2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷

理科數(shù)學(xué)-全解全析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的.

1.已知純虛數(shù)z=(l+i)加2—(4+i)〃7+3,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為()

A.1B.3C.1或3D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件可列出方程及不等式，即可求得答案.

【詳解】因為z=(l+i)/-(4+i)m+3為純虛數(shù),

故2=〃/-4加+3+(加,則卜24”+3°,解得用=3.

、)[m-ni^Q

故選：B

2.A={X\X2-3X+Z..0],8={x|x2-5x+4.0},C={x|x>3},則Qc8)uC=()

A.{x\x.,2}B.32,X,4}C.*|x=l或x.2}D.{x|x=l或2.4}

【答案】C

【分析】先解一元二次不等式求出集合A,8,再根據(jù)集合的基本運算即可求解.

【詳解】?.?4="|工2-3%+2...0}={刈尤.2或工1},

5={X|X2-5X+4..0}={X|L,x,4},

Zc5={x2x,4或x=1},

因為C={》|x>3},

「.(4c8)uC={x|x..2或x=1},

故選：C.

3.數(shù)列{〃“}滿足/=/+h+2,若不等式%2%恒成立，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.(-9,-8)D.(-9,-7)

【答案】B

【分析】由,，、2利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得答案.

4HI"5k\1丁k~2

【詳解】-2，

an=n~-\-kn-\-2=yi+—\——F2

?.?不等式％之久恒成立，

3.5K--K4.5,

2

解得-9444-7,

故選：B.

4.已知平面向量￡,B滿足同=2忖=20，￡,B的夾角為若04+京，則J"卜（）

A.?B.1C.空D.巫

9333

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可.

【詳解】同=2慟=2五，"，否的夾角為得展g=|司方卜0$?=2,

4_-276

+—G?b+，同H=亍

9

故選：D.

5.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸到準(zhǔn)線的距離為4,點加（國,弘），N（X2，%）在拋物線C上，若

（乂-2%）（凹+2%）=48,則訴=（）.

INr

A.4B.2C.-D.v

42

【答案】A

【分析】由焦準(zhǔn)距求出P,結(jié)合拋物線第一定義得需=g1,（必-2%）（乂+2%）=48整理得

弁-4父=48,由j?=2px代換/即可求解.

【詳解】拋物線C:/=2px（p>0）的焦點尸到準(zhǔn)線的距離為4,所以P=4,C:/=8x

依題意，〃-4^=48,而y；=8再，4只=32x2,

故8玉一32々=48,即8占+16=323+64,則苞+2=4（々+2）,

\MF\x,+2

同=

故選：A.

6.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值是（）

n=1,S=O

>2022?

/輸出s/

(O

【答案】A

【分析】根據(jù)程序框圖理解可得：輸出的S的值為有關(guān)余弦值求和問題，在解題的過程中，把握住余弦函

數(shù)的周期性的應(yīng)用，從而求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題中所給的框圖，可知輸出的S的值：

故選：A

7.如圖，在直三棱柱NBC-44G中，Z8/C=90。，4C=Z8=；44=1,設(shè)。，E分別是棱CQ上的兩

個動點，且滿足。E=l,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.平面/8C上平面8QE/平面8QE

C.AB}mADE三棱錐力-8QE體積為定值

【答案】C

【分析】根據(jù)面面垂直、線面平行、線面垂直、錐體體積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，過A作垂足為尸，

根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知BB、，平面ABC,

由于“/u平面/8C,所以,

由于8CABB、=B,BC,u平面BCC^,

所以4F_L平面BCC畫,即“尸，平面BQE,

由于N/u平面力8C,所以平面平面5QE,A選項正確.

B選項，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知4/〃C￡,即//〃OE,

由于平面BQE,DEu平面BQE,所以/平面8QE,B選項正確.

C選項，若/々L平面4OE,即/用二平面/4GC,

由于4“u平面44℃,所以這與己知“四，4/不垂直矛盾，C選項錯誤.

D選項，匕一觸E=%TD￡,由于三角形4DE的面積為定值、用到平面/4GC的距離為定值,

所以叱一B&E-，B「ADE為定值，所以D選項正確.

