湖南省常德市洞市鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為、、，已知，那么這個(gè)三角形一定是．A．等邊三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形參考答案：C2.函數(shù)y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A.2 B.6 C. D.10參考答案：C【分析】函數(shù)y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（﹣3，﹣1），進(jìn)而可得3m+n＝1，結(jié)合基本不等式可得的最小值．【詳解】函數(shù)y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，當(dāng)x+4＝1時(shí)，即x＝﹣3，y＝﹣1，則A（﹣3，﹣1），∴﹣3m﹣n+1＝0，∴3m+n＝1，∴（3m+n）（）＝55+25+2，當(dāng)且僅當(dāng)nm時(shí)取等號(hào)，故最小值為5+2，故答案為:C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，難度中檔．3.在△ABC中，A、B、C成等差，且a，b，c也成等差，又ac=6，則b的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知兩定點(diǎn)F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），點(diǎn)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=9，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓 B．直線 C．橢圓 D．線段參考答案： C【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】判斷P的軌跡滿足橢圓定義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：兩定點(diǎn)F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），點(diǎn)P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=9，|PF1|+|PF2|＞|F1F2|點(diǎn)P的軌跡滿足橢圓的定義，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，軌跡方程的求解，考查計(jì)算能力．5.設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】面面平行的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．根據(jù)題意由判斷定理得l⊥β?α⊥β．若α⊥β，直線l?α則直線l⊥β，或直線l∥β，或直線l與平面β相交，或直線l在平面β內(nèi)．由α⊥β，直線l?α得不到l⊥β，所以所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．【解答】解：面面平行的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．因?yàn)橹本€l?α，且l⊥β所以由判斷定理得α⊥β．所以直線l?α，且l⊥β?α⊥β若α⊥β，直線l?α則直線l⊥β，或直線l∥β，或直線l與平面β相交，或直線l在平面β內(nèi)．所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．故答案為充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷充要條件可以先判斷命題的真假，最好用?來(lái)表示，再轉(zhuǎn)換為是什么樣的命題，最后轉(zhuǎn)化是什么樣的條件．6.不等式的解集是（

）

A.［］

B.［，］

C.（］［，］

D.［，］參考答案：A7.已知二次函數(shù)，若方程的根與滿足，，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A或

B

或

C

或 D

或參考答案：D8.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.設(shè)，且，，，，，則它們的大小關(guān)系是

（

）

A

B

C

D

參考答案：A略10.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.P為拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)，P在y軸上的射影為Q，點(diǎn)M（7，8），則|PM|與|PQ|長(zhǎng)度之和的最小值為

．參考答案：9【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，于是|PQ|=|PF|﹣1，【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為：直線x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1連結(jié)MF，則|PM|+|PF|的最小值為|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值為10﹣1=9．故答案為：9．12.函數(shù)y=2x在[0，1]上的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】分析函數(shù)y=2x在[0，1]上單調(diào)性，進(jìn)而可得答案．【解答】解：函數(shù)y=2x在[0，1]上為增函數(shù)，故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值1，故答案為：113.已知,且,,…,,…,則=

▲

.參考答案：0

14.點(diǎn)P（x，y）在線性約束條件表示的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則|OP|的最小值為

．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由約束條件作出可行域，由點(diǎn)到直線的距離公式求得答案．解答： 解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，|OP|的最小值為原點(diǎn)O到直線x+y﹣1=0的距離，即為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_____________．參考答案：

16.正四面體相鄰兩個(gè)面所成二面角的平面角的余弦值等于____________。參考答案：略17.橢圓（a＞b＞0）)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，若∠F1PF2＝45°，則橢圓的離心率e＝__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，求：(1)函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；(2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．參考答案：解：（1）

…………4分∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.因此，取得最大值的自變量x的集合是.……8分（2）由題意得，即.

因此，的單調(diào)增區(qū)間是.

………………12分略19.（本小題滿分12分）已知橢圓G：＋y2＝1.過(guò)軸上的動(dòng)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓G上的點(diǎn)到直線的最大距離;（2）①當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo);②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．參考答案：（1）;（2），,|AB|=,2（1）設(shè)直線，帶入橢圓方程＋y2＝1得，得，（4分）由圖形得直線與直線的距離為橢圓G上的點(diǎn)到直線的最大距離為（6分）（2）①由題意知，|m|≥1.當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)|AB|＝.（8分）當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝.（9分）②當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.（10分）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.（11分）所以|AB|＝＝＝＝.（12分）由于當(dāng)m＝±1時(shí)，|AB|＝，所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因?yàn)閨AB|＝＝≤2，（13分）且當(dāng)m＝±時(shí)，|AB|＝2，所以|AB|的最大值為2.20.（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線的方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線和曲線的交點(diǎn)、，求.參考答案：21.某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)60秒”活動(dòng)規(guī)定上臺(tái)演唱:

(I)連續(xù)達(dá)到60秒可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤為八等分圓盤)一次進(jìn)行抽獎(jiǎng),達(dá)到90秒可轉(zhuǎn)兩次,達(dá)到120秒可轉(zhuǎn)三次(獎(jiǎng)金累加).

(II)轉(zhuǎn)盤指針落在I、II、III區(qū)依次為一等獎(jiǎng)(500元)、二等獎(jiǎng)(200元)、三等獎(jiǎng)(100元),落在其它區(qū)域不獎(jiǎng)勵(lì).

(III)演唱時(shí)間從開(kāi)始到三位評(píng)委中至少1人嗚啰為止,現(xiàn)有一演唱者演唱時(shí)間為100秒.

(1)求此人中一等獎(jiǎng)的概率;

(2)設(shè)此人所得獎(jiǎng)金為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案：解:(1)

(2)01002003004005006007001000故略22.如圖，在三棱柱中，.(1)證明：；(2)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案：(1)證明：據(jù)題意可知底面為一個(gè)角