高等數(shù)學(xué)方明亮版第七章

習(xí)題7-1

1.判定下列平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并指出

集合的邊界.

(1){(x,y)|xwO,y*。}；

(2){(x,y)|1<X2+/<4}；

(3){(x,y)|y>x2}；

(4){(x,y)|x2+(y-l)2>lKx2+(y-2)2<4}.

解(1)集合是開集，無界集；邊界為{(x,y)|x=0或y=0}.

(2)集合既非開集，又非閉集，是有界集；邊界為

{(x,y)|x2+y2=l}|J{(x,y)|x2+y2=4}.

(3)集合是開集，區(qū)域，無界集；邊界為{(x,y)|y=Y}.

(4)集合是閉集，有界集；邊界為

2.已知函數(shù)/(“,)=■,試求f(xy,x+y).

解了(町,x+y)=(Ay)"+".

3.設(shè)f(x,y)=yjx4+y4-2xy,證明：

f(tx,ty)=t2f(x,y).

解f(tx,ty)=J(㈤4+⑻4-2t2xy=t2^x4+/-2t2xy=r^x4+/-2肛)

=t2f(x,y).

4.設(shè)了仁卜"丁,(x>°3求/(x).

解由于(j_,則/(x)=JTT7.

\XJX1

5.求下列各函數(shù)的定義域：

22

/八九+yzx[/、.y

(1)z=—~；(2n)z=ln(y-x)+arcsin—；

x-yx

(3)z=In(孫)；(4)

(5)z^yjx-y[y；(6)u=arccos.

AFO7

解（1）定義域為｛（x,y）|y±x｝；

(2)定義域為｛(x,y)|%<y<-x)；

(3)定義域為｛（x,y）\xy>0],即第一、三象限（不含坐標(biāo)軸）;

22

(4)定義域為<(x,y)|

(5)定義域為｛(x,y)|x>0,^>0,x2>y｝；

(6)定義域為｛(x,y,z)\x2+y2-z,2>0,x2+/w0卜

6.求下列各極限:

222

x+xy+y1-cos-/?

(1)lim-----:—(2)lim_,+r

(.r,y)->(2.0)X+,(*J)T(O.O)ln(x+y+1)

sin(孫)

lim(x2+y2)sin—；(4)hm-----

(x,y)->(0,0)xy(x，y)->(2,0)y

I

(5)lim(1+AT)A；(6)lim(x2+y2)e~x~y.

(A\y)->(0,l)(x.y)->(+?>,+oo)

?74

x+孫+y八、4

解：（1）lim---------=/(2,0)=—=2；

(x.y)f(2,0)x+y2

l

i1

gl-cos7%2+y21-COSVM1

--

(2)hm----.v,----=hm---------li5m2M_2

(afo,o)in(x+y+1)ln(l+u)

（3）因為黑。一+?。?。，且sin±.l有界，故

lim(x2+y2)sin—=0；

(x,y)-*(0,0)xy

(4)lim鄴以lim測現(xiàn)=24=2；

(x,y)T2,0)y(x,)，f2,0)盯

--；y.

(5)lim(1+Ay)r-lim(1+孫)"=e-e

(x,y)->(0,l)(x,y)->(0,l)

(x2+>-2)(x+y)2

(6)當(dāng)y>N>0時，有0<

2

(x+?rU2u2

而lim=lim—=lim—=lim—=0

(x,y)T(f+oc)M—>-HOM—MoCJ'Z/—>-KCJ'

按夾逼定理得lim(x2+丁尸=0.

(x、y)->(+oo,+oo)

7.證明下列極限不存在：

].x+y

(1)hm----

(x,.yf0,0)x-y

x2+y20,

,2，

(2)設(shè)f(x,y)=<y*+ylimf(x,y).

(x,y)->(0,0)

0,x2+y2=0,

證明(1)當(dāng)(x,y)沿直線y=依趨于(0,0)時極限

與女有關(guān)，上述極限不存在.

