第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2、

原函數(shù)設(shè)函數(shù)f的定義域?yàn)閰^(qū)間I,若存在I上的可微函數(shù)F,使F

(x)=f(x)(x∈I).則稱F(x)為f在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).注①:若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在下一章我們將知道f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù).即：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).注②:若F(x)=f(x),則C∈R,有[F(x)+C]=F(x)=f(x).這就是說,若f(x)有原函數(shù),則f(x)有無限多個(gè)原函數(shù).

第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四注③:若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù),則[F(x)G(x)]

=F(x)G(x)=0.故F(x)G(x)為常數(shù)——f(x)的任兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù).這就是說,若f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x),則f(x)的其他原函數(shù)都可以寫成F(x)+C,

其中C為某個(gè)常數(shù).注④:設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).我們用{F(x)+C，C為任意實(shí)數(shù)}表示f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù).

第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四3、

不定積分（1）

定義函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記為其中f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量.若F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則=F(x)+C.其中C稱為積分常數(shù).注⑤:不定積分和原函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（2）d與的關(guān)系設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則

由此可見，不計(jì)常數(shù)C，微分運(yùn)算d與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

于是由基本導(dǎo)數(shù)公式，有基本積分公式.（3）基本積分公式積分公式微分公式

1）2），第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四，，，3）4）5），，，，，，6）7）8）9）10）11），，12）13）第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（4）性質(zhì)設(shè)f(x),g(x)有原函數(shù),k1,k2∈R,則

特別地，1)設(shè)f(x有原函數(shù),k∈R,則2)設(shè)f(x),g(x)有原函數(shù),則第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例1.(1)

(2)(3)第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（5）引例的解決

1)xoy平面上一曲線過點(diǎn)（0，1），并在點(diǎn)(x,y)的斜率為ex-1，求此曲線。解答:設(shè)此曲線為y=f(x),則f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得f(x)=ex-x.第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2)一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t以速度v(t)=2t-1運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)從初始時(shí)刻t=0到時(shí)刻t所經(jīng)過的距離f(t)．解答:f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得f(t)=t2-t.第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四二不定積分的換元積分法

1第一類換元積分法(湊微分法)設(shè)函數(shù)u=j

(x)可微,F(u)為f(u)的一個(gè)原函數(shù),則例1.=F(u)+C=F[j(x)]+C.

第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例2.設(shè)a>0,則例3.設(shè)a≠0,則例4.

第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例5.例6.例7.例8.例9.

第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例10.例11.例12.=arctan(x+2)+C.

第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例13.例14.例15.

第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例16.例17.

第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例18.或=ln|tanx+secx|+C.=ln|tanx+secx|+C.

第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2第二類換元積分法

設(shè)f(x)連續(xù),x=j

(u)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),j

(u)≠0,且f[j

(u)]j

(u)的一個(gè)原函數(shù)為F(u).則事實(shí)上,思考

第一類換元積分法與第二類換元積分法的區(qū)別何在?=F(u)+C=F[j1(x)]+C.=f[j

(u)]=f(x).

第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例19.求下列不定積分.(1)解:(1)令則=2u2ln|1+u|+C(2)(2)令則=…

第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例20.計(jì)算下列不定積分(其中a>0).(1)解:令x=asinu,則

第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(2)解:令x=atanu,則(其中C=lna+C1).注②:本例中的代換方法稱為三角代換.

第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四三不定積分的分部積分法

1原理

d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)_u(x)dv(x)=d[u(x)v(x)]v(x)du(x)_∫u(x)dv(x)=∫d[u(x)v(x)]∫v(x)du(x)=u(x)v(x)∫v(x)du(x).2舉例(1)∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx+cosx+C.=xsinx

∫sinxdx

第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(2)∫(x2+x)exdx=(x2+x)ex

∫ex(2x+1)dx=(x2+x)ex

∫(2x+1)d(ex)=∫(x2+x)d(ex)=(x2+x)ex

∫exd(x2+x)=(x2+x)ex

(2x+1)ex+∫exd(2x+1)=(x2x1)ex+2∫exdx=(x2x+1)ex+C.[x2cosx+∫x2sinxdx],注意！

若∫xcosxdx[x2cosx∫x2d(cosx)]則積不出!

第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四=(x2+x)lnxx2

x+C.

(3)∫(2x+1)lnxdx=∫lnxd(x2+x)=(x2+x)lnx∫(x2+x)d(lnx)=(x2+x)lnx∫(x+1)dxex(cosx+sinx)+C(其中所以∫excosxdx=移項(xiàng)得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,=ex(cosx+sinx)∫exd(sinx)=excosx+∫exsinxdx(4)∫excosxdx=∫cosxd(ex)=excosx

∫exd(cosx)=excosx+∫sinxd(ex)

第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四另解

∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx

∫sinxd(ex)=exsinx

∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=ex(cosx

+sinx)∫cosxd(ex)=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,移項(xiàng)得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.所以∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C(其中

第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(5)

n=1時(shí)，已在例18解決。n=2時(shí)，n>2時(shí)，取u=secn-1x,v’=sec2x分部積分。(6)第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四補(bǔ)充例題課1．證明：