故選：C

8.已知等比數(shù)列｛見｝的前〃項和為S.，公比為q,則下列選項正確的有（）

A.若4>1,則B.aia2-an=(a,a?)2

2

C.數(shù)列｛%“-%｝是等比數(shù)列D.對任意正整數(shù)〃，(52n-5?)=5?(S3?-52?)

【答案】D

【分析】取4<0,結(jié)合作差法可判斷A選項；取q<0,〃=2可判斷B選項；取4=1可判斷C選項：利

用等比數(shù)列的求和公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若q<0且g>i,則對任意的〃?N*，an=atq"-'<0,

所以,%+「?！?見（<7-1）<0，即4川<。"'A錯：

對于B選項，當(dāng)”0時,%。2=。；4<0，則卅2<。，（的2戶>0，B錯;

對于c選項，若4=1,則見+1-%=0,此時，數(shù)列｛與“-%｝不是等比數(shù)列，c錯;

對于D選項，S2ll-S?=a.+|+ail+2+…+/”=/(%+&+…+。“)=，

SS+a+

3n~2n=02,"2,l+2+…=4+。2…+%)=40

所以，S,S.-SG=q2"S；=S,-S了,D對.

故選：D.

9.己知四面體/8C。的所有頂點在球。的表面上，482平面BCD,AB=2拒,CD=20ZCSD=135°,

則球O的體積為（)

.16曬兀B.西-28)D28ar

A?-------C.--

333?3-

【答案】D

【分析】作圖,先找到外接球的球心，算出底面三角形88外接圓的半徑，再構(gòu)造三角形運用勾股定理求出

外接球的半徑.

,外接圓的半徑為八由正弦定理得

CD26_八.1,

sinZCBDsin135

過0'作底面BCD的垂線，與過AC的中點E作側(cè)面Z8C的垂線交于O,則0就是外接球的球心,

An「_________

并且。0'=《-=百,外接球的半徑&=08=，0。2+'2=，3+4=嶼,

球。的體積為-=W乃川=生近萬；

33

故選：D.

10.由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞

減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的

概率是（）

1

B.—D

12-I

【答案】A

【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，放置在首或末位，則

其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計算公式即可得解

【詳解】由I,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共A；=120個，前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字

保持遞增，說明中間數(shù)字為I;

在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，按照遞減順序，僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩

位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.C：xl=6

因此“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有C：=6個,

所以所求的概率尸=言=:

故選：A.

11.如圖所示，F(xiàn)],F?是雙曲線C：三一與=1(〃>0,h>0）的左、右焦點，C的右支上存在一點8滿

a2b2

足8口吟納與C的左支的交點A滿足彩箸=需，則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.20C.V13D.V15

【答案】C

sinZAFF\BFI

【分析】在△/叫和△/月中，由正弦定理結(jié)合條件.=禺得到|/用=|/局,設(shè)|”|=MH=X

Sint?r21

（x>0）,由雙曲線的定義和勾股定理得到x=3a,結(jié)合陽用2=|即f+|班『即可求解.

朋監(jiān)I

【詳解】在△NB8中，由正弦定理得:①,

sinZ.AF2BsinNBAF?

I/

在△/百后中，由正弦定理得:mI②,

sinZAF2F1sinZF}AF2

又Z.BAF+=7t,則sinZ.BAF=sinZ.FAF,

2Z.FXAF22X2

所以@徨I陰sin4F/防」

以②得.sinZ/4F25\AFX\歸用|'

又怒責(zé)隅喘陶瑞即網(wǎng)佃:

設(shè)|力8|二|力耳|=x（x>0）,由雙曲線的定義得：忸用=2x,忸6|=2x-2a,\AF^=x+2a,

由鶴_L鶴得：閭2=M,2+忸用2n（x+2〃）2=%2+（2x_2a）2,解得：x=3a9

所以忸[=6a,忸曰=4a,

22222

在△他用中，由勾股定理得：\F,F^=|5/=；|+|BF\=＞（2c）=（6a）+（4a）,

整理得：c2=13a2,即雙曲線C的離心率e==

故選：C.

