5考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面 a b行0°的角. lβ l [微點(diǎn)提醒判斷下列結(jié)論正誤(直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.( 若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則 解 (1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或ll∥α，故(1)錯(cuò)誤αβα⊥β，故(4)錯(cuò)誤答 (2)× 2.(2P403改編)a，bαa⊥b，a⊥αbα的位置關(guān)系為()A.b C.bα或 D.b與α相答案3.(2P42A5改編)P為△ABCPA，PB，PC兩兩垂() 解析PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝PPBPBC，PC平面PBCPA⊥PBC.BCPBCPA⊥BCPB⊥AC，答案4.(2019·江南十校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( A.α⊥β且m B.m⊥n且C.m∥n且 D.m⊥n且解析C正確答案5.(2017·Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則( A1B1⊥BCC1B1所以A1E⊥BC1.答案6.(2018·安陽(yáng)二模)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面， a⊥α，b⊥β，α∥βa⊥α，b⊥β，a⊥ba⊥α，a⊥b，α∥βα∩β＝a，a∥bb∥α解析Aa⊥α，α∥βa⊥βb⊥βa∥bA正確；Ba⊥α，a⊥bbαb∥α，∴mαm∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正確；對(duì)于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確.答 考點(diǎn) 線面垂直的判定與性【例1】(2018·Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2＝PC＝AC＝4，OAC的中點(diǎn)MBCMC＝2MBCPOM的距離證明AP＝CP＝AC＝4，OAC的中點(diǎn)，OP⊥ACOP＝23.2OB.AB＝BC＝2

1OP⊥OB，OP⊥ACOB∩AC＝OPO CHCPOM的距離由題設(shè)可知

＝4

3所以 2

4＝3

＝55CPOM的距離為45規(guī)律方 1.證明直線和平面垂直的常用方法有(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ?l⊥α).的體積為12E是棱CC1上的一點(diǎn)，若三棱錐 的體積為12

CE的長(zhǎng)證明∵ABBB1C1C，BC1在△CBC1BC2＝BC2＋CC2－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2cos 3，∴BC1＝1111AB，BCABC，BC∩AB＝B，∴BC1

∴SBCE＝

33

12△

4

考點(diǎn) 面面垂直的判定與性ABCD，PA⊥AD，EFCDPC的中點(diǎn)，求證：證 PAAD，PA∴PAABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，ECD的中點(diǎn)，ABED為平行四邊形又 平面PAD，AD平面(3)∵AB⊥ADABED為平行四邊形由(1)PAABCD，CD∴CDPADPD∵EFCDPC∴CD⊥EFBE⊥CD∴CDBEFCD 2(2019·商洛模擬)S－ABCDABCD

SAD若∠SDA＝120°S－BCD的體積為

SAB的面積12證明BC＝aCD＝a，AB＝2a，由題意知△BCD是等腰直角三角形，BD＝在△ABD中，AD＝AB2＋DB2－2AB·DB·cos45°＝2a，SADABCDSADABCD＝AD，BDABCD，BDSAD，BDSBDSBD 由(1)可知AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin＝＝SH⊥ADAD則SH＝SDsin 6，＝a＝SHSADSHS－BCD的高，

6

6S－BCD＝3×2a×2×a＝12BDSAD，SDSADBD⊥SD，SB＝SD2＋BD2＝2＋2＝2.AB＝2，SA＝6，SBA中，邊SA上的高

10，

1

的面積為2×6×2＝2考點(diǎn) 平行與垂直的綜合問(wèn) 探角度 多面體中平行與垂直關(guān)系的證【例3－1】(2018·卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PADABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)AD，PB的中點(diǎn). 所以PE⊥AD.ABCDABCD為矩形，AB⊥AD.ABPAD.PDPAB.PDPCD，PABPCD.PCGFG，DG.F，GPB，PC的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥BC，F(xiàn)GABCDEAD的中點(diǎn)，DE∥BC，DE＝1DEFG為平行四邊形.EF∥DG.又因?yàn)镋F 平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD.規(guī)律方法1.直間的轉(zhuǎn)化2.垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用角度 平行與垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)P－ABCPCMAC⊥BMM，求出PM不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

＝ ＝2·AB·AC·sin 2 ABC·PA＝ 6BN⊥ACPCMBMMBN在Rt△BAN中 規(guī)律方法1.求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出性角度 空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)【例3－3】(2019·六市聯(lián)考)如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別段AB，AC上，且EF∥BC，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使P－EF－B60°.EABBP－EBCF證明Rt△ABC中，AB＝BC＝3，BC⊥AB.PE∩BE＝E，PE，BEPBE， 因?yàn)镋F⊥PE，EF⊥BE，所以∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，即∠PEB＝60°，在△BEP中，PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝3，EF⊥PE，EF⊥BE，所以△PBE，△PBC，△PEF由△AEF∽△ABC

S

3

＝ S

2，

，

BCFEFBCH＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝在△PFC中，F(xiàn)C＝2，PC＝BC2＋PB2＝23，PF＝PE2＋EF2＝22

則 15 S 1PF·FCsin∠PFC＝＝4， 2＝P－EBCF

PBC＋SPBE＋SPEF＋SPFC＝2＋2 15＋ 2＋規(guī)律方法1.本題的綜合性較強(qiáng)，屬于翻折問(wèn)題，其關(guān)鍵是看翻折前后線面位置2．第(1)問(wèn)證明線線垂直，這類問(wèn)題的一般是通過(guò)證明線面垂直來(lái)證明．第(2)P－EF－B的平面角是哪一個(gè)，并且利用這個(gè)角的大ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.FBCDACMEAFDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加證明在△ABCAC＝3，AB＝2，BC＝1，AC2＋BC2＝AB2AC⊥BC.AC⊥FB，BC∩FB＝B，BC，F(xiàn)B 因?yàn)锳C⊥平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，所以AC⊥FC.＝4所以△BCDS＝4所以四面體FBCD的體積為VF ＝

