第10節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算最新考綱

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,12

3y=

,y=x,y=x

,y=

x

的導(dǎo)數(shù).x4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).編寫(xiě)意圖導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,是高考常考常新的內(nèi)容,難度不大.本節(jié)圍繞高考命題的規(guī)律進(jìn)行設(shè)點(diǎn)選題,重點(diǎn)突出導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,難點(diǎn)突破導(dǎo)數(shù)的幾何意義、方程思想的運(yùn)用、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,思想方法欄目突破了

用方程思想求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題.課時(shí)訓(xùn)練

以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重

點(diǎn),針對(duì)高考考查的知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練,力爭(zhēng)做到萬(wàn)無(wú)一失.考點(diǎn)突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干

固雙基知識(shí)梳理-

f

(x11.函數(shù)的平均變化率f

(x2(1)概念:對(duì)于函數(shù)y=f(x),x2

-

x1=Dy

,叫做函數(shù)y=f(x)從Dxx1

到x2

的平均變化率.幾何意義:函數(shù)

y=f(x)圖象上兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))連線的

斜率

.物理意義:函數(shù)

y=f(x)表示變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,就是該質(zhì)點(diǎn)在[x1,x2]上的

平均

速度.2.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0

處的導(dǎo)數(shù)①定義0稱函數(shù)y=f(x)在x=x處的瞬時(shí)變化率Dy((00lim

=

limDx

fi

0

Dx

Dx

fi

0f

x+

Dx

-

f

xDx為函數(shù)0

0x

=

x00y=f(x)在

x=x

處的導(dǎo)數(shù),記作

f′(x

)或

y′

,即

f′(x

)=lim

DyDx

fi

0

Dx=

lim

f

(x0

+

Dx

-

f

(x0Dx

fi

0Dx.②幾何意義函數(shù)f(x)在x=x0

處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(x0,f(x0))處的

(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t

的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)切線的斜率地,切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).Dx

fi

0Dx(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f′(x)=

lim

f

(x

+

Dx

-

f

(x

為f(x)的導(dǎo)函數(shù).質(zhì)疑探究:曲線y=f(x)“在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線有何異同?(提示:(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),切線斜率為

k=f′(x0)的切線,是唯一的一條切線.(2)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過(guò)P點(diǎn).點(diǎn)P可以是切點(diǎn),也可以不是切點(diǎn),而且這樣的直線可能有多條)3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式見(jiàn)附表g

(x)2

g

(x)4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則①[f(x)±g(x)]′=

f′(x)±g′(x)

;②[f(x)·g(x)]′=

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

;

f

(x

f￠(x g

(x

-

f

(x

g￠(x

③[

]′=

(g(x)≠0).(2)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(ax+b)的求導(dǎo)法則為[f(ax+b)]′=af′(ax+b).基礎(chǔ)自測(cè)1.若函數(shù)f(x)=2x2-1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+Δy),則Dy

等于(Dx(A)4

(B)4x)(C)4+2Δx

(D)4+2Δx2C解析:DyDx=f

(1

+

Dx

-

f

(1Dx=2(1

+

Dx)2

-1

-

2

+1Dx=4+2Δx.故選C.2.曲線y=sin

x+ex

在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是()(A)x-3y+3=0(C)2x-y+1=0(B)x-2y+2=0(D)3x-y+1=0C解析:y′=cos

x+ex,故切線斜率為k=2,切線方程為y=2x+1,即2x-y+1=0.3.(2013棗莊模擬)若y=f(x)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)(

)B(A)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù)

(B)既是周期函數(shù),又是偶函數(shù)

(C)不是周期函數(shù),但是奇函數(shù)

