§2.1

數(shù)列極限一串數(shù)按照一定的順序排成一列叫做一個數(shù)列.例如1,

1,

1,

,

1,

;1,

-

1,

1,

,

-

1,

,

1,

-

1,;1,

2,

3,

,

n

,

;,

;1n2

31

1, ,

,1,212

41

1, ,

,

n-1

,

;1,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項,

如果從

an

的表達式中能推斷出該數(shù)列的其他項，則稱an

為數(shù)列的通項,簡記為數(shù)列{an

}.數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)an

=

f

(n)

(n

?

N+

).上列數(shù)列的通項依次為.a1

,

a2

,

,

an

,

;數(shù)列na

=

1;na

=

(-1)n-1;

annn.12n-1n=

n;

a

=

1

;

a

=如果n

在正整數(shù)集N+中變化,且無限增大時,數(shù)列{an

}的通項an

無限趨于一個確定的數(shù)a,則稱數(shù)列{an

}收斂于a,或稱a

為數(shù)列{an

}的極限,記為lim

an

=a

或者an

fi

a

(n

fi

￥

時)nfi

￥否則，稱數(shù)列{an

}發(fā)散,或lim

an

不存在.nfi

￥例1

考察下列數(shù)列在n

fi限形式表示其結(jié)果：2

￥

時的變化情況，并用極nn

(1)

{1};

(2)

{(-1)n

};

(3)

{3n

-

2};

(4)

1

;

(5)

1

.解(1)

數(shù)列an

=

1,

n

=

1,

2,,

是一個常數(shù)列,n

fi

￥

時,an

始終為1,nfi

￥因此

lim

an

=

1,n(2)

數(shù)列an

=

(-1) ,

n

=

1,2,,當n

按奇數(shù)無限增大時,an

始終為-1;n

按偶數(shù)無限增大時,an

始終為1;因此,n

fi

￥

時,an

沒有明確的趨勢,即

lim(-1)n

不存在.nfi

￥即lim

1

=1.nfi

￥(3)

數(shù)列an

=

3n

-

2,

n

=

1,

2,

,

是正整數(shù)數(shù)列,nfi

￥記為lim(3n

-2)=￥

.n

無限增大時,an

也無限增大,且an

的趨勢不是一個確定的數(shù),因此lim(3n

-2)不存在.nfi

￥趨于0,n

nn(4)

數(shù)列a

=

1

,

n

=

1,2,,當n

無限增大時,

a

無限nfi

￥

n因此lim

1

=0.趨于0,n2nn(5)

數(shù)列a

=

1

,

n

=

1,2,,當n無限增大時,

a

無限nfi

￥

2n因此

lim

1

=

0.定義如果對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小),總存在正數(shù)N

,使得對于n

>N

時的一切xn

,不等式xn

-a

<e都成立,那末就稱常數(shù)a

是數(shù)列xn

的極限,或者稱數(shù)列xn

收斂于a

,記為fi

a

(n

fi

￥

).lim

xn

=a,

或xnnfi

￥如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：1.不等式

xn

-

a

<

e刻劃了xn與a的無限接近;2.N與任意給定的正數(shù)e有關(guān).xxN

+1x32ea

-x2

x1a

+xN

+2a其中

"

:

每一個或任給的;

$:

至少有一個或存在.幾何解釋:當n

>

N時,

所有的點

xn都落在(a

-

e,

a

+

e)內(nèi),只有有限個(至多只有N個)落在其外.e-

N定義:

lim

xn

=

anfi

￥"

e>

0,

$N

>

0,

使n

>

N時,

恒有

xn

-

a

<

e.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例2

證明limnfi

￥=

1.n

+

(-1)n-1n證xn

-

1

=nn

+

(-1)n-11-

1

=

nn任給e>

0,

要

xn-

1

<

e,

只要

1

<

e,

或n

>

1

,e1eN

=

[

],所以,

取則當n

>N時,-

1

<

en

+

(-1)n-1n就有=

1.n

+

(-1)n-1即limnfi

￥n例3nfi

￥證明lim

qn

=

0,

其中q

<

1.證任給e>

0,

若q

=

0,nxn

-

0

=

q

<

e,

n

ln

q

<

ln

e,ln

q取N

=[ln

e],則當n

>N時,就有qn

-

0

<

e,\

lim

qn

=

0.nfi

￥則lim

qn

=

lim

0

=

0;nfi

￥

nfi

￥若0

<q

<1,ln

q\

n

>

ln

e,數(shù)列極限四則運算法則：設(shè)lim

an

=

a，lim

bn

=

b，那么nfi

￥

nfi

￥lim(Can

)=C

lim

an

=Ca

,其中C

是與n無關(guān)的常數(shù);nfi

￥

nfi

￥lim(an

–

bn

)

=

lim

an

–

lim

bn

=

a

–

b;nfi

￥

nfi

￥

nfi

￥lim(anbn

)

=

lim

an

lim

bn

=

ab;nfi

￥

nfi

￥

nfi

￥.alim

bn

blim

anannfi

￥

bnnfi

￥=

nfi

￥

=nfi

￥(4)

若lim

bn

=

b

?

