2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷(111)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，共12.0分)

1.已知蒼=(l,k),石=(上,4)，那么“卜=一2”是“落方共線”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.非充分非必要條件D.充要條件

627

2,設(shè)(x+2)(2%—I)=a0+at(x+2)+a2(x4-2)4---Fa7(x+2),則由+<^4--Fa7=

()

A.-36B.36C.-37D.37

3.直線y=k(x+&)與雙曲線f—y2=i有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則A的不同取值有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4,已知四邊形ABCO,宿=玩=(1,1),+=>則四邊形A88的面積為()

A.1B.V2C.V3D.2

二、填空題(本大題共12小題，共36.0分)

5.設(shè)全集U={a,b,c,cl,e],集合4={a,c,d},則Q4=

6.數(shù)據(jù)5,7,7,8,10,11的標(biāo)準(zhǔn)差是.

7.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，若g(x)=/(x)+2且g(l)=1,則g(-l)的值.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一點(diǎn)M在拋物線y=2/上，且其橫坐標(biāo)是2,則M到拋物線焦點(diǎn)

的距離是.

9.若一個(gè)半徑為2的球體經(jīng)過(guò)切割之后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾

何體的表面積為.◎正(主)視圖

俯視圖

10.關(guān)于x的不等式lg(2x-4)<1的解集為.

11.已知數(shù)列｛a”｝是以1首項(xiàng)的等比數(shù)列，其各項(xiàng)和S=2,則的公比q=.

12.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為。，b,c,且cost=也，bcosA+acosB=2,

3

則^ABC的外接圓面積為.

13.已知Zi=2-i,z1Z2=5i(i為虛數(shù)單位).忻+引=.

14.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，丙被選中的概率是

15.已知sin(a-0)cosa-cos(a-0)sina=|.若0為第三象限角，則sing的值是

16.已知函數(shù)/"(%)滿足2f(x)—/■(》=自，則f(x)的最小值為一

三、解答題(本大題共5小題，共60.()分)

17.如圖，在三棱錐P—48c中，平面4PC!_平面ABC,S.PA=PB=PC=

4,AB=BC=2.

(1)求三棱錐P-ABC的體積/YBC；

(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

18.在三角形ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且sinB(bcosB+s)B)=|.

(1)求角8的大??；

(2)若匕=b，求aABC面積的最大值.

19.某牛奶廠2008年初有資金1000萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%.每

年年底扣除下一年的消費(fèi)基金x萬(wàn)元后，剩余資金投入再生產(chǎn).

(1)分別寫出這家牛奶廠2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達(dá)式.

(2)預(yù)計(jì)2012年底，這家牛奶廠將轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)，需資金2000萬(wàn)元(該年底不再扣除下年的消費(fèi)基金

)，當(dāng)消費(fèi)基金x不超過(guò)多少萬(wàn)元時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)的目標(biāo)(精確到萬(wàn)元)？

20.如圖，已知橢圓C：2+'=l(a>b>0)的離心率e=爭(zhēng)過(guò)點(diǎn)(0,-b),(a,0)的直線與原點(diǎn)

的距離為迎，是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)。向圓M：(x-&)2+(y-丫。)？=2作兩條切

線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q.

(1)求橢圓(^的方程；

(II)若記直線。P,OQ的斜率分別為口，k2,試求的心的值.

21.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S,，S8.s4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論

有：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為〃，則7；，小b,乎成等比數(shù)列.求處b的值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：解：茗k=-2,則五=(1,一2),方=(一2,4)，滿足E=—2肉即落石共線，充分性成立，

若方，加共線，則1=4,即卜=±2,即必要性不成立，

故uk=-2”是ua,石共線”的充分不必要條件,

故選：A.

根據(jù)向量共線的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，利用向量共線的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

2.答案：B

解析：

在已知等式中，分別取％=-2,%=-1,聯(lián)立即可求得%+￡12+…+。7?

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值,

求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

解：在6劭+%(尤a(xz中，

(x+2)(2x-I)=+2)+2+2)H------Fa7(x+2＞

取x=—2,可得a。=0,

取x=-1,可得a0+a1+a?+…+a?=3‘.

Q]+O,2+…+~36.

故選：B.

3.答案：D

解析：

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想，考查函數(shù)解決問(wèn)題的能力.

根據(jù)直線恒過(guò)點(diǎn)(-四,0)與頂點(diǎn)不同，故有兩條與漸近線平行直線，另有兩條切線，得出答案.

解：由已知可得，雙曲線的漸近線方程為、=±[X，頂點(diǎn)(±2,0),

而直線恒過(guò)故有兩條與漸近線平行，有兩條切線，

共4條直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，

故選O.

4.答案：C

解析：解：因?yàn)樗倪呅蜛8CD,AB=DC，

所以四邊形ABC。是平行四邊形，

因?yàn)槎?+同=鬲'

所以AC是平行四邊形ABCO的角平分線，平行四邊形為菱形，且NB4D=120。，

根據(jù)四=(1,1)可得菱形的邊長(zhǎng)為魚.

