云南省河口縣高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺2．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.3．已知向量，，若與共線，則實數(shù)值為（）A. B.C.1 D.24．若點是函數(shù)圖象上的動點（其中的自然對數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.5．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.46．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.7．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.8．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標(biāo)為A. B.C. D.9．命題“若，則”為真命題，那么不可能是（）A. B.C. D.10．已知點在橢圓上，與關(guān)于原點對稱，，交軸于點，為坐標(biāo)原點，，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.12．在中，角、、的對邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，（，）的左右焦點分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.14．橢圓的長軸長為______15．已知點，點是直線上的動點，則的最小值是_____________16．如圖，已知正方形邊長為，長方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，對任意都有恒成立，求實數(shù)的最大值18．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程19．（12分）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.20．（12分）已知函數(shù)，求（1）（2）（3）曲線在處的切線方程21．（12分）2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結(jié)束，柯潔三戰(zhàn)全負，這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.（1）請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān)？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學(xué)生出賽，若從5名學(xué)生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知拋物線的焦點為，點在第一象限且為拋物線上一點，點在點右側(cè)，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【題目詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長為，立夏當(dāng)日日影長為，故所以冬至當(dāng)日日影長為.故選：B2、D【解題分析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案【題目詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D3、D【解題分析】根據(jù)空間向量共線有，，結(jié)合向量的坐標(biāo)即可求的值.【題目詳解】由題設(shè)，有，，則，可得.故選：D4、A【解題分析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點到直線的距離，再求解即可.【題目詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A5、D【解題分析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.6、C【解題分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【題目詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C7、A【解題分析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【題目詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.8、A【解題分析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當(dāng)三點共線時，最小，此時故點的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點P的坐標(biāo)為．選A點睛：與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決9、D【解題分析】根據(jù)命題真假的判斷，對四個選項一一驗證即可.【題目詳解】對于A：若，則必成立；對于B：若，則必成立；對于C：若，則必成立；對于D：由不能得出，所以不可能是.故選：D10、B【解題分析】由，得到，結(jié)合，得到，進而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.11、D【解題分析】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【題目詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營運費用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.12、B【解題分析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【題目詳解】因為，則，則，由余弦定理可得，因為，則，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解題分析】由題意，不妨設(shè)直線與圓相切于點，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解【題目詳解】如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點，，由于代入進入，可得，漸近線方程為故答案為：，14、4【解題分析】把橢圓方程化成標(biāo)準形式直接計算作答.【題目詳解】橢圓方程化為：，令橢圓長半軸長為a，則，解得，所以橢圓的長軸長為4.故答案為：415、【解題分析】直接根據(jù)點到直線的距離公式即可求出【題目詳解】線段最短時，與直線垂直，所以，的最小值即為點到直線的距離，則.故答案為：.16、【解題分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【題目詳解】長方形可得，因為平面與平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】的定義域為，且當(dāng)時，顯然，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得則有：極大值即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數(shù)得，極小值，則的最大值為18、（1）（2）或【解題分析】（1）將橢圓化為標(biāo)準方程，求得，進而求得離心率；（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設(shè)直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或19、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求弦長.【題目詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【題目點撥】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：設(shè)出圓的方程，可以是標(biāo)準方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.20、（1）（2）（3）y=【解題分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的運算法則求解即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)計算即可；（3）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程.【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】當(dāng)時，f(x)=0，則切點為所以切線方程是，即y=21、(1)沒有95%把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān).(2).【解題分析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯(lián)表如下非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100因為，所以沒有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān).（2）由（1）中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學(xué)生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學(xué)生中隨機抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，