12.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,/（2x+2）為偶函數(shù)，/（x+1）為奇函數(shù)，且當(dāng)xw[O,l]時，f[x}=ax+b.

若/（4）=1,則￡/1+；）=（）

11

A.-B.0C.-D.-1

22

【答案】c

【分析】由/（2X+2）為偶函數(shù)，/（x+1）為奇函數(shù)得到/（x+5）=/（x+l）,故函數(shù)/（X）的周期7=4,結(jié)合

/（4）=1得到6=1,由/（-x+l）=-/（x+l）得/（1）=0,從而求出a=-l,采用賦值法求出

==再使用求出的/（x）的周期7=4,賦值法得到/1）=；.

【詳解】因為〃2x+2）為偶函數(shù)，所以〃-2x+2）=/（2x+2）,

用;x+g代替x得：/(-x+l)=/(x+3),

因為/(x+1)為奇函數(shù)，所以〃-x+l)=-/(x+l),

故小+3)=-/?+1)①,

用x+2代替x得：/(x+5)=-/(x+3)②,

由①②得：/(x+5)=〃x+l),

所以函數(shù)〃x)的周期7=4,

所以/(4)=/(0)=1,即6=1,

因為/(-x+l)=-/(x+l),令x=0得：/(1)=-/(1).故/。)=0,

/⑴=。+6=0,解得：。=-1,

所以xe[0,l]時，/(x)=-x+l,

因為/(-x+l)=-/(x+l),

其中/（￡|=_；+i=；，所以/

2

因為/(-2x+2)=〃2x+2),

令x[得：/(-2xl+2]=/(2xl+2],即《|)/(|)=T，

因為7=4,所以佃=/(?/卜｛|，

因為/(-x+l)=-/(x+l),

令x=|得：f

泣+{H1]+/圖+佃"彳+”；.

故選：C

【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的對稱性和周期性：

若〃x+a）+/（T+b）=c,則函數(shù)〃x）關(guān)于（學(xué),中心對稱,

若〃x+a)=/(-x+6),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=+對稱,

若函數(shù)〃x）關(guān)于x=a軸對稱，關(guān)于（6,0）中心對稱，則函數(shù)〃x）的周期為4a-6|,

若函數(shù)〃x）關(guān)于x=a軸對稱，關(guān)于x=b軸對稱，則函數(shù)f（x）的周期為2W-”,

若函數(shù)〃x）關(guān)于（a,0）中心對稱，關(guān)于（3,0）中心對稱，則函數(shù)“X）的周期為2|a-瓦

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,3,5,7出現(xiàn)的頻率分別為P1,p2,P）,Pa，且,若這組數(shù)據(jù)的中位

/=!

數(shù)為2,貝Ij0=.

【答案】0.5##g

【分析】分析得到樣本數(shù)據(jù)從小到大排序后中間兩個數(shù)為1，3,即得解.

【詳解】???樣本數(shù)據(jù)中只有1,3,5,7,沒有2,

樣本數(shù)據(jù)一共有偶數(shù)個數(shù)，且從小到大排序后中間兩個數(shù)為1,3,

???樣本數(shù)據(jù)中有一半是1,=0.5.

故答案為：0.5

14.已知實數(shù)x,y滿足：(x+2)2+(y-l)2=l,則|1一2x+引的取值范圍是

【答案】［6-阮6+⑹

【分析】方法一：采用三角換元法，然后利用兩角差的正弦公式集合求解；

方法二：利用"2X+M的兒何意義：可以看作圓心(-2,1)到直線2x-y-l=0距離的右倍，然后利用點到

直線的距離公式即可求解.

【詳解】解法一：因為(x+2『+37)2=1,所以令X+2=COS6,y-l=sin/

則x=-2+cos8,y=l+sin<9,

故11-2x+川=|6+sin6-2cos0\=\6+y/5避sin0-cos0

I=|6+y[5sin(^-^>)|,其中cos。=—^，

、55

sine=$,因為4,sin(6—0)K,,

所以6—646+7?5淪(。一夕)46+店，

所以6—石<6+^5sin(0-cp^<6+價，

故|l-2x+”的取值范圍為［6-追,6+V?］.

|_4_1一“二色石

因為圓心(-2,1)到直線2、-尸1=0的距離d

解法二:下~5

所以圓心上的點到直線2x-y-l=0的距離的取值范圍為|A/5-1,1V5+1

又因為|2x-y-l|=6?匡和,

75

所以|2x-y-l|的取值范圍是［6-右,6+追］.