0,

則lim例4求下列數(shù)列極限：(5)

limn

.+

3n

-

1);n(

n

+

2

-(1)

limnfi

￥(3)

limnfi

￥;3n3

-

2n

+

1(2)

lim;n

+

32n

-

12n+14n

-

3n+1nfi

￥

23

2nfi

￥n

+

n(4)

lim[ln(2n

+

1)

-

ln

n];nfi

￥解=

2.n3

+

n23n3

-

2n

+

1(2)

limnfi

￥n

+

3(1)

lim

2n

-

1nfi

￥12

-

n=

limnfi

￥

1

+

3=

3.n3

-

2

+

1n2

n3n=

limnfi

￥1

+

1n

-

1

=n

+

2

-(3)由于n

+

2

+

n

-

132=

3

.n

+

2

-

n

-

1)3

nn

+

2

+

n

-

1因為

lim

n(nfi

￥=

limnfi

￥=

limnfi

￥121

+

n

+

1

-

n34n

-

3n+12

+

32n+1

n2(4)由于因此(5)由于因此n

n

ln(2n

+

1)

-

ln

n

=

ln

2n

+

1=

ln

2

+

1

n

nfi

￥

nfi

￥lim[ln(2n

+

1)

-

ln

n]=

lim

ln

2

+

1

=

ln

2

3

n2

+

4

3

n1

-

3

4

=4n

-

3n+1limnfi

￥

22n+1

+

3n=

limnfi

￥

1=

3

n2

+

4

3

n1

-

3

4

性質(zhì)2.1lim

an

=

a

的充要條件是

lim

an+k

=

anfi

￥

nfi

￥（這里k

是任何正整數(shù)）.性質(zhì)2.2

lim

an

=

a

的充要條件是

lim

a2n

=

a

且nfi

￥

nfi

￥lim

a2n-1

=

a.nfi

￥性質(zhì)2.3

設(shè)數(shù)列{

xn

},

{

yn

}

收斂,

且有正整數(shù)

N

0

,使得

n

?

N

0

時,

xn

?

yn

,

那么lim

xn

?

lim

ynnfi

￥

nfi

￥n

?N0

時,數(shù)列{xn

},{yn

},{zn

}滿足不等式y(tǒng)n

￡

xn

￡

zn如果

lim

yn

=

lim

zn

=

a,

那么數(shù)列{

xn

}

收斂,

且nfi

￥

nfi

￥lim

xn

=

anfi

￥定理2.1（夾逼定理）

假設(shè)存在正整數(shù)N0

,使得例5

求下列數(shù)列的極限：n

n

nyn

=

2

+

3

.由于;2n2

+

nn(1)

x

=nn

n+

++2n2

+

1

2n2

+

2解因此2n2

+

nn2￡

xn

￡

2n2

+

1n2, 1

￡

k

￡

n2n2

+

1￡1￡2n2

+

n

2n2

+

k1

1由夾逼定理可得nnfi

￥+

nn22nfi

￥

2n注意到

lim12=2+

1=

limnfi

￥

2nn2

=

1+

++nfi

￥nnn22n

+

n22n2

+

22n

+

1lim

x

=

lim2nfi

￥lim

yn=

3.=

lim

n

2n

+

3nnfi

￥(2)注意到13

￡

n

2n

+

3n

￡

n

2

3n

=

3

2n1且

lim

2n

=

1,

因此由夾逼定理可得nfi

￥定義2.1

一個數(shù)列{an

}如果滿足an

￡

an+1

,

n

=

1,

2,

則稱{an

}是單調(diào)遞增的數(shù)列,類似地可以定義單調(diào)遞減的數(shù)列.單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定義2.2

如果存在常數(shù)M

>0,使得數(shù)列{an

}滿足：an

￡

M

,

n

=

1,

2,則稱{an

}是有界數(shù)列；如果對任何正數(shù)M

,至少有某一項an

,滿足an

>M

,則稱{an

}是無界數(shù)列.定理2.2

單調(diào)有界數(shù)列必收斂.例4極限相同.

都收斂且

1

n+1

1

n

證明數(shù)列1

+

n

,

1

+

n

證明不等式:設(shè)x

>-1,則(1

+

x)n

?

1

+

nx,其次我們來證明數(shù)列首先由數(shù)學歸納法可以證明以下的伯努利n

=

1,

2,

,

n

=

1,

2,1

nx

=

1

+nn是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列,

n

=

1,

2,

1

n+1ny

=

1

+n是單調(diào)遞減數(shù)列.事實上x

n+1xn[(n

+

1)

]

n

+

1[n(n

+

2)]n2

n=n

+

212

nn

+

2

=

1

-(n

+

1)

n

+

1n

+

1

=2(n

+

1)?

1

-

n

n

+

2>

1(n

+

1)3n3

+

3n2

+

3n

+

2

n

yn+1y?

1

+

n(n

+

2)

n

+

2

n

+

1

n

+

1

滿足

1

n+1

1

n

因此

1

+

n

,

1

+

n

￡

4,

n

=

1,

2,

￡

1