第11講解直角三角形的應(yīng)用

知識一、仰角俯角

在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角.如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所

成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.

網(wǎng)【例1】（1）（2020?上海九年級專題練習(xí)）如圖，在點A處測得點3處的仰角是.（用

“4/2,/3或/4”表示）

鉛垂線

（2）（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）已知4,B兩點，若4對8的仰角為a,

則8對A的俯角為（)

A.aB.900-aC.1800-ccD.90。+。

近【例2】（2021.上海九年級專題練習(xí)）如圖，小明在教學(xué)樓A8的樓頂A測得：對面實驗

大樓的頂端C的仰角為a,底部。的俯角為尸，如果教學(xué)樓48的高度為〃?米，那么兩

棟教學(xué)樓的高度差CH為米.

c

H

D

網(wǎng)【例3】（2021?上海九年級專題練習(xí)）七寶琉璃玲瓏塔（簡稱七寶塔），位于上海市七

寶古鎮(zhèn)的七寶教寺內(nèi)，塔高47米，共7層.學(xué)校老師組織學(xué)生利用無人機(jī)實地勘測，如

果無人機(jī)在飛行的某一高度時傳回數(shù)據(jù)，測得塔頂?shù)难鼋菫?0。，塔底的俯角為45。，那么

此時無人機(jī)距離地面的高度為米.（結(jié)果保留根號）

瓦【例4】（2021?天津九年級其他模擬）如圖，建筑物8c上有一旗桿A8,從與BC相距

40機(jī)的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50。，觀測旗桿底部B的仰角為45。，求旗桿的高度（結(jié)

果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan50OR.2.

【例5】（（2021?安徽九年級一模）如圖，甲、乙兩棟樓的高度均為90m.冬至日正午,

太陽光線與水平面所成的角為30。，甲樓在乙樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光

線與水平面所成的角為53。，甲樓在乙樓墻面上的影高為AD.已知CD=40m,若每層樓的

同度均為3m,求點C位于第幾層.（參考數(shù)據(jù)：sin53%0.80,cos53tM）.60,tan53。斗.33,

下=1.73,0M.41）

舉一反三

1.（2021?上海九年級一模）如果視線與水平線之間的夾角為36。，那么該視線與鉛垂線之間

的夾角為度.

2.（2021?上海）如果從某一高處甲看低處乙的俯角為36度，那么從低處乙看高處甲的仰角

是度.

3.（2020?上海九年級月考）在南海閱兵式上，某架“直-8”型直升飛機(jī)在海平面上方1200米

的點A處，測得其到海平面觀摩點B的俯角為60°,此時點A、B之間的距離是

米.

4.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，A,8兩地之間有一座山，汽車原來從A地到3地須

經(jīng)C地沿折線A-C-B行駛，全長68Am.現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線48行駛.已知

ZA=30°,ZB=45°,則隧道開通后，汽車從A地到2地比原來少走多少千米？（結(jié)果精

確到0.16）（參考數(shù)據(jù)：夜H.4,>/3?1.7）

5.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）己知：如圖，樓頂有一根天線，為了測量樓的高度，

在地面上取成一條直線的三點E、D、C,在點C處測得天線頂端A的仰角為60。，從點C

走到點D,CD=6米，從點D處測得天線下端B的仰角為45。.又知A、B、E在一條線上，

AB=25米，求樓高BE.

知識二、方位角

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角叫做方位角.

如圖：北偏東30。，北偏西70。,南偏東50。，南偏西45。.

【例6】（2021?上海九年級專題練習(xí)）已知海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30。方向,

海監(jiān)船C在燈塔3的正東方向5海里處，此時海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海

監(jiān)船C與貨輪A的距離是（）

海里卡海里

A.10海里B.56海里C.5D.

【例7】（2019?上海）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40匹海里的A

處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪行

駛的路程AB為海里（結(jié)果保留根號）.

B

人【例8】（2020.上海九年級一模）如圖，海中有一個小島A,該島的四周10海里的范圍內(nèi)

有暗礁，有一貨輪在海面上由西向東航行，到達(dá)B處時，該貨輪位于小島南偏西60。的方向

上，再往東行駛20海里后到達(dá)小島的南偏西30。的方向上的C處，如果貨輪繼續(xù)向東航行，

是否會有觸礁危險？請通過計算說明：

卡

;一反三

1.（2019?上海）如圖所示，為了測量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N

兩點分別測定對岸一棵樹P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30。的方向，則

河的寬度是（）.