(2)當(dāng)(x,y)沿直線y=x和曲線y=V趨于(0,0)有

2

門一x八

lim.Y=rlim----r=hm———=0,

(x,y)->(0?0)%+yXX

21y=0x+X*y=Tx0+1

0224i

廠y「X~X..X1

lim.T=lim-----=lim--=一

(x,y)->(0,0)%+y|2^0x4+X4'->02x2

y=x2尸x

故函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處二重極限不存在.

8.指出下列函數(shù)在何處間斷:

(2)z=^—

(1)z=ln(x2+)2)；

y2-2x

解(1)函數(shù)在(0,0)處無定義，故該點為函數(shù)z=ln(>2+y2)的間斷點;

(2)函數(shù)在拋物線V=2%上無定義，故y2=2x上的點均為函數(shù)z=-2—

y-2x

的間斷點.

9.用二重極限定義證明：

P(x,y),其中°=Jf+j?=|0P|,于是，\/￡>0,3C)=2￡>0；當(dāng)0<Q<5

由二重極限定義知lim/盯=0.

3,50.0）々+,2

10.設(shè)f（x,y）=sinx,證明/（x,y）是Rz上的連續(xù)函數(shù).

證設(shè)4（Xo，yo）eR2.Ve>0,由于sinx在與處連續(xù)，故三3>0,當(dāng)

|工一七|<3時，有

Isinx-sin^\<￡.

以上述S作兄的S鄰域（/4/）,則當(dāng)P（x,y）eU4⑶時,顯然

|x-%|<p(P，A)<5,

從而

If(x,y)-/(x0,%)Hsin尤-sinx0|<s,

即/（x,y）=sinx在點6*0,%）連續(xù)?由巴的任意性知，sinx作為x、y的二元函

數(shù)在R?上連續(xù).

習(xí)題7—2

1.設(shè)z=.f(x,y)在(4,%)處的偏導(dǎo)數(shù)分別為<(%,%)=A,fy(xQ,yQ)=B,

問下列極限是什么？

lim/（3+九/）一/（/，％）,（m""。，城一人%為一〃）,

(1)（2）

hfOhnoh

山"（知）'<>+2/?）-/3。，.丫。）,Hmf（/+九為）—/（%>一八尤）

(3)（4）

/TOh6Toh

(1)lim"/+九%)一了(/，「。)-2,(玉,,%)=A；

解

A->0h

1面〃"°'、一"）一""°'為）

(2)=z*Xo，yo)=B;

5h/?->o—h

/00，%+2〃)一/(%，%)/（/，%+2人）—/（外，為）

(3)lim=lim2-=28；

A->0h/?->o2h

(4)Hm+六％)一“X。一九%)

oh

2.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：

x

(1)z=xy+—；(2)z=Intan—；

yy

22

x+y

(3)z=eAy；(4)

孫

(5)z=x2ln(x2+y2)；(6)z=Jin(肛)；

(7)z=sec(孫)；(8)z=(l+xy)y；

(、z

(9)w=arctan(x—y)z(10)u=-.

人”,、、dz1dzx

解(1)—=y+—,—=x——r

dx-ydyy2

/c、0Z_)X

(2)—=tan—?sec

Sxy{

dz

(3)2=e*-y=ye-',—=exy-x=xexy；

dxdy

⑷絲=2元?到一0?+九).丁=2心一,+/.==，_上

記"~一7一7

dz_2y-xy-(x2+y2)-x_2xy2-(x2+y2)-x_1x

②(孫)2Vy2xy2'

(5)—=2xln(x2+丁)+^7^---2x=2x]n(x2+_y2)+~^X~，

dxx+yx+y

dzx2-2x2y

~r-=——2?2y=-5—?；

dyx-+yx+y

/八Sz111dz111

dx2，ln(孫)xy2xyJ\n(xy)dy2，ln(孫)xy2yjln(孫)

Qz

(7)—=tan(xy)sec(孫)?y=ytan(肛)sec(孫)，

dx

一=tan（孫）sec（封）?x=xtan（封）sec（孫）；

分7

(8)—=y(l+孫),y=yP+孫)，

dx

■如…卜如皿皿1+町）+潟

zQ—y)小

(9)包二____!_?_z_(_x-y尸

dxl+(x-y)22l+(x-y)22

du]z(x-y尸

.z(x-y)：-'.(-1)=-

Syl+(x-y)2zl+(x-j)2z

(x-y)zIn(x-y)

—=-------—?(x-?ln(x-y)=

5z\+(x-y)2t?)\+(x-y)2z

a(、zT/\

(10)包=z土OUXXZfXY

—=z—?—-7m

&(y分\yj\yJ

a，I

OU_X

曠〔y.In-,

y

3.設(shè)/(x,y)=ln[x+±J,求f,(l,0),4.(1,0).