故答案為：［6-石,6+石］.

15.在函數(shù)/(x)=sin(2x-"3>0)圖象與x軸的所有交點中，點俘。)離原點最近，則?？梢缘扔?/p>

(寫出一個值即可).

【答案】|(答案不唯一)

【分析】先求出/(x)與x軸的所有交點，再結(jié)合題意得到與W5+g兀恒成立，整理得(3+3,20,分

類討論人21,左4-1與-1<%<1三種情況，結(jié)合恒成立可得到0<94"|,從而得解.

【詳解】因為/(x)=sin(2x-0)3>0),

令/(x)=0,即sin(2x-e)=0,得2x-<p=kn,kwZ,即x=￡+|■兀,/eZ,則/(x)圖象與x軸的所有交點

導(dǎo)》,0卜ez,

為

與0)離原點最近，所以

因為其中點陣y+y,keZ恒成立,

不等式兩邊平方整理得@+義40,

當(dāng)先21時，(p+^7t>0,因為9>0,故g+g兀20恒成立；

當(dāng)《4—1時，9H—7t<0,l!!!(p<—兀恒成、工，因為—兀2—,則夕W—,故0<尹4—；

222222

當(dāng)-1<左<1,即左=0時，顯然上述不等式恒成立，

綜上，由于上述分類情況要同時成立，故所以9可以等于:.

故答案為：y(答案不唯一).

2

16.已知函數(shù)/■(x)=4elnx----+mx存在4個零點，則實數(shù)”的取值范圍是__________.

x-elnx

【答案】(0,1)

【分析】方程根的數(shù)量轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點個數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)結(jié)合圖形共同分析可以求解.

2

【詳解】轉(zhuǎn)化為〃x)=4ehx---—+〃a=0有四個解，

x-elnx

丫2

即4elnr--------F)優(yōu)=0在x>0范圍內(nèi)有四個解，

x-elnx

elnYr

即4照———+加=。在4〉。范圍內(nèi)有四個解，

xx-elnx

即———4陋=/在x>0范圍內(nèi)有四個解，

x-elrixx

1Aelnx_

即；——二在x>0范圍內(nèi)有四個解，

1--

X

人/、elnx

令g(x)=---,

X

則g'(x)=%二媽，

X

令8'(》)=0得％=0,

所以當(dāng)0<x<e時，g'(x)>0,當(dāng)x>e時，g'(x)<o,

pinr

所以g(x)=吧在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減,

所以g(x)max=g(e)=l，

做出g(x)大致圖像如下:

則原方程轉(zhuǎn)化為」--4上機“<1),

1T

令〃。)=」--4t,

1-/

h\t)=—5-^—4

(一)2'

令，(f)=0得f=g，

當(dāng)時，/f(z)<0,當(dāng)！</<1時，/(f)>0,

22

所以人⑷在(f,g)遞減，在(；，1)遞增，

所以〃7€(0,1)時，對應(yīng)解出兩個，值,

從而對應(yīng)解出四個X值，

故答案為：me(0,1).

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.在力5c中，角4,3,C的對邊分別為a,6,c,已知2c+b=2acosB.

⑴求角A；

(2)若角A的平分線與BC交于點M,BM=4不，CM=2幣,求線段的長.

【答案】⑴若

(2)4

【分析】(I)利用余弦定理角化邊或利用正弦定理邊化角即可求解；

(2)在和△ZCW中用兩次正弦定理可得c=26,然后在』8c中利用余弦定理可得瓦c的長度，進

而可得cosB的大小，再在中利用余弦定理即可求解.

【詳解】(1)解法一：由余弦定理可得2c+b=2ax/+l-〃

lac

即2c2+be=/+一從，整理可得〃+02一/=』，

-be1

所以3"=與產(chǎn)-----——

2bc2

因為0＜力＜乃，所以力=7.