2006

DC.100V3mD.100m

A.200/mL>.--------------------

3

2.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，AB是江北岸濱江路一段，長為3千米，C為南岸一

渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋，測量得A在C北偏西30。方向，B在C

的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長是多少？（結(jié)果保留根號）

3.（2018?上海市致遠(yuǎn)中學(xué)）如圖，小島B正好在深水港口4的東南方向，一艘集裝箱貨船從

港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測得小島5在它的

南偏東15。方向，求小島區(qū)離深水港口A的距離（精確到0.1千米）.參考數(shù)據(jù)：夜。1.41，

\/6?2.45?sin15?0.26,cos150=0.97,tan15°?0.27.

知識三、坡度

坡度（坡比）、坡角

在修路、挖河、開渠等設(shè)計圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度.

如圖，坡面的鉛垂高度〃和水平寬度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i,即

坡度通常寫成1:m的形式，如i=l:1.5.

坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作

h

坡度，?與坡角a之間的關(guān)系：i7=tana?

”,【例9】

(1)(2021?上海九年級專題練習(xí))已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時，水平寬度為

_______米

(2)(2021?上海九年級專題練習(xí))若某斜面的坡度為1:石，則該坡面的坡角為.

（3）（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，斜坡A8的坡度i=l：3,該斜坡的水平距離AC=6

米，那么斜坡A3的長等于米.

CA

（4）（2018?上海）如果一個滾筒沿斜坡向正下直線滾動13米后，其水平高度下降了5米,

那么該斜坡的坡度i=

(5)(2020?上海市西南模范中學(xué)九年級月考)如圖，AC是高為30米的某一建筑，在水塘

的對面有一段以BO為坡面的斜坡，小明在A點觀察點。的俯角為30°,在A點觀察點B的

俯角為45。，若坡面BO的坡度為1:百，則80的長為

A

D

應(yīng)【例10】（1）（2020?上海九年級專題練習(xí)）如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形A8CC,

壩頂寬0c是10米，壩底寬A8是90米，背水坡A。和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,那

么這個水庫大壩的壩高是米.

（2）（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫斷面，其壩頂寬5

米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是ii=l:2,背水坡的坡度i2=2:3,求：水壩橫截面的面積.

?^舉一反三

1.（2021.上海九年級專題練習(xí)）修筑一坡度為3：4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為a,

那么Na的正切值是（)

c4-34

B.-C.-D.一

543

2.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,它把物體從地

面點A處送到離地面3米高的5處，則物體從A到8所經(jīng)過的路程為（)

A.3函米B.2布米C.加米D.9米

3.（2020.上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）一個物體從A點出發(fā)，在坡度為1：7

和斜坡上直線向上運動到B,當(dāng)AB=30米時，物體升高（）

A.今米

米C.3&米D.以上都不對

4.（2021.上海九年級專題練習(xí)）如果一段斜坡的坡角是30。，那么這段斜坡的坡度是

.（請寫成1：m的形式）.

5.（2021?上海九年級一模）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1:0.75,那

么該大壩迎水坡AB的長度為米.

G）課后作業(yè)

.（2021.上海九年級一模）如果小麗在樓上點A處看到樓下點B處小明的俯角是35。，那

么點8處小明看點4處小麗的仰角是（)

A.35°B.45°C.55°D.65°

2.（2020?上海九年級一模）直角梯形ABCQ如圖放置，A3、CQ為水平線，BCLAB,如果

/BC4=67。，從低處A處看高處C處，那么點C在點A的（)

A.俯角67。方向B.俯角23。方向

C.仰角67。方向D.仰角23。方向

3.（2018?上海中考模擬）已知飛機(jī)離水平地面的高度為5千米，在飛機(jī)上測得該水平地面

上某觀測目標(biāo)A的俯角為a,那么這時飛機(jī)與目標(biāo)A的距離為（)

55

A.B.5sinaC.D.5cosa

sinacosa

4.（2021?上海九年級二模）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔塔尖點P的仰角為60。，

沿山坡向上走200米到達(dá)B處，在8處測得點P的仰角為15。.已知山坡AB的坡度i=l：

6,且H、A、B、尸在同一平面內(nèi)，那么電視塔的高度為米.（結(jié)果

保留根號形式）

5.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度i=l:3,那么這段

斜坡的鉛垂高度為米.