解法一由于/(x,O)=lnx,所以工(x,0)=2，/t(l,0)=1；

X

由于/(l，y)=ln1+焉，所以￡(l,y)=----

i2)i+y

2

解法二/ra,y)=—4U,^)=—

x+-'7x+—

2x2x

W）譚小撲―a。/

22

4.設(shè)/(%,y)=%+(y-l)arcsin：，求￡（x,i）.

解法一由于/(%/)=尤+(l-l)arcsinj；=x,￡(x,l)=(x)'=l.

解法二f人x,y)=1+~~=--=■—,fx(x,\)=1.

r

5.設(shè)f(x,y)=J；edt,求f<x,y),fy(x,y).

解"(x,y)=e~'',f(x,y)=-eyl.

y_、丁口口dzdz

6.設(shè)z=xy+xex1止明x—+y—=xy+z.

dxdy

解由于包=科」_/烏=y+卻0

SxIx)kX)

dz上1上

—=x+xe*?一=x+e",

dyx

所以

dzdz-(y\(--

x---by—=xy+ex\1——+yx+ex=x)^+eA(x-y)+xy+yex

dxdykx)\y)

y

=孫+xex+xy=xy+z.

_x2+y2

7.(1){z=1—，在點Q,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少？

y=4

(2)卜=/1+'+/，在點(U,6)處的切線與》軸正向所成的傾角是多

[x=l

少？

解(1)按偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，々(2,4)就是曲線在點(2,4,5)處的切線對

于x軸正向所成傾角的斜率，而Z,(2,4)=；ME=1,即左=tan?=l,于是傾角

71

a--.

4

(2)按偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，z,.(l,l)就是曲線在點(1』,6)處的切線對于y軸

正向所成傾角的斜率，而=2)、_=L即k=tana=1,于是傾角

2717177日33

8.求下列函數(shù)的二階偏函數(shù)：

某會2

(1)已知z=dsiny+y3sinx,求———；(2)已知2=求——L.

渥丫dxdy

(3)已知z=ln(x++〃2),求■和0z；

dxdxdy

//、y_p.czoz2L和2L

(4)z-arctan—求一、一-、

x&72dy2dxdydydx

解(1)它nS/siny+y'cosx,---=3x2cosy+3y2cosx；

dxdxdy

(2)包=嚴(yán)]”，=地嚴(yán)，

dxxx

—=-|-嚴(yán)+1”.Inx.嚴(yán)t]=■!?嚴(yán)t(i+也xIny)；

dxdy)x

y/x2+y2+x_1

y1x2+y2(x+y]x2+y2)y]x2+y2

d2z_2y_-y

麗—2加；打工]

(4)==dz_11_x

S^v{-i)-777Syi+1)jx/+尸

d2z_2xyd2z_-2xy

加(x2+y2)2辦？卜2+,2)2

d2z_x2+y2-2y2_y2-x2d2z_x2+y2-2x2_y2-x2

222

Mx(x+y)(f+y2)-QyQx(3+/)-(/+力-

9.設(shè)/(x,y,z)=孫2+?2+z?,求人(0,0,1),￡(1,0,2),九(0,-1,0)及

7^(2,0,1).

解因為￡.=>2+2xz,九=2z,fxz=2x,

2

fy=2xy+z,fyz=2z,

2

fz=2yz+x,fzz=2y,14r=0,

所以九(0,0,1)=2，14a,0,2)=2，4(0,-l,0)=0,九(2,0,1)=0.

