陜西省數(shù)學(xué)第六章圖形的性質(zhì)(二)第26講圓的弧長和圖形面積的計算要點梳理

1．弧長及扇形的面積(1)半徑為r，n°的圓心角所對的弧長公式：

；(2)半徑為r，n°的圓心角所對的扇形面積公式：_

．要點梳理

2．圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，假設(shè)設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr.(1)圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)＝；(2)圓錐全面積公式：S圓錐全＝．πrlπrl＋πr2要點梳理

3．求陰影局部面積的幾種常見方法(1)公式法；(2)割補法；(3)拼湊法；(4)等積變形構(gòu)造方程法；(5)去重法．一種聯(lián)系圓錐的側(cè)面是一個扇形，因而其面積是一個扇形的面積，其扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是底面的周長．在求圓錐側(cè)面積或全面積的時候，常需要借助于它的展開圖進行分析，因此理清圓錐與它的展開圖中各量的關(guān)系非常重要，下面圖示可以幫助我們進一步理解它們之間的關(guān)系．一種轉(zhuǎn)化最短距離問題，通常借助于展開圖來解決．在將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形后，應(yīng)把題中條件轉(zhuǎn)化到具體的線段中，最后構(gòu)造直角三角形解題．兩個技巧(1)求運動所形成的路徑長或面積時，關(guān)鍵是理清運動所形成圖形的軌跡變化，特別是扇形，需要理清圓心與半徑的變化；(2)處理不規(guī)那么圖形的面積時，注意利用割補法與等積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)那么圖形，再利用規(guī)那么圖形的公式求解．三個等量關(guān)系(1)展開圖扇形的弧長＝圓錐底面圓的周長；(2)展開圖扇形的面積＝圓錐的側(cè)面積；(3)展開圖扇形的半徑＝圓錐的母線．弧長公式的應(yīng)用【例1】

(2013·遵義)如圖，將邊長為1

cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動(不滑動)，點B從開始到結(jié)束，所經(jīng)過路徑的長度為(

)

A.32π

cm

B．(2＋23π)cm

C.43π

cm

D．3

cm

C5．(2014·河北)如圖，邊長為a的正六邊形內(nèi)有兩個三角形(數(shù)據(jù)如圖)，則S陰影S空白＝(

)

A．3

B．4

C．5

D．6

C【點評】此題考查了弧長的計算，解答此題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，從開始到結(jié)束經(jīng)過兩次翻動，求出點B兩次劃過的弧長，即可得出所經(jīng)過路徑的長度．注意熟練掌握弧長的計算公式．1．(2014·龍東)一圓錐體形狀的水晶飾品，母線長是10

cm，底面圓的直徑是5

cm，點A為圓錐底面圓周上一點，從A點開始繞圓錐側(cè)面纏一圈彩帶回到A點，則彩帶最少用多少厘米(接口處重合部分忽略不計)(

)

A．10π

cm

B．102

cm

C．5π

cm

D．52

cm

B扇形面積公式的運用【例2】如圖，BD是汽車擋風(fēng)玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，當BD繞點O旋轉(zhuǎn)90°時，求刮雨刷BD掃過的面積．解：在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，

OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積為扇環(huán)的面積，即S陰影＝S扇形AOB－S扇形COD＝14π(OA2－OC2)＝

14π×(652－152)＝1000π(cm2)

【點評】

陰影部分一般都是不規(guī)則的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路，一是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和、差；二是進行圖形的割補．此題可利用圖形的割補，把△OAC放到△OBD的位置．扇形面積公式和弧長公式容易混淆．S扇形＝n360πR2＝12lR.

2．(2014·萊蕪)如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到A′的位置，則圖中陰影部分的面積為(

)

A．π

B．2π

C.π2

D．4π

B圓錐的側(cè)面展開圖【例3】

(1)(2021·黔南州)如圖，圓錐的側(cè)面積為15π，底面圓半徑為3，那么該圓錐的高AO為()A．3B．4C．5D．15B(2)(2014·牡丹江)如圖，如果從半徑為3

cm的圓形紙片上剪去13圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的底面半徑是____cm.

2【點評】就圓錐而言，“底面圓的半徑〞和“側(cè)面展開圖的扇形半徑〞是完全不同的兩個概念，要注意其區(qū)別和聯(lián)系，其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長；圓錐的底面半徑、母線和高組成了一個直角三角形．3．現(xiàn)有30%圓周的一個扇形彩紙片，該扇形的半徑為40cm，小紅同學(xué)為了在六一兒童節(jié)聯(lián)歡晚會上表演節(jié)目，她打算剪去局部扇形紙片后，利用剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，求剪去的扇形紙片的圓心角度數(shù)．解：∵圓錐的母線長為40，底面半徑為10，∴圓錐展開圖的圓心角＝2040×180°＝90°，∴剪去扇形紙片的圓心角度數(shù)＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°

求陰影局部的面積【例4】

(2014·黔西南州)如圖，點B，C，D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B＝∠A＝30°，BD＝23.

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)求由線段AC，AD與弧CD所圍成的陰影局部的面積．(結(jié)果保存π)【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角