6.（2020?東莞市東莞中學(xué)初中部九年級二模）如圖，斜面AC的坡度（CO與的比）為

1：2,坡頂有一旗桿BC,頂端B點與A點有一條彩帶相連，已知C￡>=3米，A8=10米,

則旗桿BC的高度為米.

7.（2020?上海）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=l：廊，如果它把物體送到離地面

3米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為米.

8.（2021?上海九年級專題練習(xí)）某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直大樹樹干A8（假定樹干AB垂

直于水平地面）被刮傾斜7。（即/54￡=7。）后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面。

處，測得NCD4=37。，40=5米，求這棵大樹AB的高度.（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：

sin37ko.6,cos37=0.8,tan37-0.75)

D

9.（2021?山東九年級期末）如圖，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一古塔AB,在塔的一側(cè)有一建筑物，當(dāng)光

線與水平面的夾角是30。時，塔在建筑物的墻上留下了高為4米的影子CD；而當(dāng)光線與地

面的夾是45。時，塔尖A在地面上的影子E與建筑物的距離EC為10米（B,E,C在一條

直線上），求塔A8的高度（結(jié)果保留到0.1米）.（夜句.41,>/3=1.73）

10.（2017?上海青浦區(qū)?九年級一模）某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖，大樓

前有一段斜坡BC,已知BC的長為12米，它的坡度i=l：6.在離C點40米的D處，用

測角儀測得大樓頂端A的仰角為37。，測角儀DE的高為1.5米，求大樓AB的高度約為多

少米？（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù):si參考=0.60,cos37tM）.80,tan37yo.75,也之1.13.）

11.（2021?河南九年級二模）一漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點8處測得北偏東60。方向

上有一海島A,航行10海里后到達(dá)C處，又測得海島A位于北偏東53。方向上.

(1)求C處到海島A的距離(結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°?0.60,

tan53°?1.33,73?1.73);

(2)已知海島A的周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁，若漁船繼續(xù)由西向東航行是否有觸礁危險?

說明理由.

12.（2021?湖北中考真題）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞.一市民騎自行車由

A地出發(fā)，途經(jīng)B地去往C地，如圖.當(dāng)他由A地出發(fā)時，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45。方向有一信

號發(fā)射塔P.他由A地沿正東方向騎行4夜km到達(dá)5地，此時發(fā)現(xiàn)信號塔尸在他的北偏東

15。方向，然后他由B地沿北偏東75。方向騎行12km到達(dá)C地.

(1)求A地與信號發(fā)射塔尸之間的距離;

(2)求C地與信號發(fā)射塔尸之問的距離.(計算結(jié)果保留根號)

13.（2021?江西中考真題）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍'’對小紅測溫時的實景圖，圖2

是其側(cè)面示意圖，其中槍柄8c與手臂MC始終在同一直線上，槍身84與額頭保持垂直量

得胳膊MN=28cm,MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP

的長度）,槍身3A=8.5cm.

D

測溫槍

圖

（1）求NA3C的度數(shù);

(2)測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得N8MN=68.6°,

小紅與測溫員之間距離為5()cm問此時槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并

說明理由.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

(參考數(shù)據(jù)：sin66.4°?0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6。70.40,V2?1.414)

14.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖1為放置在水平桌面/上的臺燈，底座的高AB為5cm

長度均為20c〃7的連桿BC、CQ與AB始終在同一平面上.

（1）轉(zhuǎn)動連桿8C,C。，使/BCO成平角，N4BC=150。，如圖2,求連桿端點。離桌面

I的高度DE.

（2）將（1）中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗后發(fā)現(xiàn)，如圖3,當(dāng)N2CD=150。

時臺燈光線最佳.求此時連桿端點力離桌面/的高度比原來降低了多少厘米?

E

圖1圖2圖3

第11講解直角三角形的應(yīng)用

知識一、仰角俯角

在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角.如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所

成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.