(D)不是周期函數(shù),但是偶函數(shù)解析:因?yàn)閥=f(x)是周期函數(shù),則有f(x+T)=f(x),兩邊同時(shí)求導(dǎo),得f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即f′(x+T)=f′(x),所以導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù).因?yàn)閥=f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),兩邊求導(dǎo)得f′(-x)(-x)′=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x),所以f′(-x)=f′(x),即導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),故選B.2xDx

fi

04.設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足

lim

f

(1

+

2x

-

f

(1

=-1,則y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為

.Dx

fi

0Dx解析:令2x=Δx,由x→0,得Δx→0,則有

lim

f

(1

+

Dx

-

f

(1

=-1,即f′(1)=-1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,y=f(x)在(1,f(1))處切線斜率為-1.答案:-15.給出下列命題:①y′=f′(x)在點(diǎn)x=x0

處的函數(shù)值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0

處的導(dǎo)數(shù)值.②求f′(x0)時(shí),可先求f(x0)再求f′(x0).③曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).④與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.⑤若f(x)=f′(a)x2+ln

x(a>0),則f′(x)=2xf′(a)+1

.x其中正確的是

.解析:①正確.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知其正確.②錯(cuò)誤.應(yīng)先求f′(x),再求f′(x0).③正確.如y=1是曲線y=sin

x的切線,但其交點(diǎn)個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).④錯(cuò)誤.如y=0與拋物線y2=x只有一個(gè)公共點(diǎn),但是y=0不是拋物線

y2=x的切線.⑤正確.f′(x)=[f′(a)x2+ln

x]′=[f′(a)x2]′+(ln

x)′=2xf′(a)+

1

.x答案:①③⑤考點(diǎn)突破剖典例

找規(guī)律考點(diǎn)一【例1】用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=1x在x=1處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念1x解:記

f(x)=

,則Δy=f(1+Δx)-f(1)=1-1=

1

-1

+

Dx

1

+

Dx1

+

Dx

=(1

-

1

+

Dx

(1

+

1

+

Dx1

+

Dx

(1

+

1

+

Dx

)=

-Dx

1

+

Dx

(1

+1

+

Dx

),Dy

=-Dx11

+

Dx

(1

+1

+

Dx

),∴

lim

Dy

=Dx

fi

0

DxDx

fi

0lim

-1

1

+

Dx

(1

+

1

+

Dx

)=-

1

.2x=12∴y′|

=-

1

.反思?xì)w納根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x)在x=x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟Dx求函數(shù)值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);求平均變化率

Dy

=

f

(x0

+

Dx

-

f

(x0

;0(3)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′(x)=Dx

fi

0

DxDxlim

Dy

.考點(diǎn)二【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y=ln

x+

1

;xy=

cos

x

;ex(3)y=(x2+2x-1)e2-x.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算x

x

xx2解:(1)y′=(ln

x+

1

)′=(ln

x)′+(

1

)′=

1

-

1

.ex(2)y′=(

cos

x

)′=(cos

x)￠ex

-

cos

x

(ex

)￠(

)2ex=-

sin

x

+

cos

x

.ex(3)y′=(x2+2x-1)′e2-x+(x2+2x-1)(e2-x)′=(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)·(-e2-x)=(3-x2)e2-x.反思?xì)w納

(1)求導(dǎo)之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度,減少差錯(cuò);(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式,但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn),然后進(jìn)行求導(dǎo),有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則,減少運(yùn)算量;

(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,通過(guò)設(shè)中間變量,確定復(fù)合過(guò)程,然后求導(dǎo).【即時(shí)訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1(1)y=(

x

+1)(

-1);x(2)y=xsin(2x+

π

)cos(2x+

π

);2

2e2

x

+

e-2

xex

+

e-x(3)y=

.解:(1)∵y=

x

·1x-

x

+1x1-1=-

x

2

+

x-

12

,1

-

1∴y′=-(

x

2

)′+(

x

2

)′=-12x-

12

--

3x

2

=-1212

x(1+1x).(2)∵y=xsin(2x+

π

)cos(2x+

π

)2

2=

1

xsin(4x+π)2=-

1

xsin4x,2∴y′=-

1

sin

4x-

1

x·4·cos

4x2

2=-

1

sin

4x-2xcos

4x.2(3)∵y=e2

x

e-2

x+ex

+

e-x=2(ex

+

e-x

)