因此四邊形ABCD的面積S=V2xV2xs譏60。=V3.

故選：C.

根據(jù)題意，利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形ABC。是菱形且4氏4。=120。，因此算出

\AB\^\DC\=yf2＞即可求出四邊形ABC力的面積.

本題給出四邊形ABCZ)滿足的向量等式，求四邊形ABCZ)的面積.著重考查了向量加法的平行四邊

形法、向量模的公式與平行四邊形面積求法等知識(shí)，屬于中檔題.

5.答案：{b,e}

解析：解：,??全集U={a,b,c,d,e},集合4=[a,c,d},

Cyj4={b,e},

故答案為：{b,e}

由全集U及A,求出A的補(bǔ)集即可.

此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算，熟練掌握補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵.

6.答案：2

解析：解：5,7,7,8,10,11的平均數(shù)是-7+7+；+1°+11=8,

6

這組數(shù)據(jù)的方差是：(9+1+1+0+4+9)=4,

6

這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是"=2,

故答案為：2

首先做出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差的公式，代入數(shù)據(jù)做出這組數(shù)據(jù)的方差，最后把方差開(kāi)方

做出這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

本題考查一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，我們需要先求平均數(shù)，在求方差，最后開(kāi)方做出標(biāo)準(zhǔn)差，這是一個(gè)基

礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)是一個(gè)送分題目.

7.答案：1

解析：解：由題意，g(l)=f(1)+2,/(I)=-1.

?函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，

???/(-1)=汽1)=-1,

-5(-1)=/(-1)+2=1.

故答案為：1.

先求出“1),/(-I),再代入計(jì)算，即可得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)是偶函數(shù)建立方程是解決本題的關(guān)鍵.

8.答案：?

解析：

本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

解：拋物線/=|y,

n=i,巳=工，

又點(diǎn)M在拋物線y=2/上，且其橫坐標(biāo)是2,故可得縱坐標(biāo)為8,

由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，

???|PF|=8+；泉

故答案為容

O

9.答案：167r

解析：

本題主要考查空間幾何體的三視圖，以及球的表面積.

解：由三視圖，可知該幾何體是一個(gè)球體挖去:之后剩余的部分，

故該幾何體的表面積為球體表面積的"與兩個(gè)半圓面的面積之和，

4

即s=7x(4兀x22)+2x(|zrx22)=167r.

故答案為167T.

10.答案：(2,7)

解析：

本題考查不等式求解，根據(jù)題意可得0<2x-4<10,解不等式即可求得結(jié)果.

解：由lg(2x-4)<l得0<2%-4<10,解得2cx<7,

因此原不等式的解集為(2,7).

故答案為(2,7).

11.答案：1

解析：解：由題意可得，言=2,|q|<l且q#0

1=2(1-Q),

1

???q=w

故答案為：

由無(wú)窮等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)和為2,列出方程求解即可.

本題主要考查了等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，而無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和是指當(dāng)，國(guó)|<1且(？。0時(shí)前”項(xiàng)和

的極限，解題的關(guān)鍵是由無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和可得前〃項(xiàng)和的極限存在則可得|q|<l且q#0,這

也是考生常會(huì)漏掉的知識(shí)點(diǎn).

12.答案:97r

解析:

本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，圓的面積公式在解三角形中的應(yīng)

用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求C的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sine的值，進(jìn)而利用正弦

定理可求三角形的外接圓的半徑R的值，利用圓的面積公式即可計(jì)算得解.

解：；bcos力+acosB=2,

???由余弦定理可得：bx=^+ax±±=2,整理解得：c=2,

2bc2ac

又「cosC=2,可得：sinC=J,

33

???設(shè)三角形的外接圓的半徑為R,

c2

則2口=赤=工=6,可得：R=3,

3

A8C的外接圓的面積S=TIR2=97r.

故答案為：97r.

13.答案:V2

解析:

本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的計(jì)算，同時(shí)考查共規(guī)復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

求出Z2,然后結(jié)合共朝復(fù)數(shù)及模的計(jì)算公式求解即可.

解：因?yàn)閆]=2-i,Z]Z2=53

5i(2+i)5(-l+2i)

所以Z2=A券=-1+2i,

(2-i)(2+i)5

所以瓦+/=|2+i+.|=|2+i+(一2a3)?

=|2+i-l-2i|=|l-i|=J/+(_i)2=

故答案為VL

14.答案：|

解析：解：從3個(gè)人中選出2個(gè)人當(dāng)代表，

則所有的選法共有3種，即：甲乙、甲丙、乙丙，

其中含有丙的選法有兩種，故丙被選中的概率是|,

故答案為：|.

從3個(gè)人中選出2個(gè)人，則每個(gè)人被選中的概率都是今

本題考查等可能事件的概率的求法，得到所有的選法是解題的關(guān)鍵.

