二階線性偏微分方程的分類第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六10.1基本概念(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導數(shù)的方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；

為的偏導數(shù).有時為了書第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六寫方便，通常記(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階．(3)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)．第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(4)線性方程一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程．(5)準線性方程一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最高階偏導數(shù)是線性的，則稱方程為準線性方程．(6)自由項在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項稱為自由項．第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六例如：方程的通解和特解概念二階線性非齊次偏微分方程的通解為其中是兩個獨立的任意函數(shù)．因為方程為二階的，所以是兩個任意的函數(shù)．若給函數(shù)指定為特殊的，則得到的解第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六稱為方程的特解．

n階常微分方程的通解含有n個任意常數(shù)，而n階偏微分方程的通解含有n個任意函數(shù)．10.2數(shù)學物理方程的分類第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

在數(shù)學物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導方程；穩(wěn)定場方程．這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點．我們在解析幾何中知道對于二次實曲線其中為常數(shù)，且設(shè)第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六則當

時，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏微分方程進行分類.

下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程為例，進行理論分析．而對于更多個自變量的情形盡管要復雜一些，但討論的基本方法是一樣的．兩個自變量(x,y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六（10.2.1）其中為的已知函數(shù)．

定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般積分，則是方程第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(10.2.3)的一個特解．在具體求解方程(10.2.10)時，需要分三種情況討論判別式1.當判別式以求得兩個實函數(shù)解

時，從方程(10.2.10)可第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實的特征線．于是，令即可使得．同時，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定．所以，方程(10.2.6)即為(10.2.4)第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六或者進一步作變換于是有所以第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六又可以進一步將方程(10.2.11)化為

這種類型的方程稱為雙曲型方程．我們前面建立的波動方程就屬于此類型．2．當判別式時：這時方程(10.2.10)一定有重根第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六因而只能求得一個解，例如，，特征線為

一條實特征線．作變換就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．這樣就可以任意選取另一個變換，只要它和彼此獨立，即雅可俾式第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六即可．這樣，方程(10.2.6)就化為

此類方程稱為拋物型方程．熱傳導（擴散）方程就屬于這種類型．第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3.當判別式面的討論，只不過得到的時：這時，可以重復上和是一對共軛的復函數(shù)，或者說，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是一對共軛復函數(shù)族．于是是一對共軛的復變量．進一步引進兩個新的實變量第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六于是所以

方程(10.2.11)又可以進一步化為第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

這種類型的方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．

綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只需討論判別式

即可.

第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六10.3二階線性偏微分方程標準化對于二階線性偏微分方程(10.3.1)若判別式為，則二階線性偏微分方程分為三類：第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六時，方程稱為雙曲型;時，方程稱為拋物型;時，方程稱為橢圓型;1.雙曲型偏微分方程因為雙曲型方程對應(yīng)的判別式所以特征曲線是兩族不同的實函數(shù)曲線，第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六設(shè)特征方程的解為令(10.3.2)進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问降诙豁?，共三十七頁，編輯?023年，星期六(10.3.3)上式稱為雙曲型偏微分方程的第一種標準形式，再作變量代換，令或則偏微分方程又變?yōu)榈诙?，共三十七頁，編輯?023年，星期六(10.3.4)上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式．注：上式中的“*”號不代表共軛，僅說明是另外的函數(shù)。如與是兩個不同的函數(shù)。

2．拋物型偏微分方程第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六因為拋物型偏微分方程的判別式線是一族實函數(shù)曲線．，所以特征曲其特征方程的解為(10.3.5)因此令進行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?10.3.6)第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六上式稱為拋物型偏微分方程的標準形式．3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式，所以特征曲線是一組共軛復變函數(shù)族．其特征方程的解為(10.3.7)若令第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(10.3.8)作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?10.3.9)上式稱為橢圓型偏微分方程的標準形式．第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六10.4二階線性常系數(shù)偏微分方程的進一步化簡

如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標準形式的方程還可以進一步化簡．下面按三種類型分別介紹化簡的方法1.雙曲型

對于下列含常系數(shù)的第一種標準形式的雙曲型標準方程還可進一步化簡第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六注：上式中用小寫字母代表常系數(shù)，以便與我們不妨令大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來,例如．為了化簡，從而有(10.4.2)第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六其中

由第二種標準形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進一步化簡(10.4.3)式中均為常系數(shù)．若令第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

則有(10.4.4)(10.4.5)其中第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六對于含常系數(shù)的拋物型偏微分標準方程（含常系數(shù)）

（10.4.6）還可以進一步化簡．上式中小寫字母均為常系數(shù)．為了化簡，不妨令從而有(10.4.7)2.拋物型第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3.橢圓型對于下列第一種標準形式的橢圓型標準方程(含常系數(shù))(10.4.8)還可以進一步進行化簡．上式中小寫字母的為常系數(shù)．第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六為了化簡，不妨令從而有(10.4.9)其中第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

含有兩個自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以寫成下面的形式：其中L是二階線性偏微分算符，G是x,y的函數(shù)．線性偏微分算符有以下兩個基本特征：10.5線性偏微分方程解的特征第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六其中均為常數(shù)．進一步有如下結(jié)論：1.齊次的線性偏微分方程的解有以下特性：為方程的解時，則也為方程的解；(1).當為方程的解，則也是方程的解；(2)若2.非齊次的線性偏微分方程的解具有如下特性：第三十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六為非齊次方程的特解，為齊次方程的通解，則為非齊次方程的通解；(1)若(2)