高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第七章直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件第一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第七章立體幾何與空間向量第5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)第二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六1．以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．第三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六[要點(diǎn)梳理]1．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的_____一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：任意第四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與平面內(nèi)的_____________垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.a?α

b?α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

兩條相交直線都b⊥α

a⊥α

第五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2．直線與平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的_____所成的_____，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．如圖，射影銳角∠PAO

第六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念：①二面角的定義．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．兩個(gè)半平面叫做二面角的面．如圖，記作：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－AB－Q.第七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六②二面角的平面角．在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．③二面角的范圍是___________．(2)平面與平面的垂直定義．一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是___________，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．[0，π]直二面角第八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理：垂線

l⊥α

第九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六交線

第十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六質(zhì)疑探究：若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β嗎？提示：不一定，若這無(wú)數(shù)條直線都平行，則得不到α內(nèi)的這條直線垂直于β，從而得不到α⊥β.第十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

[基礎(chǔ)自測(cè)]1．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則a⊥b的一個(gè)充分條件是(

)A．a(chǎn)⊥c，b⊥c

B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α[解析]

對(duì)于選項(xiàng)C，在平面α內(nèi)作c∥b，因?yàn)閍⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B選項(xiàng)中，直線a，b可能是平行直線，也可能是異面直線；D選項(xiàng)中一定有a∥b.[答案]

C第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四邊形ABCD(如圖2)，則在空間四邊形ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(

)圖1圖2A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六[解析]

在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則AD⊥BC，翻折后如圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.[答案]

C第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六3．(2015·通化模擬)已知如圖，六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是(

)A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六[解析]

A中，因?yàn)镃D∥AF，AF?平面PAF，CD?平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，所以DF⊥AF.又因?yàn)镻A⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因?yàn)镻A∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因?yàn)镃F∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直．[答案]

D第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六4．α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個(gè)論斷作為條件，剩余的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________．[答案]

可填①③④?②與②③④?①中的一個(gè)第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六5．將正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________.[答案]

60°

第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六[典例透析]考向一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1

(2015·成都市質(zhì)檢)如圖，在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是側(cè)棱CC1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF是平面ABD與平面A1B1C1的交線．第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(1)[證明]依題意，有平面ABC∥平面A1B1C1，又平面ABC∩平面ABD＝AB，平面A1B1C1∩平面ABD＝EF，∴EF∥AB.∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，且∠BAC＝90°，∴AB⊥AA1，AB⊥AC.第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1.又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.∴EF⊥A1C.第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六拓展提高(1)證明直線和平面垂直的常用方法方法一利用判定定理方法二利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)方法三利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)方法四利用面面垂直的性質(zhì)第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，常用來(lái)證明線線垂直．(3)斜線與平面所成的角，首先作出面的垂線，才得出斜線在面內(nèi)的射影，才可得出斜線與平面所成的角，轉(zhuǎn)化為直角三角形求解．第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六活學(xué)活用1

(2015·湖南省五市十校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點(diǎn)．(1)證明：AD⊥平面PAC；(2)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)[證明]因?yàn)椤螦DC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(2)[解]取DO的中點(diǎn)N，連接MN，AN，因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六考向二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2

(2015·煙臺(tái)四校達(dá)標(biāo)檢測(cè))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAC⊥平面BDD1；(2)求證：PB1⊥平面PAC.思路點(diǎn)撥(1)利用AC⊥面BDD1；(2)利用計(jì)算關(guān)系PB1⊥PC，PB1⊥PA.第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六[證明]

(1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD1.又BD∩DD1＝D，BD?平面BDD1，DD1?平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1.第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六拓展提高(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計(jì)算其為90°)．②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六活學(xué)活用2

(2015·浙江省名校聯(lián)考)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.(1)求證：平面DAF⊥平面CBF；(2)求直線AB與平面CBF所成角的大?。谌捻?yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

(1)[證明]

∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF.∵AF?平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六考向三二面角的求法例3

(2015·寧波模擬)如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn).(1)求證：B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1－BD－A的大小.(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六思路點(diǎn)撥(1)三棱柱的側(cè)面是矩形，對(duì)角線A1B，AB1的交點(diǎn)與點(diǎn)D的連線平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，由側(cè)面與底面垂直，可以得到BD⊥平面ACC1A1，BD⊥A1D，∠A1DA就是二面角的平面角．(3)根據(jù)(2)得平面A1BD⊥平面A1AD，只要過(guò)點(diǎn)A作A1D的垂線即可得到點(diǎn)A在平面A1BD內(nèi)的射影，即得到了線面角．第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)[證明]設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB1的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以PD∥B1C.又因?yàn)镻D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.(2)解：由題知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，又因?yàn)锽D⊥AC，則BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，所以∠A1DA就是二面角A1－BD－A的平面角．第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)解：作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1.因?yàn)锳M?平面ACC1A1，所以BD⊥AM.因?yàn)锳1D∩BD＝D，所以AM⊥平面A1BD.連接MP，易知∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角．第四十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六拓展提高空間角中的難點(diǎn)是二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①直接法：根據(jù)平面角的概念直接作，如二面角的棱是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊，就可以取棱的中點(diǎn)；②垂面法：過(guò)二面角棱上一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角；③垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的垂線，再?gòu)拇棺鉈向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角的棱就垂直于這兩個(gè)垂線所確定的平面ABC，連結(jié)AC，則AC也與二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其補(bǔ)角，這樣就把問(wèn)題歸結(jié)為解一個(gè)直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法．第四十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六活學(xué)活用3在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.(1)證明：AD⊥平面PAB；(2)求異面直線PC與AD所成的角的正切值的大??；(3)求二面角P－BD－A的正切值的大?。?1)[證明]在△PAD中，由題設(shè)PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2＋AD2＝PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AB⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.第四十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)[解]如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)H作HE⊥BD于E，連接PE.因?yàn)锳D⊥平面PAB，PH平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB＝A，所以PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影，∴BD⊥PE.從而∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．第四十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第四十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六思想方法16立體幾何中的探索性問(wèn)題典例(2015·朝陽(yáng)區(qū)第一學(xué)期末)如圖，在四棱錐S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥平面SAD.(2)若SA＝SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．第四十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六審題視角

(1)由面SAD⊥面ABCD性質(zhì)得結(jié)論．(2)取SC的中點(diǎn)，證明面DMN⊥面ABCD.[證明]

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，使得平面DMN⊥平面ABCD.連接PC、DM交于點(diǎn)O，連接PM、SP、NM、ND、NO.第五十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六方法點(diǎn)睛解決探究性問(wèn)題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．第五十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第五十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)求證：DE∥平面A1CB.(2)求證：A1F⊥BE.(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說(shuō)明理由．(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，