10.驗證：

(1))二片叱飛也加滿足?二人^^；

dtdx2

fl---2---2毋a叫d2rd2r2

(2)i+y"滿足獲+/+玄=：

證(1)因為更二-的七”入m〃*,毀=就一切"cosnr,=-n2e~h,''sinnx

dtdx

所以包=sinnx\=k2?；

dt'>dx2

(2)因為包=-^*d2r6(xy1xxr2-x1

223

次ylx2+y2+z2rdx\rJrrrr

由函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，得

d2r_r--y2d2r_r2-z2

dy2r3'dz2r3

d2rd2rd2rr-x1r2-y2r-z22

所以----1-----1----=-------1----：—I-------——

dx2dy2dz2r3r3r3r

習(xí)題7—3

1.求下列函數(shù)的全微分:

*2+/

22

5+12-

(1)U=~r^;(2)z=(x+/)e^；

x(4)z=#3

(3)z=arcsin—(y>0)；

y

(5)u=ln(x2+y2+z2)；(6)u=xy\

6〃_2s(s)—尸)一2s62+/)_4.vr

解

du_2/(52-r)+2t(s2+r)_4s)

百一年一產(chǎn)f一廿一汗

,4st,4st,4st,,、

z-

du—--[-2----2-)-27dsH--1------rd/---------『(fdssd,)；

22、1IT2x2y-(x2+j2)y

(2)—=2xe+(x+y)e4——--'"

drxy

由函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性可得g

44、(44\

2X+A7'Vdx+2y+)'二Jdy

x-yJIxy-)

=/,(ydx-xdy)；

y\y一n

(5)d“=d「ln(x2+y2+z2)l=———1----d(x2+y2+z2

LJx~+y+zv

2x(\x+2ydy+2zdz2

—————7(xdx+ydy+zdz)；

x2+y2+z2x+y+z

(6)d〃=d(x")=yzxyz~ldx+xyzzInxdy+xy~y\nxdz

=x>z-1(yzdx+xzInxdy+xyInxdz).

2.求下列函數(shù)的全微分：

(1)z=ln(l+九2+y2)在x=l,y=2處的全微分；

x

(2)z=arctan---在x=l,y=l處的全微分.

i+r

解⑴

因為

dz=d[ln(l+Y+*]=云7d(1+/+*=導(dǎo)〒Q"+2處)

]?2

所以dz，=]二—(2dr+4dy)=-dr+—dy；

產(chǎn)2633

(2)因為dz=darctan—-------------d―

li+刃x}U+r

li+7>

]=g(dx—dy).

所以dz\x=i

y=l\+y2+x2「停吐

3.求函數(shù)z=/y3當(dāng)工=2,y=-i,Ax=0.02,Ay=-0.01時的全微分.

解因為dz=d(dy3)=2xy3dx+3x2y2dy=2xyy/Sx+3x2y2Ay

所以當(dāng)x=2,y=-l,Ar=0.02,=T).O1時全微分為

dz=-4Ax+12Ay=-0.08-0.12=-0.2.

4.求函數(shù)「二當(dāng)x=2,y=l,Ax=0.01,Ay=0.03時的全微分和全

x-y

增量，并求兩者之差.

的中缶八/盯）（X2_y2）d（xy）_^d（d—y2）

解因為dz=d；）3=------------------

舊一-（X2-/）

所以當(dāng)x=2,y=I,Ax=0.01,Ay=0.03時全微分的值為

AX+(%3+孫2)八/

025

=JB0.027777,

222Q

x-y(x,y)=(2,l)7

Ax=0.01,

Ay=0.03

而當(dāng)尤=2,j=l,Ax=0.01,Ay=0.03時的全增量為

(x+Ar)(y+Ay)

Az孫?0.028252，

22-'2

(%+Ax)-(y+Aj)尤--y(x,y)=(2,l)

Ax=0.01

Ay=0.03

全增量與全微分之差為Az-dz?0.028252-0.027777=0.000475.

習(xí)題7—4

1.設(shè)〃=x=sinf,y=f,求包.

dt

解包=>出+電電=產(chǎn)cost-2*2九3/=6-2,33st_6為

dfdxdtdydt

2.設(shè)z=arccosQ—v),而”=4*3,u=3x,求它.

dr

版dzdzdudzdv11O21.

dxdudxSvdx^I-(M-V)2Jl-(M—

3(l-4x2)

Jl-/a—-3>.

