1虛位移原理虛位移原理是靜力學(xué)的普遍原理，它給出了質(zhì)點(diǎn)系平衡的充分和必要條件。什么是虛位移什么是虛功什么是虛位移原理的適用條件由

伯

努

利（Bornoulli，1717)提出的由

拉格朗日（Lagrange，1764)完善的2§4-4、虛位移與虛功jqOq

=900O一、虛位移虛位移（virtualdisplacement)：在給定瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)(系)為約束容許

的任何

微小位移。dr虛位移特點(diǎn)[drA

]AB

=

[drB

]AB1、不同瞬時(shí)或位置，虛位移不同2、必須滿(mǎn)足約束條件3、是無(wú)限小的，不是有限位移4、虛位移不只有一個(gè)或一組{drA

,drB

}{drA

,drB

}A

dr

ABB

drdrAdrBjAdrAdrB

B

drBdrA3jq

=900OF§4-4、虛位移與虛功二、虛功虛功（virtual

work)：dW

=

F

?dr作用于質(zhì)點(diǎn)(系)上的力在虛位移上所作的功。F

=

Fx

i

+

Fy

j

+

Fz

kdr

=

dxi

+

dyj

+

dzkdW

=

Fxdx

+

Fydy

+

FzdzdrB

B例：若OA桿的虛位移為dq

，OA＝R

，求力F

的虛功。dqdW

=

F

?drB=

F

?drA=

FRdqdrB

=

drAdrA

A4§4-5、理想約束理想約束(idealconstraint)：質(zhì)點(diǎn)系中所有約束力 在任何虛位移上所作虛功之和為零的約束。n

FNi

?dri

=

0i=15、剛體在固定面上純滾動(dòng)(不計(jì)滾阻力偶)討論：哪些約束是理想約束。1、光滑固定面和可動(dòng)鉸鏈支座2、光滑固定鉸鏈和軸承ABjqdrABdrFN3、連接物體的光滑鉸鏈4、二力桿和不可伸長(zhǎng)的柔索

FoxFoyOAF

'AF5§4-5、理想約束例題：若斜塊A和滑塊B之間（1）：有摩擦；（2）：無(wú)摩擦。則該系統(tǒng)是否是理想約束AB地面光滑n

FNii

=1dri

=

0

?（1）：有摩擦

是非理想約束n

FNii

=1dri

=

0NB)

?dr

+

(F

+

F

)

?dr1

NB

SB

2=

(FNB

+

FSB=

(FNB

+

FSB

)

?dr1

=

FSB

?dr1

<

0（2）：無(wú)摩擦是理想約束22+

F

'

)

?dr

+

F

?drN

1SA(F

+

F

)

?(dr

+

dr

)

+

(F

'SB

1

2

NA22)

?dr

+

F

?drN

1+

(F

'

+

F

'NA

SAFNBSBFNAF

''SAFFN1dr2dr16§4-6、虛位移原理一、虛位移原理(virtual

work

principle)虛位移原理：具有雙面、完整、定常、理想約束的靜止的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的充要條件是：該質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在系統(tǒng)的任何虛位移上所作的虛功之和等于零。ni

=1

Fidri

=

0ni

=1

Fidri

=

0證明必要性：平衡Fi

+

FNi

=

0 (i

=1,,

n)n

(Fi

+

FNi

)

?dri

=

0i=1=

0n

n

Fi

?dri

+

FNi

?drii

=1

i

=1||0iNiFiidr

F7§4-6、虛位移原理例：已知OA=L，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，力偶矩M與力F的關(guān)系（不計(jì)摩擦）m1

gABjm2

gFMqO1CC2q

=

900m3

g基本步驟：確定系統(tǒng)是否滿(mǎn)足原理的應(yīng)用條件分析主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移求主動(dòng)力的虛功之和n

Fii

=1dri

=

08Bj2m

gFMm1

gO§4-6、虛位移原理M

=

LFdrB2drCdW

=

0m3

gFdr

-

Mdq

=

0BFL

dq

-

M

dq

=

(

FL

-

M

)dq

=

0

dq

?