網(wǎng)【例1】（1）（2020?上海九年級專題練習(xí)）如圖，在點A處測得點3處的仰角是.（用

“4/2,/3或/4”表示）

鉛垂蛙

'.B水平線

鉛垂線

：3

..。4水平線

A：

【答案】Z4

【解析】

由仰角的定義：在點4處測得B處的仰角是“4；

故答案為/4.

(2)(2020?上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí))已知A,B兩點，若A對B的仰角為a,

則3對A的俯角為（）

A.aB.90。一C.180°-aD.90。+。

【答案】A

【解析】

解：如圖,

對8的仰角為a,

對A的俯角為a.

故選A.

【例2】（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，小明在教學(xué)樓A8的樓頂A測得：對面實驗

大樓CO的頂端C的仰角為a,底部。的俯角為戶，如果教學(xué)樓A8的高度為"?米，那么兩

棟教學(xué)樓的高度差C"為米.

mtana

【答案】

tan0

【解析】

連接AC,

由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m,

在RtAADH中，NDAH=/，tanADAH=—

AH

m

AH=

tanp

在RlZkACH中，ZCAH=?,tanZCAH=——

mmXma

：.CH=tana--------=----------

tan/3tanp

mtana

故答案為:

tanp

c

電【例3】（2021?上海九年級專題練習(xí)）七寶琉璃玲瓏塔（簡稱七寶塔），位于上海市七

寶古鎮(zhèn)的七寶教寺內(nèi)，塔高47米，共7層.學(xué)校老師組織學(xué)生利用無人機(jī)實地勘測，如

果無人機(jī)在飛行的某一高度時傳回數(shù)據(jù)，測得塔頂?shù)难鼋菫?0。，塔底的俯角為45。，那么

此時無人機(jī)距離地面的高度為米.（結(jié)果保留根號）

【答案】容Z

【解析】

如圖，A點為塔頂，B點為塔底，C點為無人機(jī)的位置，過點C作8JLAB交AB于點D,

則BD的長度即為所求.

設(shè)B￡>=x，

???/BC￡>=450,NBDC=90。,

CD=BD=x.

在心"CO中,

AD=CD-tan60°=

/.>/3x+x=47

解得.吟旦

??皿中

即此時無人機(jī)距離地面的高度為0米,

4773-47

故答案為:

2

應(yīng)【例4】（2021.天津九年級其他模擬）如圖，建筑物BC上有一旗桿A8,從與8c相距

40,n的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°,觀測旗桿底部B的仰角為45°,求旗桿的高度（結(jié)

果保留整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan50。句.2.

【答案】8m

【解析】

解：在RdACD中，4C=CZ>s〃50°=40xl.2=48(in),

在RrABCD中，NBDC=NDBC=45。,BC=CD=40Gn）.

.,.AB=AC-BC=48-40=8（，"）.

答：旗桿的高度A3約為8〃?.

網(wǎng)【例5】（（2021?安徽九年級一模）如圖，甲、乙兩棟樓的高度均為90m.冬至日正午,

太陽光線與水平面所成的角為30。，甲樓在乙樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光

線與水平面所成的角為53。，甲樓在乙樓墻面上的影高為AD.已知CD=40m,若每層樓的

高度均為3m,求點C位于第幾層.（參考數(shù)據(jù)：sin5330.80,cos53°~0.60,tan53°?1.33,

牛1.73,72-1.41）

p

【答案】點c位于第20層

【解析】

解：如圖，過點C作CELPB于點E,過點。作OFLPB于點尸,

則/CEP=/OFP=90°.

設(shè)樓間距為xm.

VZPCE=30°,ZPDF=53°f

：.PE=CEtan30°=—x〃?，PF=DFtan53yl.33xm.

3

u

：EF=CD=40mf

：.PF-PE=4。m,

BP1.33元-@.v=40,

3

解得種53.1,

J尸￡二且尸30.6(m),

3

：.AC=BE=PB-PE=90-30.6=59.4(/??).

二每層樓高為3m,59.4+3=198,

...點C位于第20層.

舉一反三

1.（2021?上海九年級一模）如果視線與水平線之間的夾角為36。，那么該視線與鉛垂線之間

的夾角為度.

【答案】126?；?4。

【解析】

解：當(dāng)仰角是36。時，如下圖所示

由圖可知：該視線與鉛垂線之間的夾角為36。+90。=126。；

當(dāng)俯角是36。時，如下圖所示

水平線

'視線

垂線

由圖可知：該視線與鉛垂線之間的夾角為90。-36。=54。；

綜上：該視線與鉛垂線之間的夾角為126。或54。

故答案為：126?；?4。.

