2.1平面向量的實際背景及基本概念（教學設計）[教學目標]一、知識與能力：理解向量、零向量、單位向量、平行向量的概念：掌握向量的幾何表示，會用字母表示向量；理解相等向量與共線向量的含義.二、過程與方法：通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.三、情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)對現(xiàn)實世界中的數(shù)學現(xiàn)象的好奇心，學習從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題．[教學重點]向量的概念，向量的幾何表示．[教學難點]向量的概念．[教學要求]向量概念的教學應從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學生理解向量和運用向量解決實際問題都是十分重要的。[教學過程]一、創(chuàng)設情境，問題激疑問題1：我們已經(jīng)知道位移是既有大小，又有方向的量。請再舉出一些這樣的量．學生思考討論，舉出物理學中既有大小，又有方向的量，例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。在學生討論的基礎(chǔ)上，抽象概括出向量的概念：數(shù)學中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒有方向的量，稱為數(shù)量（或標量）。教師提問，學生回答，并再次強調(diào)向量的兩要素。有學生總結(jié)判斷方法。課堂練習1：判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）質(zhì)量；（4）路程；（5）面積；（6）電流強度.二、自主探究：向量的表示1．幾何表示：用有向線段表示向量，以為起點，為終點的向量記作向量，注意起點在前，終點在后。2．字母表示：印刷體可用黑體小寫字母表示向量，手寫時寫成帶箭頭的小寫字母，如。3．圖示表示：4．向量的模向量的長度稱為向量的模，如向量的模記作，向量的模記作。零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作。單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量。思考：兩個向量能否比較大?。績蓚€向量的模能否比較大?。?．平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，通常記作。規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量，都有。例1（課本P75例1）試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示地至兩地的位移，并求出地至兩地的實際距離（精確到1km）。變式訓練1：（1）某人東行100米，后轉(zhuǎn)南行米，則這時他位移的方向是__________.（東偏南）（2）某人向正東方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人走過的路程是________，其位移的長度是___________.（7千米、5千米）6．相等向量的概念長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如圖，有向線段表示的向量a與b相等，記作a=b.任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定。提出問題：怎樣的向量是相等向量？教師演示，讓學生歸納定義。7．共線向量如圖，a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，則可在l上分別作出a，b，c，可見任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量。例2：（1）向量和向量，這兩個向量相等嗎？這兩個向量的模相等嗎？（2）用有向線段表示兩個相等的向量，如果它們的起點相同，那么它們的終點是否相同？（3）如果，四邊形一定是平行四邊形嗎？變式訓練2：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3：判斷下列說法是否正確，并說明理由：（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）（2）長度相等且方向相同的向量叫相等向量；(V)（3）向量的模是一個正實數(shù)；(x)（4）若|a|=|b|，則a=b或a=-b；(x)（5）零向量只有大小沒有方向。(v)變式訓練3：下列各種情況中向量終點各構(gòu)成什么圖形？（1）把所有單位向量起點平移到同一點；（2）把平行于某一直線的所有單位向量的起點平移到同一起點；（3）把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點.解：（1）單位圓；（2）兩個點（相距兩個單位長度）；（3）構(gòu)成一條直線.三、合作探究例4（課本P76例2）如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與相等的向量.解：；；.變式訓練4：下列命題正確的是（C）A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行精講點撥1．在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動；2．相等向量：長度（模）相等且方向相同的向量；3．共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。鞏固訓練1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；（）②單位向量都相等；（）③任一向量與它的相反向量不相等；（）④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當＝；（）⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0；（）⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同。（）.解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2、下列關(guān)于零向量的說法中，錯誤的是（B）。（A）零向量的長度為零（B）零向量是沒有方向的（C）零向量的方向是任意的（D）零向量與任一向量平行3、命題中，不正確的是（D）。（A）向量的長度與向量的長度相等。（B）任一非零向量都可以平行移動。（C）兩個相等的向量，若它們的起點相同，則其終點也相同。（D）長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量。4、如圖中DE//BC，則下列結(jié)論正確的是（A）。（A）和共線（B）和共線（C）和共線（D）和共線5、有下列命題中，正確的是（D）。若，則（B）若，則（C）若，則與就不是共線向量（D）若，則拓展延伸一質(zhì)點從平面內(nèi)一點出發(fā)，向北前進米后，右轉(zhuǎn)，再前進，再右轉(zhuǎn)，按此方法繼續(xù)前進，求前進多少次，該質(zhì)點第一次回到點.解：（由平面幾何知識易知，質(zhì)點所經(jīng)過的路線是一個邊長為的正18邊形，所以前進18次后，該質(zhì)點第一次回到點）【學情分析】對比于初中學生，高中學生在感知覺方面更有目標性、系統(tǒng)性，他們比較自覺系統(tǒng)的配合教學的進行，思維上開始從形象向抽象思維過度，但在記憶上抽象記憶不如形象記憶好。高一學生已經(jīng)有了一定的數(shù)學基礎(chǔ)知識，對于利用已有知識創(chuàng)造出新的概念、理論的能力很弱。同時，本節(jié)課的授課對象是我校美術(shù)班，學生底子薄，基礎(chǔ)差，好的學習習慣需要進一步養(yǎng)成，因此我通過知識的歸納，問題的驅(qū)動、實驗探究來使學生主動參與到學習中來，并加以培養(yǎng)和教育。在學生建立向量的概念之初，與數(shù)、形的相關(guān)概念類比與聯(lián)系是值得重視的。在學生的已有經(jīng)驗中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。