15.答案：+亞

一10

解析：

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查運(yùn)算求解和轉(zhuǎn)化能力.

利用兩角差的正弦公式，求出sE3=-|,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出cos0的值，再利用半角

公式，計(jì)算sin§的值.

3

解：??,sin(a—￡)cosa—cos(a—p^sina=

3

:.sin(a——a)=-,

???sinp=-|,

???0是第三象限角，???§是第二、四象限角，

4

-

???cosp=—Jl—sin2)?=5

...si亭±5^=土嚕

故答案為土嚕

16.答案：這

3

解析:

先用;替代X得到2fe)-/(x)=|x|,然后聯(lián)立方程組即可求出函數(shù)/(%)的解析式，最后利用基本不

等式求出函數(shù)的最小值即可.

解「必⑴-/③/…①

???2fG)-/。)=㈤…②

聯(lián)立①②解得：/(X)=1(1x1+^)

而/Q)=|(|x|+^)>|x2V2=言當(dāng)且僅當(dāng)|幻=或時(shí)取等號(hào)

故答案為2.

3

17.答案：解：(1)取4c中點(diǎn)0,連結(jié)P。，BO,

PA=PC,AB=BC,???OPLAC,OBLAC,

又???平面APC1平面ABC,AOP，平面ABC...(2分)，

OPLOB,：.OP2+OB2=PB2,

即16-0C2+4-OC2=16,得OC=V2.

則。4=V2，OB=V2,OP=V14，AC=2V2.-(4分)

SAABC2'2^2,V22.

?1?Vp-ABC=5?2?E=雪....(6分)

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

得。(0,0,0),4(0,-夜,0),B(V2,0,0),C(0,V2,0).P(0,0,g),...(8分)

???SC=(-V2,V2,0)-BP=(-V2.0.V14),

設(shè)平面PBC的法向量元=(x,y,z).

則「+您=°,取z=i,得元=(日近分)

l-V2x+V14z=0

=(V2,V2,0)，

直線AB與平面PBC所成角的正弦值為罕=旦….(12分)

2V1515'/

解析：(1)取AC中點(diǎn)。，連結(jié)P。，BO,證明。平面A8C,利用三棱錐的體積公式，即可求三棱

錐P—4BC的體積力5sc；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線

AB與平面PBC所成角的正弦值.

本題考查線面垂直的判定，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查線面角，正確運(yùn)用向量方法是關(guān)鍵.

18.答案：解：⑴由題意得gsbiBcosB+siMB=|,化簡(jiǎn)得當(dāng)s譏28-2s2B=1,

???sin(2B—g)=1,即可得=M=g

ooZ5

(2)vb=V3，B=三,由余弦定理得cos8='A'=

k732ac2

即可得小+c2=34-ac>2ac,:.ac<3,

???Sc—BC=-1acsi.nBD<-1-3O-—V3=-3V3?

.?.△ABC面積的最大值：—.

4

解析：(1)利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)sinB(gcosB+sinB)=|.轉(zhuǎn)化求解可得B的大小.

(2)利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出ac<3,然后求解三角形的面積的最大值即可.

本題考查三角形的解法，余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)

化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

19.答案:解：(1)2009年初的剩余資金為1000《一X；2010年初的剩余資金為(1000?|1-X.

(2)設(shè)從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為｛%｝,

則這個(gè)數(shù)列滿足的=1000?|-x,an+1=|an-x.

設(shè)a“+i+A=|(an+A),展開(kāi)與即+i=|即-x比較可得4=-2%,

即即+i=|an-x可以變換為an+i-2尤=|(即-2x),

即數(shù)列｛即-2x｝是首項(xiàng)為1000-1-3無(wú)，公比為|的等比數(shù)列，

所以冊(cè)-2%=(1000|-3x)-(|)n-1.即時(shí)=2x+(l000-|-3x)?(j)71-1.

從2008年初到2012年底共計(jì)5年，

所以到2012年底該牛奶廠剩余資金

4

as=2x+(1000-|-3x)-(|),只要(15+x>2000,

即2x+(1000.|-3x)-(|)4+x>2000即可，

解得x<甯?458.97(萬(wàn)元).

故當(dāng)消費(fèi)基金不超過(guò)458萬(wàn)元時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向經(jīng)營(yíng)的目標(biāo).

解析：(1)由于引進(jìn)了先進(jìn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%.每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金x萬(wàn)

元后，剩余資金投入再生產(chǎn)，可得2009年初和2010年初投入再生產(chǎn)的剩余資金的表達(dá)式.

(2)設(shè)從2008年底這家牛奶廠的資金組成數(shù)列為｛即｝,則這個(gè)數(shù)列滿足的=1000?|-x,

即+i=|冊(cè)-x，可得數(shù)列｛斯-2x｝是首項(xiàng)為