2.1離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其概率分布一、古典概型：定義在樣本空間Ω上的實(shí)值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機(jī)1、定義2.1:變量.常用大寫字母

X,Y,Z等表示隨機(jī)變量,其取值用小寫字母

x,y,z等表示.在擲骰子的試驗(yàn)中,用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則有X(ω)

=ω,ω∈Ω,其中Ω={1,2,3,4,5,6}在檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量試驗(yàn)中,用X表示合格品的件數(shù),若Ω={合格品,次品},則有二、離散型隨機(jī)變量的概率分布：設(shè)X是定義在樣本空間Ω上的一個(gè)隨機(jī)變量,若X的1、定義2.2:其取值

{xi,i=1,2,…},記全部可能取值只有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè),稱X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.2、定義2.3:設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其全部可能取值為i=1,2,…,稱{p(xi)

,i=1,2,…}為X的概率分布.X

x1

x2…xi

…P

p1p2…pi…X的概率分布表或分布律3、離散型隨機(jī)變量概率分布{p(xi)}的性質(zhì):(1)p(xi)

≥0,(i=1,2,…);例:設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四個(gè)信號(hào)燈,每個(gè)信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過(guò).以X表示汽車首次停下時(shí),它已通過(guò)的信號(hào)燈數(shù)(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的),求X的分布律.解以p表示每個(gè)信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的概率,易知X的分布律為或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4.以p=1/2代入得(2)從而例2.1從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,每次取出一件產(chǎn)品后總將一件合格品放回該批產(chǎn)品中,直到取出合格品為止,求抽取次數(shù)的分布律.解設(shè)X表示“抽取次數(shù)”，它的可能取值是1,2,3,4,而取每個(gè)值的概率為因此X的概率分布為X12

34P10/1333/16972/21976/2197§2.10-1分布(兩點(diǎn)分布)X01Pk1-ppX01Pk0.550.45X01Pk0.10.6+0.3例:在100件產(chǎn)品中,有95件正品,5件次品.現(xiàn)從中隨機(jī)地取一件,假如取到每件產(chǎn)品的機(jī)會(huì)都相等.若定義隨機(jī)變量X為則有P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95若定義隨機(jī)變量Y為則有{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05從中看到X,Y都服從(0-1)分布三、常見的離散型隨機(jī)變量：把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次,每次試驗(yàn)的結(jié)果間互1、二項(xiàng)分布:不影響,每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果:事件發(fā)生,稱這樣的試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn),該數(shù)學(xué)模型稱為伯努利模型.定理2.1:在伯努利試驗(yàn)中,若事件A發(fā)生的概率P(A)=p(0<p<1)則在n次試驗(yàn)中事件A正好發(fā)生k次的概率為定理2.1:設(shè)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,…,

n,且取這些值的概率為則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,它是最簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量,此時(shí)X可能的取值只有0或1,即X10P

p1-p例2.2某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,

解設(shè)X表示“擊中的次數(shù)”，則X～B(400,0.02),有獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率?例2.3連續(xù)不斷地?cái)S一枚均勻硬幣,問(wèn)至少擲多少次才能使正面至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.99?

解設(shè)需投擲n次,X表示“正面朝上”，則P(A)=1/2,在n次投擲中A出現(xiàn)的次數(shù)為X,則X~B(n,0.5),0-1分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系X01Pi1-pp2、泊松分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為定義2.5:解

(1)(2)(3)例2.4某商店根據(jù)過(guò)去的銷售記錄知道某種商品分布來(lái)描述,為了以95%以上的概率保證(設(shè)只在月底進(jìn)貨)?

解設(shè)該商店每月銷售該商品的件數(shù)為X，據(jù)題意,要求a使得不脫銷,問(wèn)商店在月底應(yīng)存多少件該種商品月底存貨為a件,則當(dāng)X≤a時(shí)就不會(huì)脫銷.由附錄的泊松分布表知于是,這家商店只要在月底存不低于15件,就能以0.95以上的概率保證下個(gè)月該種商品不會(huì)脫銷.定理2.2(泊松定理):固定的非負(fù)整數(shù)k,有注由泊松定理,可以將二項(xiàng)分布用泊松分布來(lái)近似:理來(lái)近似計(jì)算.例2.5紡織廠女工照顧800個(gè)紡錠,每一紡錠在某一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生斷頭的概率為0.005(設(shè)短時(shí)間內(nèi)最多只發(fā)

解設(shè)X為800個(gè)紡錠在該段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的斷頭次數(shù),的泊松分布,從而有生一次斷頭),求在這段時(shí)間內(nèi)共發(fā)生的斷頭次數(shù)超過(guò)2的概率.則X～B(800,0.005),它近似于參數(shù)為λ=800×0.0053、超幾何分布:設(shè)N,n,m為正整數(shù),n≤N,m≤N;又設(shè)隨機(jī)變量定義2.6:注從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣均會(huì)遇到超幾何分布.如,從包含M個(gè)不合格品的N個(gè)產(chǎn)品