0ABAB[drA

]

=

[drB

]

drA

=

drB

drA

=

drB

=

LdqdqLF

-

M

=

0AdrA1drC9§4-6、虛位移原理MOOxFFOyFAyAC1m1

g

O研究OA桿M

=

0F

L

-

M

=

0

(1)Ax研究AB

桿和滑塊BxF

=

0F

-

F

=

0

(2)Ax(2)

·

(-L)

+

(1)FL

-

M

=

0m1

gABj2m

gFMqOC1C2q

=

900m3

gFAxBFAy

FNFAx

ABm2

gFC2m3

g平衡方程的求解方法10§4-6、虛位移原理F1F2jBa

a

aCMDDMAA例：結(jié)構(gòu)及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。n

Fii=1dri

=

011§4-6、虛位移原理例：結(jié)構(gòu)及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。a

a

a1jBMDDAMAdqdr2F2CdrC1drF

db解：固定端A變成固定鉸鏈約束力偶變?yōu)橹鲃?dòng)力偶2dr

=

2

adqdrC

=

dr2C31dr

=

1

drF1dr1

+

F2dr2

-

M

Adq

=

031

2)dq

=

0A(

F

2a

+

2aF

-

Mdq

?

032A

1M

=

2a(1

F

+

F

)12§4-6、虛位移原理二、虛位移原理的廣義坐標(biāo)形式dri

=

dxi

i

+

dyi

j

+

dzi

kn

ndWi

=

Fi

?dri

=

0i=1

i=1Fi

=

Fix

i

+

Fiy

j

+

Fiz

k,n

(Fixdxi

+

Fiydyi

+

Fizdzi

)

=

0i=1i

i

1

k

zi

=

zi

(q1,,

qk

)

y

=

y

(q

,,

q

)

xi

=

xi

(q1,,

qk

)idxidyidz若質(zhì)點(diǎn)系有k個(gè)自由度，力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為：如何求ri

=

xi

i

+

yi

j

+

zi

k13§4-6、虛位移原理i

i

1

k

yi

=

yi

(q1,,

qk

)

zi

=

zi

(q1,,

qk

)

x

=

x

(q

,,

q

)k?xj

=1

?q

j i

dq

jdxi

=k?yj

=1

?q

j i

dq

jdyi

=k?zj

=1

?q

j i

dq

jdzi

=yxl1l2qj1m

g2m

gFO例如：x1

=

l1

sinqx2

=

l2

sinq

+

l2

sin

jdx1

=

l1

cosqdqdx2

=

l2

cosqdq

+

l2

cosjdj1

1y

=

l

cosqy2

=

l2

cosq

+

l2

cosjdy1

=

-l1

sinqdqdy2

=

-l2

sin

qdq

-

l2

sin

jdjdq、dj

是獨(dú)立的14§4-6、虛位移原理ndW

=

(Fixdxi

+

Fiydyi

+

Fizdzi

)

=

0i=1k

i

i?xdx

=k

i

j

i?ydqdq

dy

=kj

i

j

i

?zj

=1

?q

jdqdz

=j

=1

?q

jnkjj

i

ix

i=1

j

=1?q?xdW

=

(F=niziy

ix?z+

F?y+

F?x1

i

?q1

i

?q1

i

?q1(F)dq

+dq

)

+j

=1

?q

jnk

i=1

j

=1jj

i

iy?q?y(Fdq

)

+nk

i=1

j

=1jj

i

iz?q?z(Fdq

)+i=1nkiziyix

i

?qk?z+

F

i

?qk?y+

F

i

?qk?xi=1(F)dqkj

jj

=1=

Q

dqjknj

i

izj

i

iyj

i

ixq

?q?z+

F?q?y+

F?q?x=j

=1

i=1)

d(F=

0§4-6、虛位移原理kj

jj

=1dW

=

Q

dqniziyixj

i

?q

j+

F

i

?q

j+

F

i

?q

j?x

?y

?zQ

=i=1)(F其中：Qj

稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于qj

的廣義力廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理：具有雙面、定常、完整、理

想約束的靜止質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置保持平衡的充要條件是：該質(zhì)點(diǎn)系所有的廣義力均為零。Qj

=

0,(

j

=

1,,

k

)15kdW

=

Qjdq

j

=

0j

=1§4-6、虛位移原理例題:已知各長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為W

，求維持平衡所需力F

的大小?(i

=

1,2,3,4)Lyi

=

2

cosq,(4WLsinq

-

4FL

cosq)dq

=

0Qdq

=

0解：

(Fixdxi

+Fiy

dyi

)=02W2W2W2WqqFxy12345Q

=

02idy

=

-

L

sinqdq

dq

?

0F

=W

tanq16Fix

=

0,

Fiy

=

-2Wx5

=

4L

sinq

dx5

=

4L

cosqdqF5x

=

-F,

F5

y

=

017§4-6、虛位移原理例：求系統(tǒng)的平衡位置。若已知：l1

=