第十五章結構動力計算第一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五學習目的和要求

工程結構除受靜荷載作用外，有時還會受到隨時間迅速變化的動荷載作用，如地震荷載等。在動荷載作用下，結構發(fā)生振動，結構的內力、位移等將隨時間變化。確定它們的變化規(guī)律，從而得到這些量的最大值，以便做出合理的動力設計是本章的學習目的。

本章基本要求：

掌握動力自由度的判別方法。

掌握單自由度、有限自由度體系運動方程的建立方法。

熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系動力特性的計算。

熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系在簡諧荷載作用下動內力、動位移的計算。

掌握阻尼對振動的影響。

了解自振頻率的近似計算方法。第二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.1結構動力計算概述⑴結構動力計算的特點

①荷載、約束力、內力、位移等隨時間變化；②建立平衡方程時要考慮質量的慣性力。

第三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑵結構動力計算的內容

①確定結構的動力特性，即結構本身的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。通過自由振動（由初位移或初速度引起的振動）研究結構的自振頻率和振型。

②計算結構的動力反應，即結構在動荷載作用下產(chǎn)生的動內力、動位移等。通過強迫振動（由動荷載引起的振動）研究結構在動荷載作用下的動力反應。結構的動力反應與動力特性有密切的關系。

⑶動力計算自由度確定運動過程中任意時刻全部質量的位置所需獨立幾何參數(shù)的數(shù)目稱為體系的振動自由度。

實際結構的質量都是連續(xù)分布的，都是無限自由度體系，常作簡化如下：

①集中質量法把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。

第四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五②廣義坐標法假設振動曲線為

是滿足位移邊界條件的已知函數(shù),稱為形狀函數(shù),a1,a2,…an為待定參數(shù)（廣義坐標）。如an只取有限項，則結構簡化成有限自由度體系。③幾點注意：對于具有集中質量的體系，可通過加支桿限制質量運動的辦法確定體系的自由度。振動體系的自由度數(shù)與計算假定有關，而與集中質量的數(shù)目和超靜定次數(shù)無關。如圖1所示幾個體系。第五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五第六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五

1）集中質量法把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振動時的計算簡圖(屋架質量遠大于柱子質量)單自由度體系三個自由度體系第七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五水平振動時的計算體系多自由度體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)三個自由度三個自由度復雜體系可通過加支桿限制質量運動的辦法確定體系的自由度第八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑷動力計算的原理和方法

結構動力計算中常用的基本原理為達朗伯原理：在質點運動的每一瞬時，作用在質點上的所有外力（荷載與約束力）與假想地加在質點上的慣性力互相平衡，可利用靜力學的處理方法建立結構的運動方程。在建立運動方程時，取靜力平衡位置作為位移y的坐標原點，位移y、速度、加速度的正方向取為一致。①柔度法

利用體系的柔度系數(shù)，根據(jù)位移協(xié)調條件建立運動方程。在質點運動的任一時刻，體系在質點處的位移應等于該時刻的動荷載、慣性力、阻尼力共同作用下所產(chǎn)生的靜力位移。②剛度法利用體系的剛度系數(shù)，根據(jù)平衡條件建立運動方程。

第九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五在質點運動的任一時刻，各質點上的動荷載、慣性力、彈性力、阻尼力組成平衡力系。其中慣性力、阻尼力為

，彈性力列向量為

按位移法原理來求。第十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑸動荷載分類：按其變化規(guī)律及其作用特點可分為:1）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉動電機的偏心力）第十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2）沖擊荷載：短時內劇增或劇減。3）隨機荷載：(非確定性荷載)荷載在將來任一時刻的數(shù)值無

法事先確定。（如地震荷載、風荷載）第十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.2單自由度自由振動⑴建立運動方程

①柔度法取體系為研究對象，在質點上假想地加上慣性力，如圖1，質點位移為慣性力產(chǎn)生的靜位移，列出運動方程為：②剛度法。取質點為研究對象，作用在質點上的彈性力和假想地加在質點上的慣性力互相平衡，建立平衡方程得運動方程為：第十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五自由振動---由初位移、初速度引起的,在振動中無動荷載作用的振動。分析自由振動的目的---確定體系的動力特性：頻率、周期。一.運動方程及其解阻尼---耗散能量的作用。mEIl令二階線性齊次常微分方程第十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五自由振動微分方程的解)(mk=w)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty)0(020=T=yCyycossin)(21ww+=tCtCtyy(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω)(0akyym=+