2.（2021?上海）如果從某一高處甲看低處乙的俯角為36度，那么從低處乙看高處甲的仰角

是度.

【答案】36

【解析】

解：如圖所示:

,甲處看乙處為俯角/DBA=36。，AC//BD,

...乙處看甲處為：仰角/CAB=/DBA=36。.

故答案為：36.

3.（2020?上海九年級月考）在南海閱兵式上，某架“直-8”型直升飛機(jī)在海平面上方1200米

的點A處，測得其到海平面觀摩點B的俯角為60。，此時點A、B之間的距離是

【答案】800G

【解析】

分析：過A作ACLBC于C,由題意可知，在直角三角形中，已知角的對邊4c求斜邊A8,

可以用60。正弦函數(shù)來計算即可.

解析：根據(jù)題意得：AC=1200米，ZABC=60,

點4、B之間的距離是A8==8006米.

sm60

故答案為800G.

4.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，A,B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到8地須

經(jīng)C地沿折線4-C-B行駛，全長68km.現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線4B行駛.已知

/A=30。，/B=45。，則隧道開通后，汽車從4地到8地比原來少走多少千米？（結(jié)果精

確到0.1而）（參考數(shù)據(jù)：72-1.4,^~1.7）

【答案】14。千米

【解析】

解：如圖，過點C作CO_LA8,垂足為。，設(shè)8=尤

」」，CDCD

在RlZkACO中，smNA=----,AC=-----------=2x,

ACsin30°

CDCD「

在RS3C。中，sin/B=,BC—----------=V2x,

BCsin45°Y

?「AC+8C=2x+Gx=68,

-=2°,

2+V22+1.4

cnzv)

在RSAC。中，tanZA=—,AD=----------=20>/3,

ACtan30°

*CDCD

在RlZkBCO中，tanZzB=—，BD=----------=20,

BDtan45°

AA=2()G+20=54,

AC+BC-"=68-54=14.0(km).

答：隧道開通后，汽車從A地到8地比原來少走14.0千米.

5.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級三模）已知：如圖，樓頂有一根天線，為了測量樓的高度，

在地面上取成一條直線的三點E、D、C,在點C處測得天線頂端A的仰角為60。，從點C

走到點D,CD=6米，從點D處測得天線下端B的仰角為45。.又知A、B、E在一條線上，

AB=25米，求樓高BE.

【答案】1（7+195/3）米

【解析】解：???從點D處測得天線下端B的仰角為45。,

ADE=BE.

設(shè)BE=x米，則AE=(x+25)米，CE=(x+6)米,

???在點C處測得天線頂端A的仰角為60°,

AE

AtanC=~CE

.x+25

=^3,

…x+6

.?.x=/(7+19G),即樓高BE=g(7+19道)米.

答：樓高BE為g(7+1973)米.

知識二、方位角

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角叫做方位角.

如圖：北偏東30。，北偏西70。，南偏東50。，南偏西45。.

網(wǎng)【例6】（2021.上海九年級專題練習(xí)）已知海面上一艘貨輪A在燈塔8的北偏東30。方向,

海監(jiān)船C在燈塔8的正東方向5海里處，此時海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海

監(jiān)船C與貨輪A的距離是（）

D.g石海里

A.10海里B.海里C.5海里

【答案】B

【解析】根據(jù)題意建立如圖所示RsABC,其中/C=90。，ZB=60°,BC=5,

?*.AC=BC-tanB=5xtan60°=5后，

故選：B.

【例7】（2019?上海）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔400海里的A

處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則海輪行

駛的路程AB為海里（結(jié)果保留根號）.

【答案】40+406

【解析】

解：在RSAPC中，VAP=400，ZAPC=45°,/.AC=PC=40.

在RtABPC中，VZPBC=30。，BC=PCcot30°=40x叢=406，

.?.AB=AC+BC=40+40G（海里）.

故答案為40+400.