12 CEDFNACMCDEFNCE所以EA∥MN.因?yàn)镸N平面 平面EAFDM.ACMMACEA∥FDM成立．考點(diǎn) 線面角、二面角的概念及應(yīng)圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為 由題意畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得12＝8，得＝4.Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°SO＝1＝2，AO＝3＝2 2V＝1×AO2×SO＝1×(2答 (2)P－ABC60°為24，則其側(cè)面積 如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接CM，PM，由正三棱錐的性質(zhì)可知是CM靠近M的三等分點(diǎn)，設(shè)AB＝a，則MH＝

，在直角三角形PMH6PH＝1P－ABC的體積為

3

1＝

3＝3×4a

24 a＝1PM＝3

1×3＝

3 3

2 直關(guān)系．如(1)題中圓錐的軸線與底面垂直，(2)PMAB，CMAB垂直．【訓(xùn)練4】(1)(2018·Ⅰ卷)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為( 2 223 23解 連接BC1，因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所△ABC1為直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝23.又B1C1＝2，所以（23）2－22＝22V＝2×2×22＝8答 和平面ABCD所成的二面角為45°，則 ＝ 所以A1O⊥BD，則∠A1OA即為二面角的平面角，即∠A1OA＝45°，所以A1A＝＝2AB＝答 [思維升華線面垂直的定義：aα內(nèi)任何直線都垂直

面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a判定定理：a[易錯(cuò)防范證明線面垂直時(shí)，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視面面垂直的性質(zhì)定理在使用時(shí)易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成直觀想象——1ABCD－A1B1C1D1MNCDAB上的動(dòng)點(diǎn)，P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)D1PMNθθ的π最小值為3，則點(diǎn)P的軌跡是 3解析把MN平移到平面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為θ，直線D1P與MN所成角的最小值是直線D1P與平面A1B1C1D1所成角，即原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：直線D1P與平面A1B1C1D1所成角為π，點(diǎn)P在平面A1B1C1D13P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分．故選B.答 【例2】(2018·石家莊一模)如圖四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與P，B重合)，過(guò)點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f(x)的圖像是( CD于Q，過(guò)Q作QH∥PD，交PC于H，連接MH，MNQH 由題意得2＝4MN＝4－2x，由

2即22

QH＝過(guò)H作HE⊥NQ，在Rt△HEQ中 ∴y＝f(x)答 (建議用時(shí)：40分鐘 解 因?yàn)棣痢搔拢絣，所以lβ，又n⊥β，所以答 2.(2018·萍鄉(xiāng)調(diào)研)已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個(gè)互相 A.mαB.mα，nβ 對(duì)于A：若mα，則m與平面β可能平行或相交，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若mα，nβ，則m與n可能平行、相交或異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若mα，m⊥β，則m∥α，C正確；對(duì)于D：α∩β＝m，n⊥m，則n不一定與平面α垂直，所以D錯(cuò)誤.答 3.(2019·模擬)在下列四個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱不垂直的是() G，M，N，Q六個(gè)點(diǎn)共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項(xiàng)A、B、C中的平面與這個(gè)平面重合，不滿足題意，只有選項(xiàng)D中的直線BD1與平面EFG不垂直，滿足題意，故選D.答 4.(2019·廣州一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命 C.m⊥n，mα，nβD.α∥β，mα，nβ解 若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤又∵n∥β，∴α⊥βBm⊥n，mα，nβαβC錯(cuò)誤；若α∥β，mα，nβ，則m∥n或m，n異面，D錯(cuò)誤答 過(guò)C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在( A.直線AC B.直線ABC.直線BC D.△ABC內(nèi)解 連接AC1，如圖∴AC⊥ACABC內(nèi)，∴ABC⊥ABC1，ABC1C1ABC必落在交線AB上.故選B.答 中，與PC垂直的直線有 ；與AP垂直的直線有 因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因?yàn)锳B⊥AC，與AP垂直的直線是AB.答 PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足 解 PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1A1B1C1D1所成角的正弦值 連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角.因?yàn)锳B＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，AA1＝1 答 39.(2019·石家莊摸底)ABCDPEABCDCDPE都是直CD＝3PE，F(xiàn)CE的中點(diǎn).(2)OBD的中點(diǎn)，求證：BD證 (1)如圖，取PD的中點(diǎn)為G，連接∵FCE的中點(diǎn)，∴FGCDPE∴AB∥FG，AB＝FGABFG 平面ADP，AG平面(2)AOCDM∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，OBDABMD10.P－ABCD中，PC證明PCABCD，DC證明AB∥CD，DC⊥ACPCABCD，ABABCD PBFEF，CE，CFEAB 平面CEF，且EF平面

(建議用時(shí)：20分鐘11.(2018·鄭州一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，GD三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么在這個(gè)空間圖形中必有( 根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正確.∵AEFH垂直，∴A不正確∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥HAGEF∴HAG⊥AEFHAEFHAG∴C不正確HG⊥AEF，∴D不正確答 ABCD中，AB＝3，BC＝1，將△ACDACD折nn等于() 解 設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E⊥平面∵D1E∴ABD1⊥∵D1E⊥ABC，BCABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E