..02yy=+Tw..)0(010w=T=vCvy

.總位移第十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五)sin()(aw+=tatysincos)(00www+=tvtyty001vytgwa-=22020,vyaw+=0cosavαw=0sinaya=sincoscossintatawawa+=振幅:初始相位角:無阻尼自由振動是簡諧振動第十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五結構的自振周期和自振頻率)sin()(aw+=taty)2(wp+=ty))2(sin(awpw++=ta)2sin(paw++=ta周期函數(shù)的條件:y(t+T)=y(t))sin()(aw+=taty是周期函數(shù),且周期是:頻率:每秒鐘內的振動次數(shù).圓頻率:2π秒內的振動次數(shù).自振周期計算公式的幾種形式：gstD=p2gW=dp2m=dp2km=p2T=wp2圓頻率計算公式的幾種形式：stgD=Wg=dmk=wm=d1第十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題1－6頻率計算第十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例1：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三則者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2據(jù)此可得：ω1∷ω2∷ω3=1∷1.512

∷2結構約束越強,其剛度越大,剛度越大,其自振動頻率也越大。第十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB例2:求圖示剛架的自振頻率。不計柱的質量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3第二十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五11l/32l/3m例3例4l/2lm1第二十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五1θ例5解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1h解法2：求δ第二十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例6lEImk1k11k11k解：求k對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為無窮大的剛架)計算剛度系數(shù)方便。一端鉸結的桿的側移剛度為：兩端剛結的桿的側移剛度為：第二十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.3單自由度強迫振動

⑴簡諧荷載

第二十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五強迫振動（受迫振動）：結構在荷載作用下的振動。ky(t)ymkyP(t)mP(t)P(t)m彈性力－ky、慣性力和荷載P(t)之間的平衡方程為:1、簡諧荷載：tmFtAtAqqwqqsinsinsin22=+-tAyqsin=tytmFystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=單自由度體系強迫振動的微分方程特解：........mtFyyqwsin2=+..第二十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五最大靜位移yst（是把荷載幅值當作靜荷載作用時結構所產(chǎn)生的位移）。特解可寫為：通解可寫為：設t=0時的初始位移和初始速度均為零，則：過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段；平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）按自振頻率振動按荷載頻率振動第二十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五平穩(wěn)階段：最大動位移（振幅）為：動力系數(shù)β為：1023123wqb重要的特性：當θ/ω→0時,β→1，荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。當0<θ/ω<1時,β>1，并且隨θ/ω的增大而增大。當θ/ω→1時,β→∞。即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅會無限增大。稱為“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25稱為共振區(qū)。當θ/ω>1時,β的絕對值隨θ/ω的增大而減小。當θ很大時，荷載變化很快，結構來不及反應。第二十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五①簡諧荷載作用下動力反應的一般計算方法

由以上各式可見，對于無阻尼體系，位移、慣性力、動荷載三者頻率相同，相位角相同。三者同時達到幅值。由于結構的彈性內力與位移成正比，所以位移達到幅值時，內力也達到幅值。于是得到簡諧荷載作用下動力反應的一般計算方法：將荷載幅值和慣性力幅值加在結構上，按一般靜力學方法求解，即得到體系的最大動內力和最大動位移。②比例算法：單自由度體系荷載作用在振動質點上，并且其作用線與質點運動方向重合時，荷載和慣性力共線，兩者可以合成一個力為：

第二十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五可見，只需按靜力法求出荷載幅值P0產(chǎn)生的靜內力和靜位移，乘以動力系數(shù)即可得到動內力幅值和動位移的幅值。內力和位移的動力系數(shù)相同。

不計阻尼時，動力系數(shù)在（－∞，0）和（1，∞）范圍內變化，θ<ω時，β>0，θ>ω時，β<0。由于振動是往復的，對于單自由度體系的振動計算來說β的正負并無實際意義，常取其絕對值。第二十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題1強迫振動例題第三十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，由于體系上各截面的內力、位移都與質點處的位移成正比，故各截面的動內力和動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)按靜力方法來計算即可。例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1求梁中點的動位移幅值及最大動力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求β3)求ymax,Mmax第三十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例17-3有一簡支梁（I28b），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3，E=2.1×104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量Q=35kN，轉速n=500r/min。由于具有偏心，轉動時產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為Psinθt。忽略梁的質量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。梁長l=4m.解：1）求自振頻率和荷載頻率