網(wǎng)【例8】（2020?上海九年級一模）如圖，海中有一個小島A,該島的四周10海里的范圍內(nèi)

有暗礁，有一貨輪在海面上由西向東航行，到達(dá)B處時，該貨輪位于小島南偏西60。的方向

上，再往東行駛20海里后到達(dá)小島的南偏西30。的方向上的C處，如果貨輪繼續(xù)向東航行，

是否會有觸礁危險？請通過計算說明：

*

【答案】不會，見解析

【解析】

過A作AH班直于BC交BC的延長線于點H；

由題意可得NBA"=60。，NC4H=30°；

ZABH=30°,ZACH=60°

設(shè)C，=x,在ATTACH中，tan60°=必=6

AH=6cH=氐

在RTZiABH中，1@1130。=加=也

BH3

BH=3x

?.?8C=20

.\BH=BC+CH=20+x

20+x=3x,x=10

AH=y/3x=106海里>10海里

所以，不會有觸礁危險.

舉一反三

1.（2019?上海）如圖所示，為了測量河的寬度，王芳同學(xué)在河岸邊相距200m的M和N

兩點分別測定對岸一棵樹P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30。的方向，則

河的寬度是（）.

MN

2m

A.200GmB.C.100>/3mD.100m

3

【答案】A

【解析】

由題意可得PM_LMN,/MPN=NPNG=30。,

MN

在直角APMN中，tan3(r=也

PM

，PM=200百m.

故選A.

2.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，AB是江北岸濱江路一段，長為3千米，C為南岸一

渡口，為了解決兩岸交通困難，擬在渡口C處架橋，測量得A在C北偏西30。方向，B在C

的東北方向，從C處連接兩岸的最短的橋長是多少？（結(jié)果保留根號）

【答案】212^3

2

【解析】

解：過點C作CD，4?于點。，CQ就是連接兩岸最短的橋.

DB

設(shè)。￡)=1千米.

?.?8在。的東北方向，A在C北偏西30。方向,

AZBCZ)=45°,ZACD=30°

???在宜角三角形38中，有BD=CD,

「?在直角三角形ACZ）中，AD=CD^tanACD=xgan30?與x.

AD+DB=AB,

4=3,

??x+

3

且（千米）.

2

3.（2018?上海市致遠(yuǎn)中學(xué)）如圖，小島5正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從

港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測得小島8在它的

南偏東15。方向，求小島區(qū)離深水港口A的距離（精確到0.1千米）.參考數(shù)據(jù)：夜。1.41，

\/6?2.45?sin15?0.26,cos150=0.97,tan15°?0.27.

【答案】38.6千米

【解析】

2

由題意可得AC=30x§=20「米,

過點C作CD1AB,垂足為D,

在RtAADC中，ZADC=90°,ZCAD=45°,

.*.AD=ACcos45o=10近千米，CD=ACsin45°=1072「米,

在RlZkBDC中，ZBDC=90°,ZB=90o-45°-15o=30°,

…CD

BD二----二10遍「米,

tan30

AAB=AD+BD=10(^+76)-38.6(千米),

答：小島B離深水港口A的距離約為38.6千米.

知識三、坡度

坡度（坡比）、坡角

在修路、挖河、開渠等設(shè)計圖紙上，都需要注明斜坡的傾斜程度.

如圖，坡面的鉛垂高度〃和水平寬度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i,即

坡度通常寫成1:m的形式，如i=l:1.5.

坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作

h

坡度i與坡角a之間的關(guān)系：i7=tana?

[例9](1)(2021?上海九年級專題練習(xí))已知某斜坡的坡度1：3,當(dāng)鉛垂高度為3米時,

水平寬度為一米

【答案】9

【解析】

解：?.?斜坡的坡度為1:3,其鉛垂高度為3米,

這個斜坡的水平寬度為：3x3=9米,

故答案為：9.

(2)(2021.上海九年級專題練習(xí))若某斜面的坡度為1:6，則該坡面的坡角為

【答案】30。

【解析】

：tan30°=￥=G

，坡面的坡角為30。

故答案為：30。

(3)(2021?上海九年級專題練習(xí))如圖，斜坡A8的坡度i=l：3,該斜坡的水平距離AC=6

米，那么斜坡A3的長等于米.

CA

【答案】2癡;

【解析】

?.?斜坡AB的坡度i=l：3,

.BC1

?.--------=一

AC3

「該斜坡的水平距離AC=6米,

.BC1

>.——

63

解得:BC=2,

則斜坡AB的長為：用+22=2如(m).