解法二：由正弦定理可得2sinC+sin8=2sinJcos5,

因為hABC，sinC=sin為一(％+8)]=sin(4+8)=sincos5+cos4sink,

所以2cosAsin8+sin8=0,

因為sin8,0,所以cos4=-』,

2

因為0<4<)，所以力=空.

(2)如圖所示

由題意可得是角A的平分線，4彎，NBAMJ,

BMAM

在△力8M中,由正弦定理可得

sin/BAMsin8

477_AM后

即西=嬴萬，解得sin§\2&

24近

CMAM

在△ZCM中，由正弦定理可得?.二

sinZ.CAMsinC

277AMG4A/

l/6sinC>解鵬得門sinC=2

T2V7

所以sinC=2sin8,由正弦定理邊角互化得c=2b,

在4ABe中由余弦定理（6J7）=h1+46,-2xbx2bx解得6=6,c=12,

所以c0s8=3￡=口士:

5

lac2x6V7xl226

設(shè)+g1）2_

在“8/W由余弦定理得/A/?=C2+BM2-2xcxBMxcosB=2x12x4——,

2V7

解得4M=4.

18.如圖1所示，在平行四邊形尸8CD中，ABLPD,PA=AD=AB,將APZB沿48折起，使得二面角

的大小為60。，如圖2所示，點M為棱45的中點，點N為棱PC上一動點.

圖1

（1）證明：PMLCD；

（2）若四棱錐尸-的體積為2^3，求直線MN與平面PCD所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

._.6^99

133

【分析】（1）取力。的中點E,連接ME,BD,PE,結(jié)合已知條件先證明，再證明PEJ.CD,得

到CD1平面PME,從而結(jié)論即可得到.

⑵設(shè)AB=AD=PA=a,BC=2a,利用體積求得。，進而建立以/為坐標(biāo)原點，以4B,AD為x,了軸,

以過4且平行于PE的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面尸8的一個法向量而，利用向量

法可求出最大值.

【詳解】（1）證明：取的中點E,連接ME,BD,PE,

,丁點〃為棱48的中點，在中，

ME//BD,

AB=AP=AD,ABA.PD，

???在平行四邊形尸88中

有NDPB=NDCB=45°,ZDBC=ZBDA=45°,

??.ZBDC=180o-45°-45o=90°,

/.BDLCD,

???折起后也有BQ-LCQ

所以ME_LCO,

PAIAB,ADIAB,

."PAD為二面角P-AB-D的平面角，即/尸力。=60°,

.?.45工平面尸4。，QPEu平面P4D

AB1PE,

?.?ZP4D=60。，PA=AD,

.??△尸力。為正三角形，

：.PE1AD,

-AB^\AD=A,

.?.尸EJ_平面

???COu平面ZBCZ),

:.PE工CD,

?：MEcPE=E，

\CD八平面PME,

???PA/u平面PME,

PMLCD.

(2)設(shè)AB=AD=PA=a?BC=2a,

那么點P到面ABCD的距離就是PE的長，也就是恒，

2

_(a+2a>_32

ABCD_2-2'

V1c132百。6優(yōu)o國

VP-ABCD=-jSABCDXPE=-X-OX-y==2,3，

解得a=1,

AB=AD=AP=PD=2,8c=4,

以“為坐標(biāo)原點，以43,AD為x,y軸，以過4且平行于PE的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

設(shè)點"（/，乂）*。），

根據(jù)定與而方向相同得：言=詈=怒號=’，

N（2—2t,4—3z?y/3t）,

-：DC=[2,2,0),PD=(O,1,-V3),

設(shè)平面PCD的一個法向量為/M=(a,b,c),

DCm=2a+2b=0

PDm=b-y/3c=0'

令c=1,

解鋁a=-幣>,b=VJ>

二平面PCD的一個法向量為w=(-"瓜1)

???MN=(1-2t,4-3/,后)，

MNm

cos<MN>=

3出

V16r2-28/+17xV7

6>^99-

133

二直線與平面PCD所成角的正弦值的最大值為處叵.