在（-1，1）上原函數(shù)不存在；2．設(shè)試確定常數(shù)A、B、K。3計(jì)算下列積分

第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四

第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四

已知的一個(gè)原函數(shù)是，求。

第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四一定積分基本概念與性質(zhì)

1.引例

1）

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程2）變力作功

§2定積分3）曲邊梯形的面積設(shè)y=f(x)∈C[a,b],且f(x)非負(fù).計(jì)算曲線y=f(x)與x=a,x=b,以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A.Riemann[德](1826~1866)

第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(1)

分割:[a,b]=[x0,x1]∪[x1,x2]∪[x2,x3]∪…∪[xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.Dxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)(2)

近似:取xi∈[xi-1,xi],DAi≈f(xi)Dxi(3)

求和:A=SDAi≈Sf(xi)Dxi(4)取極限:令=max{Dxi},

第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2

定積分的概念設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上有界,A∈R.任取一組分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn-1<xn=b.在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)xi.記Dxi=xi–xi-1,=max{Dxi}.若無論怎樣分割[a,b],怎樣選取xi∈[xi-1,xi],都有則稱f在區(qū)間[a,b]上可積,稱A即f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,b,a分別稱為積分上,下限,[a,b]稱為積分區(qū)間.為f在[a,b]上的(黎曼)定積分,記為

第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四注①:

→0則n→∞,但反之未必.注②:定積分與積分變量所用的符號(hào)無關(guān),即注③:注④:f(x)在[a,b]上可積的充分條件:(i)f(x)∈C[a,b];(ii)f(x)在[a,b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn);(iii)

f(x)在[a,b]上單調(diào)有界;(iv)g(x)在[a,b]上可積,f與g僅在有限多個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值不同.此時(shí)

第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四注⑤:若已知f(x)在[a,b]上可積,則在按定義計(jì)算時(shí),可選取特殊的分割和特殊的xi.例1.計(jì)算解:因?yàn)閥=x2∈C[0,1],xi=xi(i=1,2,…,n).則所以x2在[0,1]上可積,取xy=x2Oy

第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例2.將極限表示成定積分.解原式例3.求曲線y=f(x)(x∈[a,b])繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積(其中f(x)在[a,b]上非負(fù),可積).

第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解:任取一組分點(diǎn)a=x0<x1<…<xn-1<xn=b.將[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間:[xi-1,xi].在區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)xi.記Dxi=xi–xi-1,d=max{Dxi}.3.幾何意義y=f(x)(x∈[a,b])的曲邊梯形的面積.（1）

若x∈[a,b],f(x)0,則表示以曲線

第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（2）若x∈[a,b],f(x)0,則表示以曲線y=f(x)(x∈[a,b])的曲邊梯形的面積的相反數(shù).（3）若

f(x)在[a,b]上變號(hào),則表示以曲線y=f(x)與直線x=a,x=b,以及x軸所圍成的各塊圖形的面積的代數(shù)和.如:圖中

第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四4.

定積分的性質(zhì)若f,g在[a,b]上可積,k1,k2∈R,則（2）

積分區(qū)間可加性若f在某區(qū)間I上可積,則f在I的任一子區(qū)間上可積,且a,b,c∈I,（1）

線性性質(zhì)

第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（3）保序性若f,g在[a,b]上可積,且x∈[a,b],f(x)g(x),則推論:設(shè)f在[a,b]上可積.1)若x∈[a,b],f(x)0,則2)3)若x∈[a,b],mf(x)M,則

第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四設(shè)f∈C[a,b],在[a,b]上的最大值為M,最小值為m.則從而故至少存在一點(diǎn)x∈[a,b]使即于是有如下定理:

第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（4）

積分中值定理若f∈C[a,b],則至少存在一點(diǎn)x∈[a,b]使積分中值或積分均值,它是有限個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值的概念對(duì)連續(xù)函數(shù)的推廣.注⑥:通常稱為函數(shù)f在[a,b]上的注⑦:積分中值定理的幾何意義:

第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四二微積分學(xué)基本定理與基本公式1

變限的定積分（1）定義:設(shè)f(t)∈C[a,b],則x∈[a,b],f(t)在區(qū)間[a,x]上可積,于是有與之對(duì)應(yīng).由此得到一個(gè)函數(shù)稱為變上限的積分所定義的函數(shù).類似地,可以定義變下限的積分

第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（2）變上限積分所定義的函數(shù)的性質(zhì)=(x+x)(x)=f()x.由f(x)的連續(xù)性得:類似地,由積分中值定理,界于x與x+x之間,使得x,x+x∈(a,b).(x)=f(x).設(shè)f(t)∈C[a,b],則函數(shù)[a,b]上連續(xù)可導(dǎo),且(x)=f(x),x∈［a,b］.在區(qū)間

第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例1.設(shè)求(x).解:因?yàn)榕cu=x2復(fù)合而成的,是由所以(x)=f(u)u

=[ln(1+u)]2x=2xln(1+x2).例2.求解:由積分中值定理,存在界于x2與sinx之間,使=(x2sinx)ln(1+).因此這是一個(gè)0”“0型的極限.

