2.2.1橢圓及其標準方程1.掌握橢圓的定義，會用橢圓的定義解決實際問題.（重點）2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程.（重點）3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關(guān)問題.（難點）學習目標探究1：取一條定長的沒有彈性的細繩，如何畫出一個圓？圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓.一、橢圓的定義探究2：如果將繩子的兩端拉開一定的距離，固定在平面上兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，畫出的軌跡是什么曲線？思考：一、橢圓的定義1.在畫橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？一、橢圓的定義探究3：如果將繩子的兩端逐漸拉遠，畫出的軌跡是什么曲線？

平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)（大于|F1

F2|）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。一、橢圓的定義M1.2.若2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.3.若2a<2c，則M點的軌跡不存在.(2a)(2c)練習1判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓1.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為6的點的軌跡2.到F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為4的點的軌跡3.到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為3的點的軌跡是不是沒有軌跡二、橢圓的標準方程觀察橢圓圖形，回答下列問題：1.通過剛才的作圖，改變兩焦點之間的距離，橢圓的形狀會有怎樣的變化？F1F22.橢圓具有對稱性嗎？二、橢圓的標準方程OxyF1F2M（x,y）(-c,0)(c,0)

解：以F1F2所在直線為x軸，F(xiàn)1F2

的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1,F2的坐標分別為(-c,0)、(c,0)。

設M（x,y）為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)焦點在x軸的橢圓的標準方程OxyF1F2M（x,y）(-c,0)(c,0)焦點在y軸的橢圓的標準方程

12yoFFMxy

xoF2F1M定義圖形方程焦點F1(-c,0)F2(c,0)|MF1|+|MF2|=2a>2c條件F1(0,-c)F2(0,c)分母哪個大，焦點就在哪個軸上標準方程圖形焦點坐標a、b、c的關(guān)系焦點位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO二、橢圓的標準方程定義|MF1|+|MF2|=2a>2c練習1：判斷下列橢圓焦點的位置，并寫出焦點坐標和焦距焦點在x軸，坐標（3,0），（-3,0），焦距2c=6焦點在y軸，坐標（0,4），（-4,0），焦距2c=8焦點在x軸，坐標（1,0），（-1,0），焦距2c=2焦點在y軸，坐標（0,），（-,0），焦距2c=練習2：如果橢圓上一點P到焦點F1的距離等于6，那么，點P到另一個焦點F2的距離是_____________14（1）兩焦點的坐標是(-4,0),(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10。例1

求適合下列條件的橢圓的標準方程三、橢圓的標準方程的應用（2）焦距是8，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10。（1）兩焦點的坐標是（-4，0），（4，0）橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10。解：由題意橢圓的焦點在x軸上，

2a=10,c=4,所以橢圓的標準方程為當橢圓的焦點在x軸上時，

2a=10,c=4,標準方程為（2）焦距是8，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10。當橢圓的焦點在y軸上時，解：標準方程為綜上，橢圓的標準方程為（3）兩焦點的坐標分別是（-2，0），（2，0）并且橢圓經(jīng)過點。解：因為橢圓的焦點在x軸上，所以設標準方程為由橢圓的定義知，∴∴所以橢圓的標準方程為（3）兩焦點的坐標分別是（-2，0），（2，0）并且橢圓經(jīng)過點。解：因為橢圓的焦點在x軸上，所以設標準方程為所以橢圓的標準方程為由已知c=2①又由已知，聯(lián)立①②解方程組得例2

已知B、C是兩個定點，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18，求這個三角形的頂點A的軌跡方程.OxyBCA（x,y）由|BC|＝8可知點B(－4,0)，C(4,0).由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，因此，點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a＝10，但點A不在x軸上.由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.解以過B、C兩點的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示.利用橢圓的定義求軌跡方程，是先由題意找到動點所滿足的條件，看其是否符合橢圓的定義，再確定橢圓的方程.變式2如圖，圓O的半徑是4，A為圓O內(nèi)一個定點，且，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l

和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？QAOPl五、課堂小結(jié)一個定義兩個方程兩種方法兩種思想當堂檢測：2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4,b=1,焦點在x軸上（2）a=4,c=,焦點在y軸上（3）a+b=10,c=1.如果點M(x,y)在運動過程中，總滿足關(guān)系式，則點M的軌跡是________,它的方程是__________________3.經(jīng)過橢圓的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A,B