因此在具體教學中，我設計了一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認識向量的集合，類比直線的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系。使學生從中體會到認識一個數(shù)學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。在向量的幾何表示中，我讓學生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導，學生補充改進，最終明確向量幾何表示的正確方法。整個過程全體同學熱情參與，自我教育，互幫互學，課堂氣氛生動活潑。當同學們能將向量正確的幾何表示時，我又適時地提出問題：大家畫出的線段長短不一，怎么解決？由此自然過渡到單位長度上，使得單位向量的引入也就順理成章了。為了幫助學生學習相等向量、平行（共線）向量的概念，本課設計了“傳花游戲”，通過學生之間傳遞花朵所產(chǎn)生的位移向量，讓學生積極參與，仔細觀察，自己概括出概念的本質(zhì)特征，將課堂氣氛推向一個新的高潮。在結(jié)束本課之前，為了讓同學對向量加深印象，我讓學生先欣賞一首關(guān)于向量的詩歌，再讓學生在課外動筆寫出自己對向量的感受。本節(jié)課是從現(xiàn)實世界的常見實例出發(fā)，以學生自主探究的教學方式為主。在課堂上，創(chuàng)建了一個以全班學生共同參與的向量游戲平臺，讓學生在輕松愉悅的課堂環(huán)境中，共同參與，共同討論，共同分析，讓學生自然地、水到渠成的完成本節(jié)內(nèi)容的學習。整節(jié)課，我留給學生充足的時間，讓學生參與概念本質(zhì)特征的概括活動過程，從而達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的最終目的！1．下列物理量中不是向量的個數(shù)是（）．（1）質(zhì)量（2）速度（3）力（4）加速度（5）路程（6）密度（7）功（8）電流強度A．5B．4C．3D．22．下列說法中錯誤的是（）．A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段B．若向量與不共線，則與都是非零向量C．長度相等但方向相反的兩個向量不一定共線D．方向相反的兩個非零向量必不相等3．下列說法正確的是（）．①零向量的長度為零，方向是任意的；②若，是單位向量，則=；③若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線．A．①B．②C．③D．①和③4．如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A、B、C、D、E、F、O中的任意一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()A．6個 B．7個C．8個 D．9個5．若||＝||且＝，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形6．在同一平面上，把所有長度為1的向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（）．A．一條線段B．一段圓弧C．圓上一群孤立的點D．一個半徑為1的圓7．四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點M，則下列關(guān)系不一定成立的是()A．||＝||B.與共線C.與共線D.與共線8．下列命題正確的是()A．向量與共線，向量與共線，則向量與共線B．向量與不共線，向量與不共線，則向量與不共線C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點一定共線D．向量與不共線，則與都是非零向量9．對于下列命題：①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共線；④共線的單位向量一定相等；⑤共線的兩個向量一定在同一條直線上。其中真命題的序號為。10．已知、、為非零向量，且與不共線，若∥，則與必定________．11．若某人從點出發(fā)向東走3至點，從點向北走至點C，則點C相對于點的位置向量為。12．一艘船以5的速度出發(fā)向垂直于對岸的方向行駛，而船實際的航行方向與水流成，則船的實際速度的大小為，水流速度的大小為。13．在直角坐標系中，畫出下列向量，使它們的起點都是原點O，并求出終點坐標．（1）||=2，的方向與x軸正方向夾角為60°，與y軸正方向夾角為30°；（2）||=4，的方向與x軸正方向的夾角為30°，與y軸正方向的夾角為120°；（3），的方向與x軸、y軸正方向的夾角都是135°．1．【答案】A【解析】看一個量是否為向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向，特別是方向性的要求，對各量從物理本身的意義作出判斷，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小沒有方向，不是向量．2．【答案】C【解析】方向相反的兩個向量是共線向量．3．【答案】A【解析】單位向量是指長度為l的向量，共線向量可能是平行的．4．【答案】D【解析】與向量共線的向量有：，故共有9個．5．【答案】C【解析】∵，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵||＝||，∴四邊形為菱形．6．【答案】D【解析】所有的向量的終點均在半徑為1的圓上．7．【答案】C【解析】∵三個四邊形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故與共線，又三點D、C、E共線，∴與共線，故A、B、D都正確．當ABCD與其它兩個菱形不共面時，BD與EH異面．8．【答案】D【解析】當＝0時，A不對；如圖＝eq\o(AB,\s\up6(→))，＝eq\o(BC,\s\up6(→))，與，與均不共線，但與共線，∴B錯．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，但四點A、B、C、D不共線，∴C錯；若與有一個為零向量，則與一定共線，∴，不共線時，一定有與都是非零向量，故D正確．9．【答案】③【解析】相反向量是方向相反、大小相等的向量。方向相同或相反的兩個非零向量是共線（或平行）向量。10．【答案】不共線【解析】若與共線，即∥，又∥，則∥，這與已知與不共線相矛盾．11．【答案】“東偏北60°，6km”或“北偏東30°，6km”12．【答案】10km/hkm/h13．【解析】如圖所示．本節(jié)是平面向量的第一堂課，屬于“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。為了幫助學生建立向量的概念，與數(shù)、形的相關(guān)概念類比與聯(lián)系是值得重視的。在學生的已有經(jīng)驗中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、數(shù)的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。具體教學中，要設計一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認識向量的集合，類比直線的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系。使學生從中體會到認識一個數(shù)學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。這也是本堂課的核心目標。由于數(shù)學概念的高度抽象性，學生往往要費很多周折才能理解，教師應從學生的認知水平出發(fā)，針對學生的理解困難來展開教學，保證學生參與概念本質(zhì)特征的概括活動，確保學生有自己想明白的機會和時間，這是至關(guān)重要的。本課的教學，要讓學生理了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的問題。因此，在教學中教師應注意從宏觀上為學生勾勒研究框架和總體思路，使學生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務；微觀上，引導學生通過類比，有序地給出向量