第44講第44講

直線的傾斜角與斜率、直線的方程考綱要求在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．第44講第44講知識(shí)梳理1．直線的傾斜角和斜率(1)直線的傾斜角：①定義：平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與

x軸相交的直線，把

x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小

正角

稱為直線的傾斜角．當(dāng)直線和

x

軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為

；0°②范圍：傾斜角

α

的范圍是0°≤α<180°

．(2)斜率：①定義：一條直線的傾斜角

α

的

正切值

叫做這條直線的斜率．；當(dāng)直線的傾斜角α≠90°時(shí)，該直線的斜率k＝

tanα當(dāng)直線的傾斜角等于

90°時(shí)，直線的斜率

不存在

．②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，2

1

2y

)(x

≠x

)的直線的斜率公式k＝.1

2為90°.2．直線的方程(1)點(diǎn)斜式和斜截式：已知一點(diǎn)(x1，y1)及斜率

k

時(shí)，直若

x

＝x

，則直線的斜率

不存在

，此時(shí)直線的傾斜角線方程為 ；當(dāng)已知點(diǎn)為(0，b)時(shí)，化為y＝kx＋b，但應(yīng)注意點(diǎn)斜式和斜截式不包括與x軸垂直的直線．第44講y2－y1 x

－x

2

1y－y1＝k(x－x1)(2)兩點(diǎn)式和截距式：已知兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)時(shí)，直線方程為x

y化為a＋b＝1，但應(yīng)注意兩點(diǎn)式和截距式不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線，且截距式表示的直線不過(guò)原點(diǎn)．(3)一般式：任何一條直線都能表示為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的形式．當(dāng)A＝0時(shí)，則表示平行于x軸的直線；當(dāng)B＝0

時(shí)，則表示平行于y

軸的直線；BA

C當(dāng)B≠0

時(shí)，直線的斜率k＝－，在y

軸上的截距b＝－B.第44講y－y1

＝

x－x1，當(dāng)它經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)時(shí)， y

－y x

－x

2

1

2

1問(wèn)題思考問(wèn)題1

傾斜角與斜率(1)任何直線都有傾斜角；(

(2)任何直線都有斜率．(第44講))[答案]

(1)對(duì)

(2)錯(cuò)[解析] (1)直線的傾斜角的范圍是[0，π)，所以任何直線都有傾斜角；(2)傾斜角為

90°的直線沒(méi)有斜率．第44講問(wèn)題

2

直線的方程經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；(

)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

A(0，b)的直線都可以用方程

y＝kx＋b

表示；(

)x＋y＝1

表示；(

)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用a

b經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

)[答案](1)錯(cuò)(2)錯(cuò)(3)對(duì)第44講[解析](1)斜率不存在時(shí)不能用y－y0＝k(x－x0)表示；(2)斜率不存在時(shí)不能表示為y＝kx＋b；(3)當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸時(shí)不能表x

y示為a＋b＝1；(4)該直線方程可以表示坐標(biāo)平面上的所有直線．第44講問(wèn)題3反之亦然．(凡能用兩點(diǎn)式表示的直線都可以用斜截式表示，)[答案]錯(cuò)[解析]能使用兩點(diǎn)式表示的直線和兩條坐標(biāo)軸不平行，這樣的直線一定存在斜率和在y軸上的截距，所以可以使用斜截式表示；能用斜截式表示的直線當(dāng)斜率k≠0，可在直線上任取兩點(diǎn)使用兩點(diǎn)式表示，當(dāng)斜率k＝0

時(shí)，由于直線上任意兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，此時(shí)不能使用兩點(diǎn)式表示．第44講問(wèn)題

4

已知直線

l

的傾斜角為

α，且直線

l1與直線

l

關(guān)于x

軸對(duì)稱，則直線l1

的傾斜角α1

可以表示為α(α＝0°)，180°－α(0°<α<180°).α1＝

(

)[答案]對(duì)第44講[解析]

當(dāng)直線

α＝0°時(shí)，直線

l，l1

平行或者重合，此時(shí)

α1＝0°；當(dāng)α≠0°時(shí)，如圖，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系α1＝180°－α，故α1＝α(α＝0°)，180°－α(0°<α<180°).這說(shuō)明當(dāng)傾斜角不等于零的兩條直線關(guān)于x

軸對(duì)稱時(shí)，兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，如果傾斜角不等于90°，則兩條直線的斜率互為相反數(shù)．要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1 直線的傾斜角和斜率第44講例

1

(1)過(guò)

P(4，－3)，Q(2，y)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是

43π，則

y

的值是(

)A．－5

B．－1

C．1

D．5(2)已知過(guò)點(diǎn)

P(1－a,1＋a)與點(diǎn)

Q(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)

a

滿足的條件是(

)2A．－2<a<1

B．－1<a<2

C．1<a<2

D

1<a<1．－第44講3π[思路](1)根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，即直線的斜率是tan

