§4

洛朗級數(shù)1.

羅朗級數(shù)研究的問題nn

0+￥n=-￥考慮形如c

(z

-z

)的級數(shù)——雙邊冪級數(shù)此級數(shù)不同于我們通常考慮的冪級數(shù)，級數(shù)兩邊各無盡頭，沒有首項。我們規(guī)定如下：nnn

0n

0n+￥

-￥c

(z

-

z

)

=c

(z

-

z

)

+n=-￥+￥cn

(z

-

z

0

)n=0n=-1記為=

I1

+

I

2雙邊冪級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)I1和I2都收斂。下面考慮雙邊冪級數(shù)的收斂區(qū)域。I2為一般的冪級數(shù)，其收斂域為

z

-

z0

<

R2110z

-z0nnc

x=x￥￥-nn=1

n=1(z

-

z

)-nI

=

c=0可化為冪級數(shù)，從而I1的收斂域為x

<r1

記為R1即為

z

-

z

>

=r綜上所述，如果雙邊冪級數(shù)的收斂域存在，則應(yīng)為一圓環(huán)區(qū)域：R1

<

z

-

z0

<

R2注：1、R1可能為0，R2可能為無窮。2、有時可能收斂域并不存在。（反例如：n=+￥n=-￥

zn）3、同冪級數(shù)一樣，也可對雙邊冪級數(shù)進(jìn)行加、減、乘法運算。結(jié)論：雙邊冪級數(shù)具有冪級數(shù)的所有性質(zhì)。例如，其和函數(shù)在收斂圓環(huán)內(nèi)解析，且可逐項積分、逐

項求導(dǎo)。2.

洛朗展式與洛朗級數(shù)問題:在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能否一定展成雙邊冪級數(shù)？定理 設(shè)f

(z)在圓環(huán)域R1

<

z

-

z0<R2內(nèi)解析,那么+￥n=-￥n

nc

(z

-

z

)f

(z)

=00n+1圍繞z0的任意一條正向簡單閉曲線。定理中的展式稱為函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展式。展式右邊的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域的洛朗級數(shù)。定理的詳細(xì)證明省略，下面對所證明思路做一簡單說明。1f

(z)2pi(z

-

z

)nc其中

c

=dz，這里c為圓環(huán)內(nèi)部設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點，在圓環(huán)內(nèi)做以z0為中心的正向1

2

2

1圓周K

與K

，K

的半徑R大于K的半徑r，且使z在K1與K2之間（如圖）。于是根據(jù)廣義的柯西積分公式得2

1K

+K

f

(x)

dx2pif

(z)

=

1

-

x

-

z=

1

f

(x)

dx

-

1

f

(x)

dx2pi

K

x

-

z

2pi

K

x

-

z2

1.z.z0K1K2證明思路：K11z

-

z0的外部，所以x

-z012pi<1。因此就有x

-

zf

(x)dx，由于點z在K對于第二個積分-第一個積分的展開，和泰勒公示的證明一樣。后面的證明又和公式的證明類似了，省略。n=100z

-

z000-n+1111x

-

z01-1(x

-

z

)-n(z

-

z

)￥(x

-

z

)n-1(z

-

z

)n=

-

0

￥n=1=

-x

-

z z

-

z=

-?注：1、展式中的系數(shù)公式cn+1cn

=dzf

(z)2pi0(z

-

z

)1不能象泰勒公式一樣化為：

cn!f

(n)

(z

)=

0

n2、展式中的正冪次部分和負(fù)冪次部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。3、一個在某一圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)展成含有正負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，就是洛朗級數(shù)。證明：假定f

(z)在圓環(huán)域R1

<|z

-z0

|<R2內(nèi)不論以何種方法已展成了由正、負(fù)冪項組成的級數(shù)0f

(z)

=n￥n=-￥a

(z

-

z

)

n0nf

(x)

=a

(x

-

z

)

n設(shè)C為圓環(huán)域內(nèi)任一條包圍z0的正向簡單閉曲線，z為C上任一點，那么￥n=-￥以(x

-

z

)

p+1去除上式兩邊，這里p為任一整數(shù)，并沿C0積分，得0p+10

f

(x)

(x

-

z

)np(x

-

z

)n-

p-1

dx

=

2piaCCdx

=a￥n=-￥證畢0p+11f

(x)dx，(

p

=

0,

–1,

–2,)2pi(x

-

z

)pC從而，a

=3.