2）求動力系數(shù)β175.6MPa必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質點上受干擾力作用的情況。對于干擾力不作用于質點的單自由度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。I22b3570cm4357039.739.71.35可見，對于本例，采用較小的截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經(jīng)濟效益。52.3/57.4=0.91,共振！325149.2第三十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.4阻尼對振動的影響第三十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五一.阻尼與阻尼力阻尼:使振動衰減的作用.阻尼產(chǎn)生原因:材料的內摩擦,連接點、支承面等處的外摩擦及介質阻力等.c-----阻尼系數(shù)

阻尼對振動的影響阻尼力：在振動分析當中用于代替阻尼作用的阻礙振動的力。粘滯阻尼理論假定阻尼力的大小與速度成正比，方向與速度相反。二.計阻尼自由振動1.運動方程及其解m令運動方程設特征方程第三十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2.振動分析根為令方程的通解為由初始條件不振動--臨界阻尼系數(shù)---阻尼比不振動小阻尼情況臨界阻尼情況超阻尼情況周期延長計算頻率和周期可不計阻尼第三十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2.振動分析周期延長計算頻率和周期可不計阻尼振動是衰減的對數(shù)衰減率利用此式,通過實驗可確定體系的阻尼比.上式也可寫成第三十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五EI=∞m例題：圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質量均集中在橫梁處共計為m9.8kN，加一水平力P=9.8kN，測得側移A0=0.5cm，然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s及一個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比ξ和阻尼系數(shù)c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22返回第三十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五三.計阻尼簡諧荷載受迫振動1.運動方程及其解設或通解第三十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五初位移、初速度引起的自由振動分量動荷載激起的按結構自振頻率振動的分量,稱為伴隨自由振動純受迫振動第三十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2.阻尼對振幅的影響在平穩(wěn)階段隨增大而減小阻尼在共振區(qū)內影響顯著,在共振區(qū)外可不計阻尼.的最大值并不發(fā)生在位移滯后于荷載3.動內力、動位移計算除動力系數(shù)計算式不同外，其它過程與無阻尼類似。11第四十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五m將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即為動荷載引起的位移。一般動荷載作用時的受迫振動分析一.瞬時沖量的反應1.t=0時作用瞬時沖量m2.

時刻作用瞬時沖量第四十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五一般動荷載作用時的受迫振動分析2.

時刻作用瞬時沖量二.動荷載的位移反應m---杜哈美積分計阻尼時若t=0時體系有初位移、初速度第四十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例.求突加荷載作用下的位移，開始時靜止，不計阻尼。m解：動力系數(shù)為2第四十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題

有阻尼強迫振動例題第四十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例15-4圖示機器與基礎總重量W=60kN，基礎下土壤的抗壓剛度系數(shù)為cz=0.6N/cm2=0.6×103kN/m3，基礎地面積A=20m2。試求機器連同基礎作豎向振動時(1)自振頻率；(2)機器運轉產(chǎn)生P0sinθt，P0=20kN，轉速為400r/min。求振幅及地基最大壓力。(3)如考慮阻尼，阻尼比ξ=0.5，求振幅及地基最大壓力。WP0sinθt解:(1)讓振動質量向下單位位移需施加的力為：

k=czA=0.6×103×20

=126×103kN/m第四十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五解:(2)求荷載頻率求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力解(3)：求動力系數(shù)豎向振動振幅地基最大壓力第四十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.5多自由度自由振動⑴剛度法

⑵柔度法

⑶主振型的正交性

⑷幾點注意第四十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2、剛度法：（建立力的平衡方程）兩個自由度的體系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2質點動平衡方程:即:設:特點:1)兩質點具有相同的頻率和相同的相位角.2)兩質點的位移在數(shù)值上隨時間變化,但兩者的比值始終保持不變y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常數(shù).............結構位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型.彈性力分析第四十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2kij表示使j點產(chǎn)生單位位移(其它點位移=0)時,在i點需施加的力(稱為剛度系數(shù)).第四十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五振型計算公式頻率計算公式頻率方程....振型方程為了得到Y1、Y2的非零解，應使系數(shù)行列式=0展開是ω2的二次方程，解得ω2兩個根為：可以證明這兩個根都是正根。與ω2相應的第二振型：因為D=0，兩個振型方程式線性相關的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求與ω1相應的第一振型：