133

【點睛】本題考察方向：

①證明線線，線面，面面平行

②證明線線，線面，面面垂直

③線面角

④異面直線所成角

⑤二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值

⑥已知二面角大小或正弦、余弦值求參數(shù)

解決方法：利用線線，線面，面面平行或垂直的判定定理及性質(zhì)定理；建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量

解決問題.

19.學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1,2,30號站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)

則要求：第〃7(14〃?428,meN)號同學(xué)得到球后傳給機+1號同學(xué)的概率為:，傳給加+2號同學(xué)的概率為：，

直到傳到第29號(投籃練習(xí))或第30號(投籃練習(xí))時，認定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的

概率為:，30號同學(xué)投籃命中的概率為,，設(shè)傳球傳到第〃(2。430,〃€此號的概率為耳,.

(1)求心的值;

(2)證明：陀+「2}(24〃428)是等比數(shù)列;

⑶比較29號和30號投籃命中的概率大小.

【答案】⑴4=2'0

（2）證明見解析

（3）29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率.

【分析】（1）依題意籃球傳到4號有以下三種途徑：1號傳2號傳3號傳4號，1號傳2號傳4號，1號傳

3號傳4號按照相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得；

211

（2）依題意可得月=3%+3%2,即可得到勺-21=-§（匕「匕2），從而得證：

（3）由（2）利用累加法求出與，即可求出乙9、pio,從而求出29號、30號命題的概率，即可比較大小.

【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號有以下三種途徑：1號傳2號傳3號傳4號其概率為:x；x；=2；

33327

212122

1號傳2號傳4號其概率為；1號傳3號傳4號其概率為，

339339

巾u八82220

4279927

（2）解；依題意籃球傳到第〃-2號，再傳給〃號其概率為:吃_2；

籃球傳到第〃-1號，再傳給〃號其概率為32月一，因此有2=924-+：12—2，

DJJ

且6一4七(1+§22x、#52=31，

可得匕-月

所以｛匕+「匕｝是首先為公比為-；的等比數(shù)列.

27中一9’月F中-9(?-

（3）解：只=；,P.^-,

39

由累加法，可得匕=￡+，丫+L+彳甲]

913)9(3)9(3)

可

二+L駕L

39H4）44

_Q]_]「31(]丫”

所以馬=（+卜卜9'p｝

02833|_4413J

一31(iY8l1

所以29號投籃命中的概率為

3。號投籃命中的概率為泊x信<器<rrHJ4

因為:x（-gj>0>；x（-;J,所以29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率.

22

20.如圖所示，48為橢圓從鼻+方=l（a>b>0）的左、右頂點，焦距長為2百，點尸在橢圓E上,直線尸4尸8

（1）求橢圓后的方程；

（2）已知。為坐標(biāo)原點，點。（-2,2）,直線PC交橢圓E于點M（M,P不重合），直線8M,OC交于點G.求證:

直線/1P,/G的斜率之積為定值，并求出該定值.

【答案】（1）工+/=1

4

（2）證明見解析，定值為一；

【分析】（1）根據(jù)焦距、直線P4PB的斜率之積求得a,6,從而求得橢圓E的方程.

（2）設(shè)出直線MP的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，通過計算直線",ZG的斜率之積來

證得結(jié)論成立，并求得定值.

【詳解】（1）由題意，N（-a,0）,8（a,0）,設(shè)尸（x。,九）,

￡

kPA=人，%=人由題意可得士.蓋

x0+ax0-a4

1621a2一。21

——n——=—n-----=—

4a24a24

又2c=26，所以c=JL解得a=2

所以，橢圓E的方程為上+/=1；

4

（2）由題意知，直線MP的斜率存在，設(shè)直線〃尸:了=丘+加，且

2=-2左+機/（七,必）,〃伍,力）

y=kx+m

聯(lián)立工22,得（1+442）工2+8%加x+4〃?2_4=0

彳+T-

由A>0,得4/+1-加2>。，

一8km4/M2-4

所以$+%1+4/丙*2-[+4公

設(shè)G(T"),由G,M,B三點共線可得一三=氣=-2月

~t-LX-y-ZW+為一2

~t+2$+2

t_2L_=________必%=___________JV2___________

—/+2X1+2（工2+2%—2）6]+2）[（2左+1）/+2加—2[（X[+2）

222

y2kx]x2+km（X）+x2）+wy）

[（〃7-l）X2+2w-2]（再+2）（加一1）（、2+2）（x1+2）（〃7-1）[再了2+2（再+/）+4]