4＝－1；(2)傾斜角為鈍角時(shí)，直線的斜率為負(fù)值，根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式，求出斜率解不等式即可．[答案](1)B(2)A第44講y＋3[解析](1)由43π2－

＝tan

4

＝－1

解得y＝－1.故選B.2a－(1＋a)

a－1(2)tanα＝k＝

3－(1－a

＝a＋2<0，即(a－1)(a＋2)<0，故得)－2<a<1.第44講[點(diǎn)評(píng)] 直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系在解題中往往相互轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的一個(gè)方面向另一個(gè)方面的過(guò)渡．當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)直線的傾斜角為

90°時(shí)，直線斜率不存在；當(dāng)直線的傾斜角為

0°時(shí)，直線的斜率為零．第44講變式題數(shù)a

的值為((1)過(guò)點(diǎn)M(－2，a)和N(a,4)的直線的斜率為1，則實(shí))A．1

B．2 C．1

或

4 D．1

或

2(2)直線

l

過(guò)點(diǎn)

A(2,1)和

B(1，m2)(m∈R)，那么直線

l

的傾斜角的取值范圍是(

)A.0，Cππππ4

B.0，4∪2，π

π

π

π.4，2

D.4，2

[答案](1)A(2)B第44講4－a[解析]

(1)即 ＝1，由此解得

a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋a＋21≤1，利用正切線即得．探究點(diǎn)2直線方程的求法第44講3)x＋3的例

2(1)過(guò)點(diǎn)

P(－1,3)，且傾斜角比直線

y＝(2－傾斜角大

45°的直線的方程是(

)A. 3x＋y＋3＋

3＝0B．(3－2

2)x＋y＋3＋2

2＝0C. 3x－y＋3＋

3＝0D．(3＋2

2)x－y＋6＋2

2＝0第44講(2)已知等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)

A(0,0)，B(4,0)，且第三個(gè)頂點(diǎn)在第四象限，則

BC

邊所在的直線方程是(

)A．y＝－

3x

B．y＝－C．y＝

3(x－4)

D．y＝3(x－4)3(x＋4)(3)過(guò)點(diǎn)(5,2)，且在

x軸上的截距是在

y軸上的截距的

2倍的直線方程是(

)A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0

或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0

或2x－5y＝0第44講[思路](1)求出已知直線的傾斜角得所求直線的傾斜角，進(jìn)而得所求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；(2)根據(jù)三角形的頂點(diǎn)位置確定BC

邊所在直線的傾斜角，根據(jù)點(diǎn)斜式求解；(3)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都等于零，滿足題目要求；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x

＋y＝1，2b

b將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出系數(shù)b

即可．[答案](1)C(2)C(3)D第44講[解析](1)已知直線的斜率k1＝2－3＝tan15°，∴所求直線的傾斜角為60°，∴所求直線的斜率k＝tan60°＝

3，由點(diǎn)斜式得所求直線的方程為y－3＝

3(x＋1)，即3x－y＋3＋3＝0.(2)點(diǎn)A，B

在x

軸上，第三個(gè)頂點(diǎn)在第四象限，說(shuō)明直線BC

的傾斜角是π，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,0)，故所求的直線方程是y＝

3(x－4)；352(3)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝

x，即2x－5y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x

＋y＝1，則522b

b

2b＋b＝1，解得

b＝9

x

2y2，故所求的直線方程是9＋9

＝1，即x＋2y－9＝0.第44講[點(diǎn)評(píng)]直線方程中點(diǎn)斜式方程最為根本，但要注意這個(gè)形式的方程，當(dāng)直線的傾斜角等于90°時(shí)，不能應(yīng)用；求直線方程關(guān)鍵是求出確定直線的幾何要素，即直線的傾斜角和直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，只要這兩個(gè)要素清楚了，就可以寫(xiě)出直線方程；使用直線的截距式方程時(shí)，要始終考慮兩個(gè)問(wèn)題，一是直線的截距是不是存在，二是直線的截距是不是零，不然很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．第44講變式題

(1)過(guò)點(diǎn)(2,1)，且傾斜角比直線

y＝－x－1

的傾斜角π小4的直線方程是(

)A．x＝2

B．y＝1

C．x＝1

D．y＝21(2)已知直線l

過(guò)點(diǎn)P(－1,1)，且與直線l1：2x－y＋3＝0

及x軸圍成一個(gè)底邊在x

軸上的等腰三角形，給出下列結(jié)論：①直線l

與直線l1

的斜率互為倒數(shù)；②直線l

與直線l1

的傾斜角互補(bǔ)；③直線l

在x

軸上的截距為2；④直線l

在y

軸上的截距為－1；⑤這樣的直線l

有兩條．則其中正確結(jié)論的序號(hào)是

．第44講[解析]

(1)直線

y＝－x－1

的斜率是－1，故其傾斜角是3π4

，π∴所求直線的傾斜角是