3zdz

3?設(shè)z=〃/一〃聲,=xcosy,v=xsiny,求一,—.

wdxdy

Andzdzdudzdv\/2八\.

解——-------+-----=12wv-v2I-cosy+\u-2wv)-siny

dxdudxdvdxx7、7

=3x2sinycosy(cosy-siny),

=x3(sin3y-2sin2ycosy4-cos3j-2cos2ysiny).

4.2—Inv,而〃=3x+2y,v——,—，—.

xdxdy

2

冷力dzdzdudzdva?fyy

dxdudxdvdxvx2J

=6(3x+2y)In--—(3x+2y)2,

xx

dzdzdudzdvu~1-、1y1--、2

—=--------+--------=2wInv-2H---------=4(3x+2y)ln2+—(3x+2y)~.

dydudydvdyvxxy

dz

5.設(shè)2=/(〃，乂〉)=111(〃2+>5抽X)，u=et+v,求一，—.

dxdy

生刀dzdzdudf1)x+),1

角?！?-----+—=------；---2u?e-+-.................ycosx

dxdudxdxu'+ysinxu~+ysinx

_2e2"')+ycosx

/("v)+ysinx

+sinx

/(E+)，sinx

「、兒./222、Sudu

6.攻”=sin(尤+y+z)>x=r+s+t,y=rs+st+tr,z=rst,求一,——

Sr8s

du

dt

dududxdudydudz__.、。i222、

解笠京石+彳石+其3=[r2X+2MS+/)+2"]8S(zX+?+z-)

7,設(shè)z=arctan土，％=〃+?,y=u-v,求品m并驗證:

y

dzdzu-v

----1----

dudv~U2+V2

\

解包=空包+包.邊11x.1=^^

\2\222

dudxdudyduXyXx+y

1+1+

y)y)

dzdzdxdzdy11

—=______?-------y+x

-1+/(T=~22

dvdxdvdydvxyxx2+/

1+1+

\y\y

dzdzyry+x2(w-v)

則----1----=)+

dudvx2+yTx2+y1(u+v)2+(w-v)2u2+v2

)7dz

8.設(shè)z=/'(x,y,f)=x2-y2+f,x=sinf,y=cos/,求一.

dr

解包=包.在+包.電+紅

2xcost-2y(-sint)+1=2sin2Z+1.

drdxdtdydtdt

9.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）:

(1)Z=/(f—y2)；(2)u=f工』

[yz)

(4)w=/(x2-j2,eu?,lnx).

(3)u=/(x,xy,xyz)；

解(1)^^2xf,(x2-y2),^-=-2yfXx2-y2)；

dxoy

z_/1xi1A

⑵nxd記u"寸力f'而du"[(7x卜y力.r?i丁方?力+y

/c、3〃〃，c，「，SurfrrOU.，

⑶—=fi+yf2+M,二=%+%空,—=M；

⑷”f；-工，導(dǎo)-2訴+“從

10.設(shè)2=沖+外(〃)，而〃=),尸(〃)為可導(dǎo)函數(shù)，證明:

X

dzdz

X-------1-y—z+xy,

dxdy

dudu

證x—+y—=xy+F^+xF^u)—+yx+xFf(u)—

dxdy\_dx\|_dy

=xy+xF(u)+孫=z+孫.

r^7分77

11.設(shè)z=y°[cos(x-y)],試證：=+一=一?

oxdyy

SzSz

證—+—=一y"sin(x—y)+^[cos(x-y)]+)夕'sina-y)

dxdy

=(p[cos(x-y)]=-?

y

12.設(shè)“=f/任，4,且函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證:

\xX)\xXJ

dududu.

x---Fy---Fz—=ku.

dxdydz

證

X

X曳+y包+Z包=收/一/Tz￡'-fT)囪+x*Tyk+/Tzf；'=版.

dxdydz

dzdz

13.iSz=sin+/(sinx-siny)，試證:secx---nsecy—=1.

dxdy

證—=frcosx,-=cosy+(-cosy)ff,

dxdy

secx—+sec=secxcosxff+secycosy+secy(-cosy)尸=1.

dxdy

14.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)密，三，黑(其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)

dxoxoyoy^

數(shù))：

(1)z=f(xy,y)；(2)z=f(x2+y2)；

(3)z=f(x2y,xy2)；(4)z=/(sinx,cosy,ex+y).

