不定積分滴學(xué)習(xí)第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

又如d(secx)=secxtanxdx，所以secx是secxtanx的原函數(shù).定義設(shè)f(x)在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任意點(diǎn)x都有F'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx則稱F(x)為

f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).4.1.1原函數(shù)的概念

例如:

，

是函數(shù)在上的原函數(shù).

,sinx是cosx在上的原函數(shù).4.1不定積分的概念與性質(zhì)第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六(2)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的,且有無窮多個注:(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在．具體理由將在下一章給出．例如而在上是的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即加任意常數(shù)都是的原函數(shù).

(3)若函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個原函數(shù)只差一個常數(shù)項(xiàng).此結(jié)論由Lagrange定理推論可證第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六定義2如果函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)＋C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記作其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C為積分常數(shù).即2.不定積分的概念第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例2求解例1求解第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例3求解第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六3不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

特別地，有第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.2不定積分的基本積分公式第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例4計算下列積分解第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例5計算下列積分解(1)(2)第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六4.1.3不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面.性質(zhì)2可以推廣到有限多個函數(shù)的情形，即性質(zhì)2兩個函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例6求解

注

逐項(xiàng)積分后，每個積分結(jié)果中均含有一個任意常數(shù)．由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個任意常數(shù)即可第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例7求解例8求解第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例9求解例10求解第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六解例11求第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例12求解有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果．如例9－12。第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形稱為f(x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個原函數(shù),而是無窮多個(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f(x)的積分曲線族.4.1.4.不定積分的幾何意義

在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f(x)為積分曲線在(x,f(x))處的切線斜率.第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

例13設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解設(shè)所求的曲線方程為,依題意可知因此所求曲線的方程為第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六4.2.1第一類換元法例1

原因在于被積函數(shù)cos2x與公式中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cosu，du=2dx，從而所以有？分析4.2換元積分法第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六綜合上述分析，此題的正確解法如下：第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六解第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六定理1證依題意有即有又由復(fù)合函數(shù)微分法可得第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)不定積分的定義，則有

公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分”法

應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為

第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例2求解解例3求第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例4求解

例5求類似地，有解第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六(1)=(2)(3)(4)(5)此外還可以得到一組積分公式：

第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六4.2.2第二類換元積分法例6求解作變量代換,令,可將無理函數(shù)化為有理函數(shù)的積分,所以有第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

一般的說，若積分不易計算可以作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把原積分化為的形式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后，還要將代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元積分法計算不定積分的基本思想.第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，且定理2那么應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例7求解第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例8求解第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六axt第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例9求解第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六axt第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例10求解第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六axt第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

例8—例10中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.

一般的說，應(yīng)用三角換元法作積分時適用于如下情形：第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六補(bǔ)充的積分公式：第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六由函數(shù)乘積的微分公式移項(xiàng)得對上式兩端同時積分，得公式(1)或公式(2)稱為分部積分公式.或4.3分部積分法第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六注意：

使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.選u的法則是:

指多弦多只選多反多對多不選多指弦同在可任選一旦選中要固定第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例1求解第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例2求解第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例3求解第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例4求解例5求解第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例6求解第四十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例7求解第四十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六例8

求解

在計算積分時,有時需要同時使用換元積分法與分部積分法.第五十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六

把常用的積分公式匯集成表，這種表叫做積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.求積分時，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過簡單的變形后，在表內(nèi)查得所需的結(jié)果.4.4積分表的使用第五十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期六現(xiàn)