-

2ex

+

e-x=ex+e-x-2ex

+

e-

x=ex+e-x-e2

x

+12ex,∴y′=(ex)′+(e-x)′-(e2

x

+12ex)′=ex-e-x-2ex

(e2

x

+1

-

2ex2(e2

x

+1)2e2

x=ex-e-x-2(1+e2

x

)2ex

(1

-

e2

x.導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用考點(diǎn)三【例

3】(1)(2014

大同模擬)曲線

y=xex+2x-1

在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為(

)(A)y=3x-1

(B)y=-3x-1(C)y=3x+1

(D)y=-2x-1(2)(2014廣州模擬)已知曲線C:f(x)=x3-ax+a,若過(guò)曲線C外一點(diǎn)A(1,0)引曲線

C

的兩條切線,它們的傾斜角互補(bǔ),則

a

的值為(

)(A)278(B)-2

(C)2

(D)-

278解析:(1)依題意得y′=(x+1)ex+2,則曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線的斜率為(0+1)e0+2=3,故曲線y=xex+2x-1在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為y+1=3x,即y=3x-1,故選A.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t3-at+a).由題意知,f′(x)=3x2-a,切線的斜率為k=f′(t)=3t2-a,①所以切線方程為y-(t3-at+a)=(3t2-a)·(x-t).②將點(diǎn)(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解得t=0或t=3

.2分別將t=0和t=3

代入①式,24得k=-a和k=

27

-a,8由題意得它們互為相反數(shù)得a=27

.故選A.反思?xì)w納

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,k=f′(x0);已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;已知切線過(guò)某點(diǎn)M(x1,f(x1))(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0)),利用k=(-

f

(x01x1

-

x0f

x0=f′(x)求解.【即時(shí)訓(xùn)練】(1)(2015太原測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-2ax+3a2,且在f(x)圖象上的點(diǎn)(1,f(1))處的切線在y軸上的截距小于0,則a的取值范圍是(

)(A)(-1,1)(B)(

2

,1)3(C)(-

2

,1)3(D)(-1,

2

)3(2)點(diǎn)P

是曲線x2-y-2ln距離是(

)x

=0上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線4x+4y+1=0的最小2(A)

2

(1-ln2)2(B)

2

(1+ln

2)(C)2

(21

+ln

2)(D)21

(1+ln

2)2解析:(1)∵f′(x)=3x2+2ax-2a,∴f′(1)=3,又f(1)=1-a+3a2,∴在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=3(x-1)+1-a+3a2,則可得3a2-a-2<0,解得-2

<a<1.故選C.3(2)曲線即y=x2-ln

x,y′=2x-

1

(x>0),x令y′=-1得x=

1

或x=-1(舍去),2x

=0的斜率為-1的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)由此可得曲線x2-y-2ln為(1

,1

+ln

2),2

4該點(diǎn)到直線4x+4y+1=0的距離即為曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值,4

222

+1

+

4

ln

2

+1

2即所求的最小值為

= (1+ln

2).故選B.助學(xué)微博注意f′(x0)與(f(x0))′的不同,f′(x0)表示函數(shù)f(x)在

x=x0

處的導(dǎo)數(shù)值;(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù),其導(dǎo)數(shù)一定為0.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí)要注意變換的等價(jià)性,避免不必要的運(yùn)算失誤.求解切線問(wèn)題時(shí),還需注意“在點(diǎn)P處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P的切線”這兩種說(shuō)法的區(qū)別,前者意味著點(diǎn)P是切點(diǎn),后者意味著點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).思想方法融思想

促遷移方程思想在求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題上的應(yīng)用4【典例】若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3

和y=ax2+15

x-9都相切,則

a

等于(

)(A)-1

或-

25

(B)-1

或

214

6464

4(C)-

7

或-

25

(D)-

7

或

74300解