shù)的Fourier展開，奇偶延拓xf(x)-l0l2l3l偶延拓第三十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三xf(x)-l0l2l3l奇延拓第三十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三對于實函數(shù)（四）復數(shù)形式的Fourier展開第三十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三§5.2Fourier積分和Fourier變換（一）實數(shù)形式的Fourier變換構造周期函數(shù)g(x)f(x)非周期函數(shù)f(x)-llxg(x)x-ll第三十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三因此，g(x)的Fourier級數(shù)：引進第三十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

余弦部分第四十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

正弦部分第四十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三傅立葉積分定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間上滿足條件（1）f(x)在任一有限區(qū)間上滿足狄里希利條件，(2)f(x)在上絕對可積（即收斂），則f(x)可表成傅立葉積分，且——傅立葉積分——傅立葉變換第四十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

媽媽開了個淘寶店，歡迎前來捧場

媽媽的淘寶點開了快半年了，主要賣的是毛絨玩具、坐墊、抱枕之類的，感覺媽媽還是很用心的，花了不少功夫，所以我也來出自己的一份力，幫忙宣傳一下。 并且媽媽總是去五亭龍?zhí)糇詈玫耐婢哒?、發(fā)貨，質量絕對有保證。 另外我家就在揚州五亭龍玩具城旁邊，貨源豐富，質量可靠，價格便宜。歡迎大家來逛逛【揚州五亭龍玩具總動員】

99個人小廣告：43第四十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三奇函數(shù)f(x)偶函數(shù)f(x)第四十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三傅立葉正弦變換對傅立葉余弦變換對Fourier積分和Fourier變換的對稱形式-波矢第四十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例1方波脈沖的Fourier變換解：tf(t)T-Th第四十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例2正弦波串的Fourier變換f(t)t第四十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三第四十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三第四十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（二）復數(shù)形式的Fourier變換

Fourier變換對的對稱形式F()(像函數(shù)）稱為f(x)(原函數(shù)）的Fourier變換。事實上，F(xiàn)()和f(x)互為逆Fourier變換。??第五十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例3矩形脈沖的Fourier變換其中?請注意這里復數(shù)形式Fourier變換的結果，為余弦形式Fourier變換結果（1/2）。第五十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（三）Fourier變換的基本性質:（1）導數(shù)定理:

??第五十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

（2）積分定理:證：記則即

?????（上一頁證明）??第五十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（3）相似性定理:

令???第五十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三(4)延遲定理:令????第五十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三 (5)位移定理:

??第五十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

(6)卷積定理: 其中卷積定義為:證：交換積分次序???第五十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三在對x的積分中，令：?第五十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（四）多重傅立葉積分對3

維情形：對n維情形，同樣可得到：

第五十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

引入第六十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Fourier變換的意義和應用高值高頻率成份高k值短波長成份61第六十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三原始f1(t)實驗數(shù)據(jù)原始f(t)的Fourier變換F1()F2()——F1()過濾掉高頻率部分后的結果。f2(t)——F2()的Fourier積分62第六十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三原始f1(t)實驗數(shù)據(jù)原始f(t)的Fourier變換F1()F2()——F1()過濾掉高頻率部分后的結果。f2(t)——F2()的Fourier積分63第六十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Scanningelectronmicrographs(SEM)andtheir2DFourierfrequencymagnitudedistributions(FFMD).(a)SEMofheavilycoatedoxidetakenfollowingatipchange.(b)2DFFMDofimage(a).(c)SEMofthesamesampleasabove,buttakenwhentheinstrumentisfunctioningatahighlevelofperformance.(d)2DFFMDofimage(c).NotethattherearemorehighfrequencyelementspresentintheFFMDfromFigure1c.64第六十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三§5.3函數(shù)（DiracDeltaFunction）(一)函數(shù)一般函數(shù)無法描寫物理上的“點源”，如“點電荷”、“質點”的密度，以及“瞬時力”等概念?？紤]右圖的密度分布函數(shù)：顯然函數(shù)的積分為m，并且與l無關xl/2m/lo-l/2第六十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三得質點及其密度但質點密度分布得直觀圖像

引入：第六十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三廣義函數(shù)函數(shù)應在積分意義下理解函數(shù)的量綱質點密度：點電荷密度：瞬時力：

ox第六十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（二）函數(shù)的性質1、函數(shù)是偶函數(shù)，其導數(shù)是奇函數(shù)第六十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三H(t)to12、研究積分

H(x)：階躍函數(shù)或亥維賽單位函數(shù)H(x)是(x)的原函數(shù)第六十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三3、對函數(shù)證：應用中值定理函數(shù)的挑選性有時以此式作為

函數(shù)的定義00第七十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三4、連續(xù)量的函數(shù)表示連續(xù)力沖量瞬時力持續(xù)力第七十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三5、函數(shù)的函數(shù)的實根全為單根有證：第七十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三Dirac梳xo第七十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三左邊右邊：等于,從而第七十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三75第七十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三特例：76第七十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（三）

函數(shù)的Fourier變換第七十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（四）函數(shù)是一種廣義函數(shù)計算積分（5.3.14）又：第七十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三應在積分意義下理解以上三式（1）（2）（3）第七十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（1）ol/2-l/2h=1/lxf(x)?[]第八十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三

（2）sinc函數(shù)序列：

第八十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（3）

函數(shù)序列：x第八十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三積分驗證：（1）（2）第八十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（3）均符合函數(shù)的定義第八十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三廣義傅立葉變換例：???第八十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例1?xyod(r,,)zrddrrd(rsin)ddV=(dr)(rd)[(rsin)d]=r2sin

drddrsin第八十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三?87第八十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三例2求價躍函數(shù)的Fourier變換。解：????1第八十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三?第八十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三?第九十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期三（五）多維函數(shù)和其他形式的函數(shù)：一、多維函數(shù)可定義為：

二、平面極坐標：