第五十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五ω2的兩個根均為實根；矩陣[k]為正定矩陣的充分必要條件是：它的行列式的順序主子式全部大于零。故矩陣[k]為正定矩陣。k11k22-k12k21>0ω2的兩個根均為正根；第五十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五與ω2相應的第二振型：求與ω1相應的第一振型：多自由度體系能夠按某個主振型自由振動的條件是：初始位移和初始速度應當與此主振型相對應。一般解：在這種特定的初始條件下出現(xiàn)的振動，在數(shù)學上稱為微分方程組的特解，其線性組合即一般解。第五十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五<0>0幾點注意：①ρ1ρ2必具有相反的符號。②多自由度體系自振頻率的個數(shù)=其自由度數(shù)，自振頻率由特征方程求出。③每個自振頻率相應一個主振型。主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式。④自振頻率和主振型是體系本身的固有特性。第五十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題4多自由度1第五十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例17-4：m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2k21k111解：求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww代入頻率方程：+第五十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五1)當m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y11=1第二主振型第五十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2)當m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求頻率：求振型：如n=90時當上部質量和剛度很小時，頂部位移很大。（鞭梢效應）第一振型：第二振型：特征方程：+++第五十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題5多自由度2第五十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例：質量集中在樓層上，層間側移剛度如圖。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk柔度矩陣[δ]和質量矩陣[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ第五十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五展開得:解之:ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三個頻率為：3）求主振型：（令Y3i=1）將λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前兩式：

2）求頻率：解得：同理可得第二、第三振型第六十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五求振型、頻率可列幅值方程.振型方程頻率方程按振型振動時m1m2振型可看作是體系按振型振動時，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移⑵柔度法

第六十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五位移幅值方程：

頻率方程：

其中[δ]剛度矩陣，為n×n的對稱矩陣；[I]為n階單位矩陣；λ=1/ω2

兩個自由度體系的位移幅值方程：

頻率方程：

第六十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五展開得頻率計算公式：將求得的頻率代入位移幅值方程得到主振型：

第一主振型：

第二主振型第六十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題6柔度法1－3第六十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例1：求簡支梁的自振頻率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系數(shù)P=1P=1求得頻率：求得主振型：mm第六十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例2例1另解。l/3l/3l/3mml/3另解：如果結構本身和質量分布都是對稱的，則主振型不是對稱就是反對稱。故可取半邊結構計算：1對稱情況：l/91反對稱情況：第六十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例3：求圖示體系對稱振動情況下的頻率。mmmEIEIEIllllm/2m1210.5110.8750.251133第六十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2111Yij為正時表示質量mi的運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。返回第六十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑶主振型的正交性

主振型的正交性是指在多自由度體系和無限自由度體系中，任意兩個不同的主振型相對于質量矩陣和剛度矩陣正交。即：

(11-12)第六十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22主振型的位移幅值恰好為相應慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。對這兩種靜力平衡狀態(tài)應用功的互等定理：因為：ω1≠ω2主振型之間的第一正交關系一般說來，設ωi≠ωj相應的振型分別為：{y（i）}，{y（j）}由振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}=｛0｝得：[K]{Y}=ω2[M]{Y}[K]{Y（i）}=ω2[M]{Y（i）}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）[K]{Y（j）}=ω2[M]{Y（j）}{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）主振型的正交性第七十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2j{Y（j）}T[M]T{Y（i）}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）（c）=（b）轉置（a）－（c）第一正交關系：相對于質量矩陣[M]來說，不同頻率相應的主振型彼此是正交的;第二正交關系：相對于剛度矩陣[K]來說，不同頻率相應的主振型彼此是正交的;如同一主振型定義：Mj廣義質量Kj廣義剛度所以：由廣義剛度和廣義質量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。第七十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑷幾點注意

①低阻尼體系的自由振動可以不考慮阻尼的影響。

②n個自由度體系有n個頻率和主振型。各頻率之間的關系是：ω1<ω2<…<ωn。

③[K]－1=[δ]，可見剛度法、柔度法實質上是相同的，可以互相導出。當計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁，靜定結構）；當計算體系的剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。

④主振型是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式。多自由度體系能夠按某個主振型振動的條件是：初始位移和初始速度應當與此主振型相對應。

⑤為正時表示質量mi的運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。

⑥主振型正交性的物理意義：體系按某一主振型振動時，在振動過程中，其慣性力不會在其它振型上作功。因此，它的能量便不會轉移到別的振型上去，從而激起其它振型的振動。即各主振型可以單獨出現(xiàn)。

⑦頻率、主振型及主振型的正交性是體系本身的固有特性，與外荷載無關。第七十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.6多自由度強迫振動⑴位移幅值計算

⑵慣性力幅值計算⑶動內力幅值計算⑷對稱性的利用

第七十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五1、柔度法（忽略阻尼）因為在簡諧荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很?。辉诠舱駞^(qū)之內時，計不計阻尼，雖對振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。tPqsintPqsiny1y2....P（2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強迫振動。