故答案為2幅.

（4）（2018?上海）如果一個滾筒沿斜坡向正下直線滾動13米后，其水平高度下降了5米,

那么該斜坡的坡度i=

【答案】1:2.4

【解析】

分析：根據(jù)題意建立圖形，利用勾股定理求得另一直角邊的長度，再根據(jù)坡度的概念求解可

得.

解析:

如圖，根據(jù)題意知AB=13米、AC=5米,

BC

則BC=^2-AC2=V132-52=12（米），

AT5

，斜坡的坡度2.4,

DC12

故答案為I：2.4.

(5)(2020?上海市西南模范中學(xué)九年級月考)如圖，AC是高為30米的某一建筑，在水塘

的對面有一段以BO為坡面的斜坡，小明在A點觀察點。的俯角為30°,在A點觀察點8的

俯角為45。，若坡面BO的坡度為1:6，則80的長為

【答案】30-106

【解析】

解：延長CB、AD交于F點，作￡)EJ_3F

??,小明在A點觀察點D的俯角為30。，在A點觀察點B的俯角為45°

/.ZAFC=30°,ZABC=45°

vAC=3()m=BC

???在Rt^ACF中，CF=30>/3w,BF=(306-30)，〃

又坡面80的坡度為1:"

1G

則tan/DBF=王

/DBF=30°

設(shè)DE=x,則8￡=瓜=￡/，BD=2x

：.BF=2拒x

273%=3073-30

解得：x=15-56

:.BD=2x=30-l0y/3（米）

故答案為：30-10百.

[例10](1)(2020?上海九年級專題練習(xí))如圖，某水庫大壩的橫斷面是梯形A3CQ,

壩頂寬OC是10米，壩底寬A8是90米，背水坡A。和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,那

么這個水庫大壩的壩高是米.

【答案】16.

【解析】

如圖所示：過點。作。M_LA8于點M,作CN_LA8于點N,設(shè)DM=CN=x.

:背水坡AO和迎水坡BC的坡度都為1：2.5,，AM=BN=2.5x,故A8=AM+BN+MN=5x+10=90,

解得：x=16,即這個水庫大壩的壩高是16米.

故答案為16.

(2)(2021?上海九年級專題練習(xí))如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫斷面，其壩頂寬5

米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是ii=l:2,背水坡的坡度i2=2:3,求：水壩橫截面的面積.

【答案】水壩橫截面的面積為152平方米

【解析】

?.'=1:2,背水坡的坡度h=2:3

設(shè)AE=DF=2x米，貝ljBE=4x米，CF=3x米

VAD=5米

；.EF=5米

VBC=33米

4x+5+3x=33

x=4

，AE=8米

，水壩橫截面的面積為(5+33)X8x；=152平方米.

舉一反三

1.（2021?上海九年級專題練習(xí)）修筑一坡度為3：4的大壩，如果設(shè)大壩斜坡的坡角為。，

那么Na的正切值是（）

3c.之4

A.B.-D.

5543

【答案】C

【解析】由題意的:

3

tana=—

4

故選：c

2.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:3,它把物體從地

面點A處送到離地面3米高的8處，則物體從A到3所經(jīng)過的路程為（)

【答案】A

【解析】解：設(shè)BCJ_AC,垂足為C,

Vi=BC：AC=1：3

A3：AC=1:3,

AC=9,

在RSACB中，由勾股定理得,

AB=VAC2+BC2=V92+32=3而

/.AB=3>/i0米.

故選：A.

3.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）一個物體從A點出發(fā)，在坡度為1：7

和斜坡上直線向上運動到B,當(dāng)AB=30米時，物體升高（)

A.9米

BY米C.米D.以上都不對

【答案】C

【解析】

解：如圖，設(shè)5C=X,AC=lx,則AB=5&x,

?.?AB=30米,

\5后=30，

\x=3\/2,

BC=30，

故選：c.

4.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如果一段斜坡的坡角是30。，那么這段斜坡的坡度是

.（請寫成1：m的形式）.

【答案】1:73.

【解析】

試題分析：因為斜坡的坡角是30。，所以這段斜坡的坡度=tan3（r=K：3=1：

故答案為：1:-

5.（2021?上海九年級一模）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1:0.75,那

么該大壩迎水坡AB的長度為米.