4m2-4-8km2

k2+km-+mk2（4加2_418左2加2+加2+必2加2

1+4左21+4〃

4m2-4-Skm（加一1）14加2—4一16?2+4+16左21

（m-1）+4

1+4人21+4左2

m2-4k2_（加一2左）（加+2左）_m+2k_tn+m-2_1

4（加一。（小一4癡+4公）4（加一1）（陽一2人了8（/w-l）8（W-1）4

所以，直線4P,/G的斜率之積為定值-;

4

21.設(shè)函數(shù)/(x)=e*cosx,gW=/W-xsinx.

⑴當(dāng)xe時，求/(x)的值域；

(2)當(dāng)xe-p|時，試判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù).

-5n-

【答案】⑴L^e4

(2)g(x)的零點個數(shù)為2

【分析】(1)對“X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求得〃x)的單調(diào)性，進而可求得f(x)在0卷上的

最值，由此得解；

(2)對g(x)求導(dǎo)，分類討論xe-pO、xe(0,；與女仲假三種情況，結(jié)合正余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)判

斷得g(x)的單調(diào)性及正負情況，利用零點存在定理即可判斷得g(x)的零點個數(shù).

【詳解】(1)依題意，得/'(x)=e，(cosx-sinx),

TTTT

令ra)=o,得工十0式，

4L3_

當(dāng)XW0，￡|時，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)T昔時，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

n3

因為/(o)=l，/.M=￡>e￡=e>I)所以/口焉=],

222

所以〃x)的值域為1,孝e：.

、7171

(2)函數(shù)g(x)=e*cosx-xsinx,xe,

則g'(x)=e*cosx-e*sinx-sinx-xcosx,

令6(x)=e*_x,則/j'(x)=e*-l,

令l(x)>0,得x>0；令〃'(x)<0,得x<0；

所以〃(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+s)匕單調(diào)遞增,

故力(“)2力(0)=1>0,故e-x>0,

①當(dāng)xe-^,0時，g'(x)=(ex-xjcosx-(ex+l)sinx

可知e*-x>0,cosx>0,(ev+1)>0,sinx<0,所以(e*-x)cosx20,(ex+l)sinx<0,

所以8'(》)=卜"-“8$》-佇+1卜而丫20,所以g(x)在上單調(diào)遞增,

又因為g(-]]=-]<0，g(0)=l>0,

所以g(x)在-去0上有個零點；

②當(dāng)xe(0,；時，cosx>sinx>0,e1>x>0-

所以e*cosx>xsinx，所以g(x)=e*cosx-xsinx>0在(0,：匕恒成立，

所以g(x)在(0,:無零點；

③當(dāng)x￡[7彳時，g(x)=ex(cosx-sinx)-(xcosx+sinx),

因為cosxvsinx,所以cosR-sinx<0,er>0,故e'(cosx-sinx)<0,又xcosx+sinx>0,

所以g'(x)<0,則g(x)在(若單調(diào)遞減,

又因為g[￡j=q<0,g(T=乎/用>0,

所以g(x)在(卻上存在?個零點，

綜上：當(dāng)xe-p|時，g(x)的零點個數(shù)為2.

【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

在直角坐標(biāo)系中，曲線"的參數(shù)方程為一皿g"+"O’0】卷為參數(shù);?若以該直角坐標(biāo)系的原點。為

1=sin264

極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為：,，smg-三’二岑r(其中，為常數(shù))

(1)若曲線N與曲線M只有一個公共點，求/的取值范圍；

(2)當(dāng)/=-2時，求曲線〃上的點與曲線N上點的最小距離

-料?忑:：'威%=-2—

【答案】(1)如⑵8

【詳解】試題分析：(1)將曲線〃的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程為拋物線的一部分，將曲線N的極坐標(biāo)方

程化為直角坐標(biāo)