第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四所以

第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四注:通常把F(b)F(a)記為例3.(1)(2)(3)(4)2.

微積分學(xué)基本公式若f(x)∈C[a,b],F(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則=

F(b)F(a).

第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例5.設(shè)其中f為連續(xù)函數(shù),求f(8).解:因?yàn)閒為連續(xù)函數(shù),且所以f(x3)3x2=3.令x3=8得x

=2,f(8)=1/4.例6.設(shè)f為連續(xù)的偶函數(shù),證明:F(x)=是奇函數(shù).證明:[F(x)]

=F(x)=f(x)=f(x)=F(x).故存在常數(shù)C使得F(x)=F(x)+C.取x=0得C=F(0)

F(0)=0.因而F(x)=F(x),即F(x)是奇函數(shù).

小結(jié):函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、原函數(shù)基本特性之間的關(guān)系。第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四三定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)f∈C[a,b],函數(shù)x=j(u)滿足下列條件:(1)j(a)=a,j(b)=b,(2)當(dāng)u從a變到b時(shí),對(duì)應(yīng)的x從單調(diào)地a變到b.(3)j

∈C[a,b](或j∈C[b,a]).則注②

:若只假定

f可積,但要求j嚴(yán)格單調(diào),

則有相同的結(jié)論成立.(為什么?)注①:注意條件以及上下限的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解:令x=sint,則例1.計(jì)算下列定積分.(1)(2)解:令x=sint,則

第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例2.設(shè)函數(shù)f∈C[-a,a],證明:(1)若f為偶函數(shù),則(2)若f為奇函數(shù),則

第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四若在[-a,a]上連續(xù)，則

一般性結(jié)論:如何證明?即證這只要換元即可：第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四并計(jì)算(2)例3.設(shè)函數(shù)f∈C[0,1],證明:(1)證明:(1)令則

第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(2)令x=u,則于是可得因而

第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四四定積分的分部積分法1.原理

2.舉例

(1)

第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(3)計(jì)算(2)=1.解:令x=t2,0

t則

第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四1計(jì)算：（1）

（2），其中在[0，1]上連續(xù)；。習(xí)題課

（3）2

估計(jì)下列定積分的值：；（2）

（1）3

計(jì)算:(1)；(2)第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四五、無窮區(qū)間上的廣義積分

1設(shè)函數(shù)f在[a,+∞)上有定義,若b>a,為f在無窮區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分,記為f在[a,b]上可積,則稱如=1.即

第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2若極限存在,則稱廣義積分否則稱廣義積分收斂,該極限值稱為f在[a,+∞)上的積分值;發(fā)散.3類似地,可以定義函數(shù)f在無窮區(qū)間(∞,b]及其斂散性.如上的廣義積分=1.

第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四不存在.4設(shè)函數(shù)f在(∞,+∞)上有定義,稱為f在(∞,+∞)上的廣義積分(c為任一實(shí)數(shù)).與則稱收斂,否則稱發(fā)散.若廣義積分都收斂,

第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四如注①

由存在推不出收斂.

第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四5統(tǒng)稱為無窮區(qū)間上的廣義積分.

第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四6.幾何意義

7.重要的廣義積分

例1.討論廣義積分的斂散性.解:當(dāng)p=1時(shí),有=+∞.

第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)p≠1時(shí),有當(dāng)p>1時(shí)收斂,其值為

當(dāng)p1時(shí)發(fā)散.

因此廣義積分

第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四注②

在計(jì)算廣義積分時(shí),對(duì)于無窮區(qū)間上的廣義

若F(x)是f(x)在[a,+∞)我們把記為積分上的一個(gè)原函數(shù),則

第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四對(duì)于廣義積分我們把記為=10=1.若F(x)是f(x)在(∞,b]上的一個(gè)原函數(shù),則如

第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四一、微元法思想

§3定積分的應(yīng)用

回憶曲邊梯形面積的計(jì)算。1.回憶曲邊梯形面積的計(jì)算設(shè)y=f(x)∈C[a,b],且f(x)非負(fù).計(jì)算曲線y=f(x)與x=a,x=b,以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A.第六十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(1)

分割:[a,b]=[x0,x1]∪[x1,x2]∪[x2,x3]∪…∪[xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.Dxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)(2)

近似:取xi∈[xi-1,xi],DAi≈f(xi)Dxi(3)

求和:A=SDAi≈Sf(xi)Dxi(4)取極限:令=max{Dxi},

第六十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四由此產(chǎn)生微元法的思想.2.微元法設(shè)Q是由f(x)在[a,b]上確定,其中f(x)∈C[a,b],將[a,b]劃分為n個(gè)小區(qū)間,取其代表[x,x+Dx],Q在[x,x+Dx]上的增量記為DQ,尋求dQ,使DQdQ為Dx的高階無窮小量(Dx→0),我們稱dQ為Q的微元,且有第六十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四二、平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)系中①y=f(x)與y=g(x)以及x=a,x=b所圍成的圖形的面積(其中f(x)g(x))

第七十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四②x=j(y