§13.6兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動（1）建立振動微分方程各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法第七十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五n各自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入：第七十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五（3）動內力幅值的計算....荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達到最大。位移達到最大時，內力也達到最大。求內力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求出內力，即為動內力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：代入位移幅值方程可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）第七十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五求得慣性力幅值Ii如為正，表示與計算柔度系數(shù)時置于質量mi處的單位力方向相同，為負時，表示與單位力方向相反。⑶動內力幅值計算位移、慣性力、動荷載頻率相同。對于無阻尼體系三者同時達到幅值。于是可將荷載幅值和慣性力幅值加在結構上，按靜力學方法求解，即得到體系的最大動內力和最大動位移。⑷對稱性的利用振動體系的對稱性是指：結構對稱、質量分布對稱，強迫振動時荷載對稱或反對稱。

多自由度和無限自由度對稱體系的主振型不是對稱就是反對稱，可分別取半邊結構進行計算。

對稱荷載作用下，振動形式為對稱的；反對稱荷載作用下，振動形式為反對稱的，可分別取半邊結構進行計算。一般荷載可分解為對稱荷載和反對稱荷載兩組，分別計算再疊加。第七十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：圖示簡支梁EI=常數(shù)，θ=0.75ω1求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)P2)作MP圖，求Δ1PΔ2P第七十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五P1=1P2=1P5)計算動內力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd圖6)比較動力系數(shù)因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。返回第七十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例題7求幅值1－3第八十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五求圖示剛架樓面處的側移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)2)求位移幅值第八十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五3)求慣性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA第八十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五m2m1k2k1例：質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w第八十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0兩個質點的位移動力系數(shù)不同。當趨于無窮大。可見在兩個自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。第八十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內力yst1=yst2=P/k層間剪力:Qst1=P動荷載產(chǎn)生的位移幅值和內力幅值θ2mY2θ2mY1由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:第八十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五m2m1k2k1例：質量集中在樓層上m1、m2，層間側移剛度為k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2這說明在下圖結構上，適當加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設置。第八十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五例：如圖示梁中點放一點動機。重2500N，電動機使梁中點產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN問：1）應加動力吸振器嗎？2）設計吸振器。(許可位移為1cm)Psinθt解：1）頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。2）k2m2第八十七頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五§13.7求頻率的近似法⑴能量法求第一頻率——Rayleigh法

⑵集中質量法第八十八頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五頻率、振型的實用計算方法能量法（瑞利法）能量法是計算體基本頻率近似值的一種常用方法。設體系按i振型作自由振動。t時刻的位移為速度為動能為勢能為第八十九頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五動能為勢能為最大動能為最大勢能為由能量守恒，有第九十頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五最大動能為最大勢能為由能量守恒，有選滿足位移邊界條件的，形狀與振型相近的向量代入上式求頻率的近似值。通常將重力作為荷載所引起的位移代入上式求基本頻率的近似值。第九十一頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五算例.用能量法計算圖示體系的基頻.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精確解:第九十二頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五2.取直線mmm321mgmgmg3.取常數(shù)精確解:第九十三頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五⑴能量法求第一頻率——Rayleigh法

設一位移幅值函數(shù)Y(x)代入上式求頻率，假設位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點：①必須滿足運動邊界條件:（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y′=0）；盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計。

②所設位移幅值函數(shù)應與實際振型形狀大致接近；如正好與第n主振型相似，則可求的ωn的準確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。第九十四頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五③相應于第一頻率所設的振型曲線，應當是結構比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點少。④通常可取結構在某個靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達式。此時應變能可用相應荷載q（x）所作的功來代替，即：則：⑤Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設了一振型曲線代替實際振型曲線，就是迫使梁按照這種假設的形狀振動，這就相當于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當所設振型越接近于真實，則相當于對體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實，即偏高量越小。第九十五頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五迭代法對于給定的方陣,滿足上式的向量和數(shù)值稱作的特征向量和特征值.合稱為特征對.有限自由度體系求頻率、振型，屬于矩陣特征值問題。---標準特征值問題---廣義特征值問題柔度法建立的振型方程令---動力矩陣---標準特征值問題剛度法建立的振型方程---廣義特征值問題第九十六頁，共一百一十二頁，編輯于2023年，星期五一.迭代法求基頻和基本振型1.作法假設振型,計算,若是真的振型,則下式成立即與成比例.柔度法建立的振型方程令---動力矩陣---標準特征值問題若不成比例,不是振型.迭代式為這時將歸一化,得