【答案】15

【解析】

過點B作BC_LAC于C,

:迎水坡的坡度為1:0.75,

BC4

tanZBAC==—

AC3

YBO12米,

，AC=9米,

?1-AB=ylAC2+BC2=V92+122=15（米）,

故答案為：15.

QJ課后作業(yè)

1.（2021?上海九年級一模）如果小麗在樓上點4處看到樓下點B處小明的俯角是35。，那

么點B處小明看點A處小麗的仰角是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【解析】

解：根據(jù)兩點之間的仰角與俯角構(gòu)成的兩條水平線夾角的內(nèi)錯角相等，可知，點8處小明

看點A處小麗的仰角是35。,

故選：A.

2.（2020.上海九年級一模）直角梯形ABCD如圖放置，AB、CD為水平線，BC±AB,如果

/BC4=67。，從低處A處看高處C處，那么點C在點A的（)

A.俯角67。方向B.俯角23。方向

C.仰角67。方向D.仰角23。方向

【答案】D

【解析】

VBC1AB,NBCA=67。,

：.ZBAC=900-ZBCA=23°f

從低處A處看高處C處，那么點C在點A的仰角23。方向;

故選：。.

3.（2018?上海中考模擬）已知飛機(jī)離水平地面的高度為5千米，在飛機(jī)上測得該水平地面

上某觀測目標(biāo)A的俯角為a,那么這時飛機(jī)與目標(biāo)A的距離為（)

55

A.——B.5sinaC.------D.5cosa

sinacosa

【答案】A

【解析】

分析：已知直角三角形的一個銳角和銳角所對的宜角邊，求斜邊，運用三角函數(shù)定義解答.

解析：如圖：8。為飛機(jī)離地面的高度，所以在RMA8C中，ZBAC=a,805,則

位BC5

sinZBACsina

故選A.

4.（2021.上海九年級二模）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔塔尖點P的仰角為60°,

沿山坡向上走200米到達(dá)8處，在8處測得點P的仰角為15。.已知山坡AB的坡度i=l：

G，且”、A、B、P在同一平面內(nèi)，那么電視塔的高度P”為米.（結(jié)果

保留根號形式）

【答案】10()6

【解析】

解：過8作于M,過8作

則/AMB=90°,NABN=NBAM,

由題意得：A8=200米，ZPBN=\5°,

?.?山坡AB的坡度i=l：日

tanZB4M=l：

???N84M=30。,

，NABN=30。,

.?./勿8=180°-4PAH-/BAM=90°,NABP=NABN+NPBN=45°,

...△以8是等腰直角三角形,

二%=AB=200米,

在Rl△物”中，sinZMH=—=

PA2

：.PH=^PA=\0Q>/3,

2

故答案為：i（）oG.

5.（2021?上海九年級專題練習(xí)）如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度i=l:3,那么這段

斜坡的鉛垂高度為米.

【答案】4

【解析】

設(shè)這段斜坡的鉛垂高度為X，

.X_1

??-------

123

解得x=4米.

故答案為：4.

6.（2020.東莞市東莞中學(xué)初中部九年級二模）如圖，斜面AC的坡度（C￡＞與4。的比）為

1：2,坡頂有一旗桿BC,頂端8點與A點有一條彩帶相連，已知CO=3米，AB=10米,

則旗桿BC的高度為米.

D

【答案】5.

【解析】

解：?.?斜面AC的坡度（C￡）與的比）為1：2,C￡>=3米,

.'.AD=C>米,

?.?A8=10米，40=6米,

:.BD=dif_d=8（米）,

ABC=8-3=5（米）,

旗桿BC的高度為5米.

故答案為：5.

7.（2020?上海）已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度，=1:廂，如果它把物體送到離地面3

米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為米.

【答案】27

【解析】

解：如圖,

RD

由題意得：斜坡AB的坡度：i=l:質(zhì)，AE±BD,AE=3米,

AE1

BE-荷

?AE-1

"AB~9

，AE=3米，

.\AB=27（米）.

故答案為：27.

8.（2021?上海九年級專題練習(xí)）某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直大樹樹干A8（假定樹干AB垂

直于水平地面）被刮傾斜7。（即/區(qū)4夕=7。）后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面。

處，測得NCD4=37。，AO=5米，