解(1)令$=孫，t=y,則z=/(Ay，y)，s和「是中間變量.

dzdsdzdsdt

—^ft=痂，—=fi—+.丁=切+A?

dxdxdyoydy

因為/(s,f)是s和f的函數(shù)，所以《和力'也是s和f的函數(shù)，從而(和《是以s和

t為中間變量的X和y的函數(shù).故

14=吳侍)=梟圻)=痂康=立;，

oxdx\ox)dx\fdx

d2zd(dzyd/,\,(?ds?df),??

■7-77Hz-!]=fi+yfw'77+^2-7-=f\+xyfw+yf\i,

oxoydy^ox)oy\/oydyy

-dy4dyydyJ1=Jdy\佃'+力/傘琮dy+碎ayJ〕+，d導(dǎo)ydy

=//；+2端+層

(2)令S=f+y2,則z=/，+y2)是以s為中間變量的x和y的函數(shù).

生=尸包=2貨，—=f'.—=2yf.

dxdxdydy

因為/(s)是s的函數(shù)，所以(也是S的函數(shù)，從而廣是以S中間變量的X和y的

函數(shù).故

■4償卜系2引=2/,+2-(見=2/,+4",

急噌停,款力2-(2加4m

［福圖吟(2")=2尸+2*(2加2…打.

(3)=xy2t=x2y,則

dz,,dsadt2上,caSz勺bs,，初。,,

京=<?看+《?木=?《+2M，—=/；—+/；—=2x)f；+x2f；.

dxdxoxdyoydy

=2/'+/7；+4盯"，+4//%，

3

=2yf；+2班'+2孫3/;：+九+2xyf；2，

=2成+4丹2/：+"殖+》￡.

(4)令"=sinx,v=cosy,w=ex+y,貝ij

dz_rdudw工，葉,,dz?du。卬.小—小

丁=工—+.Ak=cos勸+e'yvf，—=f—+f-=-sinyf+ex/.

exdxdr3dy2ay3dy2

=e"力'_sinxfi+cos2.；+2ex+ycosxf^+e'""力；，

vx+yv

=e""'-cosxsinyfy2+e"*cos勸；-esinyf'+e'"￡，

=-cos潴+sin2y也一2e"sin姆+e加詡羥.

習(xí)題7—5

1.設(shè)cosy+e"-x2y=0，求".

dr

解^SF(x,y)=cosy+ev-x2y,貝ij

Ax

—dy—_—F■x——_---e-----2-x-y--_--e---2-x-y-,

22

dxFy-siny-xsiny+x

2.設(shè)孫+lny+lnx=l,求心.

j_

解F(x,j；)=Ay+lnj+lnx-1,則蟲=一區(qū)=一^_^=-A\+-'.

drFyx+J_xy+x

y

當(dāng)x=l時，由肛+lny+lnx=l知y=1,所以9=-1.

心日

3.設(shè)InQx2+J=arctan上，求蟲.

xdr

解設(shè)F(x,y)=Iny/x2+y2-arctan—,則

x

_J__________________1J上)

M+-M+y2(疔l口XV

少—x+yx+y_x+y

yx-x-y

-x2+yx2+y2

.?n2291i>.3z3z

4.■fecos-X4-COSy+cos~z=I,求一,—.

dxdy

解設(shè)F(x,y,z)=cos2x+cos2y+cos2z-1,則

dzF、-2cosxsinxsin2xdzF-2cosysiny_sin2y

dxFz-2coszsinzsin2zdyF_-2coszsinzsin2z

5.設(shè)方程0+丁+2,%丁+沖+2%)=0確定了函數(shù)2=2(蒼丁)，其中尸存在偏導(dǎo)

函數(shù)，求包，包.

dxdy

解氏一工，耳+(y+z)」］①廠F-婷+(x+z)耳

&F二E