函數(shù)展開成洛朗級數(shù)直接展開法：利用系數(shù)公式計算積分展開；間接展開法：利用一些已知的泰勒展式展開。1例1：將f

(z)

=

z3ez

在0

<

z

<

￥

內(nèi)展成羅朗級數(shù)。解：要求將函數(shù)表示成一般項為cnzn級數(shù)形式，1將ez

用ex的泰勒展式展開，z3不變，有：1 1

1

2=

z3

+

z2

+

1

z

++

1

z-n+3

+2!

n!1

1

nf

(z)

=

z3[1+

+

z

2!

z

n!

z

++

+]2) (

sin

z

)2

.z

2

z

3例2：在區(qū)域0

<

z

<

￥

內(nèi)將下列函數(shù)展成羅朗級數(shù)1)

1

-

cos

z

，解：注意到展開的前提條件是圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析1)

展開點為z0

=

0,

同上題一樣，此題只需將cos

z展開即可2!

4!z2

z21-

cos

z

=

1

[1-

(1-

1

z2

+

1

z4

-)]=

1

-

1

z

2

+

1

z

4

-+

(-1)n

1

z

2n

+2!

4!

6!

(2n

+

2)!注：這里展式不含負(fù)冪次項，為羅朗展式的一個特例。2) (

sin

z

)2z

3為避免級數(shù)相乘，函數(shù)改寫為：2z

6z

6sin

2

z

1

-

cos

2zf

(z)

==下面的做法便跟上題一樣了：￥2n-62n-1(-1)n+1￥2n(2z) ]

=

n=12

z(2n)!(2n)!1(-1)n2z

6f

(z)

=

[1

-

n=01-

z21z2

(z

-1)11）,

z

>1；

2)

sin, 0

<

z

-1

<

￥；z

-13),

1

<

z

-1

<

￥.z解題時注意展開域及展開點練習(xí)：1-

z21解：1）,

z

>1z注意到，z

>

1時

1

<

1，因此1z

2z

2

1

-1

-

z

21=

-

11f

(z)

=￥=

-(

2

)21

1n=0nzz￥2n+2=

-n=01z展開后檢查一下是否符合要求2)

sin,

0

<

z

-1

<

￥z

-1z)5

--

1

(

)3

+

1

(5!

z

-1f

(z)

=zzz

-1

3!

z

-1z應(yīng)用sin

z展開式，正確嗎？正確解法：

sin)z

-11z

-1=

sin

z

-1

+1

=

sin(1

+z

-1zz

-11+

cos1sinz

-11=

sin1cos2n+12n(-1)n￥+

cos1(z

-1)n=0

(2n

+1)!￥=

sin1(-1)n(z

-1)n=0

(2n)!z2

(z

-1)13),

1

<

z

-1

<

￥1

1

1=z

2

(z

-1)

z

-1

(z

-1

+1)21注意到z

-1

>1,便有<1,因此，z

-12(z

-1)3)z

-11(1

+11=n-131n-1(-1)

n(

)z

-1(z

-1)1￥n=1=1￥n-1其中(1-x)2=

nx

可作為公式記住或臨時推導(dǎo)以下。n=10z(

z

-1)(

z

-

3)例3：

將f

(

z

)

=

在z

=

0點展成洛朗級數(shù)。分析：與前面提法不同的是：這里只告訴展開點。因此首先要做的是：將以z=0為圓心，且使函數(shù)在其內(nèi)部解析的所有圓環(huán)區(qū)域找出來。：尋找圓環(huán)區(qū)域的方法

以z=0為心，過函數(shù)的奇點做圓周，這些圓周將復(fù)平面分割成的若干圓環(huán)域便是所求區(qū)域。1

3由此，本題得到三個圓環(huán)域：0

<z

<（1

黃）1

<z

<（3

綠）3) 3

<z

<￥

（灰，最外層）這樣，需分三種情況討論：(z

-1)(z

-

3)f

(z)

=z1)0

<

z

<

1=

3

1

-

1

12

z

-

3 2

z

-11

+

1

12

1

-

z=

-

132

1

-

z注意到

z

<

1因此

：n=03n(1

-

1

)z

nn=0z

n2=

1

￥3

22

n=0(

z

)n

+

1

￥f

(z)

=

-

1

￥2) 1

<

z

<

31

-

1

12

z

-12

z

-

3f

(z)

=

3z31

-

1

12z

1

-

12

1

-

z=

-

11(

)23

2nz

1

1z￥n=0￥n+1(

)

-n=0=

-3) 3

<

z

<

￥2

z

-

3f

(z)

=

31

-

1

1

=

3

12

z

-1

2z

1

-

3z-

1

12z

1

-

1z1